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ITA Vestibular de 2009 - Matemática

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NOTA ES N = f1; 2; 3; : : :g R : conjunto dos n meros reais C : conjunto dos n meros complexos [a; b] = fx 2 R; a x bg i jz j Re z Im z An B = f x 2 A; x 2 B g = : : : : (a; +1) =]a; +1[= fx 2 R; a < x < +1g Mm At : transposta da matriz A AC : complementar do conjunto A det A : determinante da matriz A P ( A) n ( A) AB trA : : : : n ( R) unidade imagin ria: i2 = 1 m dulo do n mero z 2 C parte real do n mero z 2 C parte imagin ria do n mero z 2 C : conjunto das matrizes reais m n conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n mero de elementos do conjunto nito A segmento de reta unindo os pontos A e B soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A Observa o: Os sistemas de coordenadas considerados s o cartesianos retangulares. Quest o 1. Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = fa; b; c; d; e; f; g; hg. Sabendo que (B C [ A)C = ff; g; hg, B C \ A = fa; bg e AC nB = fd; eg, ent o, n(P (A \ B )) igual a A ( ) 0: B ( ) 1: C ( ) 2: D ( ) 4: E ( ) 8: Quest o 2. Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor ex (que funciona com lcool e com gasolina). Numa determinada poca, neste conjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor ex sofrem convers o para tamb m funcionar com g s GNV. Sabendo-se que, ap s esta convers o, 556 dos 1000 carros desta empresa s o bicombust veis, pode-se a rmar que o n mero de carros tricombust veis igual a A ( ) 246: B ( ) 252: C ( ) 260: D ( ) 268: E ( ) 284: Quest o 3. Seja f : R ! Rnf0g uma fun o satisfazendo s condi es: f (x + y ) = f (x) f (y ) ; para todo x; y 2 R e f (x) 6= 1; para todo x 2 Rnf0g: Das a rma es: I. f pode ser mpar. II. f (0) = 1: III. f injetiva. IV. f n o sobrejetiva, pois f (x) > 0 para todo x 2 R: (s o) falsa(s) apenas A ( ) I e III. B ( ) II e III. C ( ) I e IV. D ( ) IV. E ( ) I. Quest o 4. Se a = cos 54 e b = sen , ent o, o n mero complexo cos + i sen 5 5 5 5 A ( ) a + bi: B( ) D( )a E( )1 bi: a + bi: C ( ) (1 4a2 b2 + 2ab(1 igual a 2a2 b2 ) + ab(1 + b2 )i: b 2 ) i. Quest o 5. O polin mio de grau 4 ( a + 2 b + c) x4 + ( a + b + c) x3 b)x2 + (2a (a b + c)x + 2(a + c); com a; b; c 2 R, uma fun o par. Ent o, a soma dos m dulos de suas ra zes igual a p p p p p A ( ) 3 + 3: B ( ) 2 + 3 3: C ( ) 2 + 2: D ( ) 1 + 2 2: E ( ) 2 + 2 2. Quest o 6. Considere as fun es f (x) = x4 + 2x3 2x 1 e g (x) = x2 das ra zes n o reais da fun o composta f E g igual a A ( ) 1: B ( ) 2: C ( ) 3: 2x + 1. A multiplicidade D ( ) 4: E ( ) 5. Quest o 7. Suponha que os coe cientes reais a e b da equa o x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 s o tais que a equa o admite solu o n o real r com jrj = 1. Das seguintes a rma es: 6 I. A equa o admite quatro ra zes distintas, sendo todas n o reais. II. As ra zes podem ser duplas. III. Das quatro ra zes, duas podem ser reais. (s o) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. D ( ) apenas II e III. C ( ) apenas III. E ( ) nenhuma. Quest o 8. Se as solu es da equa o alg brica 2x3 ax2 + bx + 54 = 0; com coe cientes a; b 2 R, a b = 0; formam, numa determinada ordem, uma progress o geom trica, ent o, igual a 6 b A( ) 3: B( ) 1 : 3 C( ) Quest o 9. Dados A 2 M3 2 (R) e b aproxima o quadr tica do sistema AX valor poss vel. Ent o, dado o sistema 2 1 40 1 a sua melhor aproxima o quadr tica A( ) 1 1 : B( ) 1 1 : 1 : 3 D ( ) 1: E ( ) 3. 2 M3 1 (R), dizemos que X0 2 M2 1 (R) a melhor p = b quando (AX0 b)t (AX0 b) assume o menor 3 0 15 0 C( ) 3 1 = 4 1 5; 1 2 x y 2 0 : D( ) 1 0 : E( ) 0 . 1 Quest o 10. O sistema a1 x + b 1 y = c 1 ; a1 ; a2 ; b1 ; b2 ; c1 ; c2 2 R; a2 x + b 2 y = c 2 com (c1 ; c2 ) 6= (0; 0); a1 c1 + a2 c2 = b1 c1 + b2 c2 = 0, A( B( C( D( E( ) determinado. ) determinado somente quando c1 6= 0 e c2 6= 0: ) determinado somente quando c1 6= 0 e c2 = 0 ou c1 = 0 e c2 6= 0: ) imposs vel. ) indeterminado. Quest o 11. Seja A 2 M2 2 (R) uma matriz sim trica e n o nula, cujos elementos s o tais que a11 ; a12 e a22 formam, nesta ordem, uma progress o geom trica de raz o q 6= 1 e trA = 5a11 . Sabendo-se que o sistema AX = X admite solu o n o nula X 2 M2 1 (R), pode-se a rmar que a2 + q 2 igual a 11 A( ) 101 : 25 B( ) 121 : 25 C ( ) 5: D( ) 49 : 9 E( ) 25 . 4 Quest o 12. Um certo exame de ingl s utilizado para classi car a pro ci ncia de estrangeiros nesta l ngua. Dos estrangeiros que s o pro cientes em ingl s, 75% s o bem avaliados neste exame. Entre os n o pro cientes em ingl s, 7% s o eventualmente bem avaliados. Considere uma amostra de estrangeiros em que 18% s o pro cientes em ingl s. Um estrangeiro, escolhido desta amostra ao acaso, realizou o exame sendo classi cado como pro ciente em ingl s. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente pro ciente nesta l ngua de aproximadamente A ( ) 73%: B ( ) 70%: C ( ) 68%: D ( ) 65%: E ( ) 64%. Quest o 13. Considere o tri ngulo ABC de lados a = BC; b = AC e c = AB e ngulos internos b b b B = C AB; C = ABC e D = B CA. Sabendo-se que a equa o x2 2bx cos B + b2 a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se a rmar que A( B( C( D( E( ) ) ) ) ) B = 90o : C = 60o : D = 90o : O tri ngulo ret ngulo apenas se B = 45o : O tri ngulo ret ngulo e b hipotenusa. Quest o 14. No plano, considere S o lugar geom trico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas dist ncias reta t : x = 1 e ao ponto A = (3; 2) igual a 4. Ent o, S p A ( ) uma circunfer ncia de raio 2 e centro (2; 1): B ( ) uma circunfer ncia de raio 1 e centro (1; 2): C ( ) uma hip rbole. p D ( ) uma elipse de eixos de comprimento 2 2 e 2: E ( ) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1. Quest o 15. Do tri ngulo de v rtices A; B e C; inscrito em uma circunfer ncia de raio R = b 2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2 cm e o ngulo interno ABC mede 30o . Ent o, o raio da circunfer ncia inscrita neste tri ngulo tem o comprimento, em cm; igual a p p p 2 1 1 A( )2 3: B( ) . C( ) : D ( ) 2 3 3: E( ) . 3 4 2 Quest o 16. A dist ncia entre o v rtice e o foco da par bola de equa o 2x2 igual a A ( ) 2: B( ) 3 : 2 C ( ) 1: D( ) 3 : 4 4x 4y + 3 = 0 1 . 2 E( ) Quest o 17. A express o 2 sen x + 11 2 + cotg2 x 1 + tg2 tg x 2 x 2 equivalente a A ( ) [cos x D ( ) [1 sen2 x] cotg x: cotg2 x] sen x: B ( ) [sen x + cos x] tg x: C ( ) [cos2 x sen x] cotg2 x: E ( ) [1 + cotg2 x] [sen x + cos x]. Quest o 18. Sejam C uma circunfer ncia de raio R > 4 e centro (0; 0) e AB uma corda de C . Sabendo que (1; 3) ponto m dio de AB; ent o uma equa o da reta que cont m AB A ( ) y + 3x D ( ) y+x 6 = 0: B ( ) 3y + x E ( ) 2 y + 3x 4 = 0: 1 0 = 0: C ( ) 2y + x 7 = 0: 9 = 0. Quest o 19. Uma esfera colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60o de ngulo de v rtice. Os pontos de contato da esfera com a superf cie lateral do cone de nem p uma circunfer ncia e distam 2 3 cm do v rtice do cone. O volume do cone n o ocupado pela esfera, em cm3 ; igual a A( ) 416 : 9 B( ) 480 : 9 C( ) 500 : 9 D( ) 512 : 9 E( ) 542 : 9 Quest o 20. Os pontos A = (3; 4) e B = (4; 3) s o v rtices de um cubo, em que AB uma das arestas. A rea lateral do octaedro cujos v rtices s o os pontos m dios da face do cubo igual a p p p A ( ) 8: B ( ) 3: C ( ) 12: D ( ) 4: E ( ) 18. AS QUEST ES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLU ES. Quest o 21. Seja S o conjunto solu o da inequa o C C (x 9) Clogx+4 (x3 26x)C 0: Determine o conjunto S C . Quest o 22. Sejam x; y 2 R e w = x2 (1 + 3i) + y 2 (4 Identi que e esboce o conjunto A = f (x; y ) 2 R2 ; Re w i) x(2 + 6i) + y ( 16 + 4i) 2 C. 13 e Im w Quest o 23. Seja f : Rnf 1g ! R de nida por f (x) = 4g: 2x + 3 . x+1 a) Mostre que f injetora. b) Determine D = f f (x); x 2 Rnf 1g g e f 1 : D ! Rnf 1g. Quest o 24. Suponha que a equa o alg brica 11 x+ 10 X an x n + a0 = 0 n=1 tenha coe cientes reais a0; a1 ; :::; a10 tais que as suas onze ra zes sejam todas simples e da forma C + iD n ; em que C; D n 2 R e os D n ; n = 1; 2; :::; 11, formam uma progress o aritm tica de raz o real D 6= 0. Considere as tr s a rma es abaixo e responda se cada uma delas , respectivamente, verdadeira ou falsa, justi cando sua resposta: I. Se C = 0; ent o a0 = 0: II. Se a10 = 0, ent o C = 0: III. Se C = 0, ent o a1 = 0. Quest o 25. Um determinado concurso realizado em duas etapas. Ao longo dos ltimos anos, 20% dos candidatos do concurso t m conseguido na primeira etapa nota superior ou igual nota m nima necess ria para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual a probabilidade de no m nimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa? Quest o 26. Sejam A; B 2 M3 3 (R). Mostre as propriedades abaixo: a) Se AX a matriz coluna nula, para todo X 2 M3 1 (R), ent o A a matriz nula. b) Se A e B s o n o nulas e tais que AB a matriz nula, ent o det A = det B = 0. Quest o 27. Sabendo que tg2 x + 1 6 1 1 = , para algum x 2 0; 2 2 , determine sen x. Quest o 28. Dadas a circunfer ncia C : (x 3)2 + (y 1)2 = 20 e a reta r : 3x y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C; forma um ngulo de 45o com r e cuja dist ncia origem p 35 . Determine uma equa o da reta t. 5 Quest o 29. Considere as n retas ri : y = mi x + 10; i = 1; 2; :::; n; n 5; em que os coe cientes mi , em ordem crescente de i, formam uma progress o aritm tica de raz o q > 0: Se m1 = 0 e a reta r5 tangencia a circunfer ncia de equa o x2 + y 2 = 25, determine o valor de q: Quest o 30. A raz o entre a rea lateral e a rea da base octogonal de uma pir mide regular p igual a 5. Exprima o volume desta pir mide em termos da medida a do ap tema da base. INSTITUTO TECNOL GICO DE AERON UTICA VESTIBULAR 2009 GABARITO F sica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D E B A C C B D C E A A B E D D C B A C Ingl s 1 D 2 E 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 D 9 E 10 D 11 A 12 C 13 B 14 A 15 B 16 E 17 A 18 C 19 B 20 A Portugu s 21 B 22 B 23 E 24 A 25 B 26 C 27 A 28 A 29 D 30 D 31 E 32 C 33 E 34 D 35 D 36 A 37 E 38 A 39 C 40 B Matem tica 1 C 2 B 3 E 4 B 5 E 6 C 7 A 8 B 9 E 10 D 11 A 12 B 13 E 14 D 15 D 16 E 17 A 18 B 19 A 20 C Qu mica 1 C 2 C 3 B 4 D 5 B 6 E 7 D 8 A 9 E 10 A 11 E 12 B 13 B 14 E 15 E 16 D 17 A 18 C 19 D 20 D Gabarito Oficial.xls

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