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ITA Vestibular de 2006 - Matemática

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NOTA ES C : conjunto dos n meros complexos i : unidade imagin ria ; i2 = 1 Q : conjunto dos n meros racionais z = x + iy ; x; y 2 R R : conjunto dos n meros reais z : conjugado do n mero z 2 C Z : conjunto dos n meros inteiros jz j : m dulo do n mero z 2 C N = f0; 1; 2; 3; : : :g Re z : parte real de z 2 C N = f1; 2; 3; : : :g Im z : parte imagin ria de z 2 C ; : conjunto vazio [a; b] = fx 2 R : a x bg A n B = fx 2 A : x 2 B g = (a; b) = fx 2 R : a < x < bg det A : determinante da matriz A [a; b) = fx 2 R : a x < bg AB : segmento de reta unindo os pontos A e B (a; b] = fx 2 R : a < x bg a : combina o de a elementos, b a b, onde a e b s o inteiros maiores ou iguais a zero b P (X ) : conjunto de todos os subconjuntos de X n(X ) : n mero de elementos do conjunto X (X nito) Obs.: S o cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados Quest o 1. Seja E um ponto externo a uma circunfer ncia. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunfer ncia nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunfer ncia intercepta o segmento ED no ponto G: Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, ent o GF vale A()1 B()2 C()3 D()4 E()5 Quest o 2. Seja U um conjunto n o vazio com n elementos, n 1: Seja S um subconjunto de P (U ) com a seguinte propriedade: Se A; B 2 S , ent o A B ou B A: Ent o, o n mero m ximo de elementos que S pode ter A ( ) 2n 1 D ( ) 2n 1 B ( ) n=2, se n for par, e (n + 1)=2 se n for mpar E ( ) 2n 1 + 1 C ( ) n+1 Quest o 3. Sejam A e B subconjuntos nitos de um mesmo conjunto X , tais que n(B nA), n(AnB ) e n(A \ B ) formam, nesta ordem, uma progress o aritm tica de raz o r > 0. Sabendo que n(B nA) = 4 e n(A [ B ) + r = 64, ent o, n(AnB ) igual a A ( ) 12 B ( ) 17 C ( ) 20 D ( ) 22 E ( ) 24 p Quest o 4. Seja f : R ! R de nida por f (x) = 77 sen[5 (x + =6)] e seja B o conjunto dado por B = fx 2 R : f (x) = 0g : Se m o maior elemento de B \ ( 1; 0) e n o menor elemento de B \ (0; +1), ent o m + n igual a A() 2 15 B() 15 C() 30 D() 15 E() 2 15 Quest o 5. Considere a equa o (ax a x )=(ax + a x ) = m, na vari vel real x, com 0 < a 6= 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equa o admite solu o real A ( ) ( 1; 0) [ (0; 1) D ( ) (0; 1) B ( ) ( 1; 1) [ (1; +1) C ( ) ( 1; 1) E ( ) ( 1; +1) Quest o 6. Considere uma prova com 10 quest es de m ltipla escolha, cada quest o com 5 alternativas. Sabendo que cada quest o admite uma nica alternativa correta, ent o o n mero de formas poss veis para que um candidato acerte somente 7 das 10 quest es 7 10 4 3 3 3 A ( ) 4 30 B ( ) 4 60 C ( ) 5 60 D() 4 E() 3 7 Quest o 7. Considere as seguintes a rma es sobre a express o S = I. II. III. IV. S S S S p log8 4k 2 : k=0 P101 a soma dos termos de uma progress o geom trica nita a soma dos termos de uma progress o aritm tica nita de raz o 2=3 = 3451 p 3434 + log8 2 Ent o, pode-se a rmar que (s o) verdadeira(s) apenas A ( ) I e III B ( ) II e III C ( ) II e IV D ( ) II E ( ) III Quest o 8. Se para todo z 2 C, jf (z )j = jz j e jf (z ) f (1)j = jz 1j, ent o, para todo z 2 C, f (1)f (z) + f (1)f (z ) igual a A()1 B ( ) 2z C ( ) 2 Re z D ( ) 2 Im z E ( ) 2 jz j2 Quest o 9. O conjunto solu o de (tg2x 1)(1 cotg2 x) = 4, x 6= k =2, k 2 Z, k k k A() + ;k 2 Z B() + ;k 2 Z C() + ;k 2 Z 3 4 4 4 6 4 k k D() + ;k 2 Z E() + ;k 2 Z 8 4 12 4 Quest o 10. Se 2 [0; 2 ) o argumento de um n mero complexo z 6= 0 e n um n mero natural tal que (z= jz j)n = isen(n ), ent o, verdade que A ( ) 2n m ltiplo de 2 B ( ) 2n m ltiplo de 2 C ( ) n =4 m ltiplo de =2 D ( ) 2n m ltiplo n o nulo de 2 E ( ) n 2 m ltiplo de Quest o 11. A condi o para que as constantes reais a e b tornem incompat vel o sistema 8 =2 < x + y + 3z x + 2y + 5z = 1 linear : 2x + 2y + az = b A ( ) a b 6= 2 a 3 D() = b 2 B ( ) a + b = 10 C ( ) 4a 6b = 0 E ( ) a b = 24 3 3 2 2 a 2b 2c abc 2r + z 5 Quest o 12. Se det 4 p q r 5 = 1, ent o o valor do det 4 2p + x 2q + y 3x 3y 3z xyz igual a 2 A()0 B()4 C()8 D ( ) 12 E ( ) 16 Quest o 13. Seja p um polin mio com coe cientes reais, de grau 7, que admite 1 i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as ra zes de p s o, respectivamente, 10 e 40. Sendo a rmado que tr s ra zes de p s o reais e distintas e formam uma progress o aritm tica, ent o, tais ra zes s o p p p p 3 193 3 193 A() , 3, + B ( ) 2 4 13, 2, 2 + 4 13 2 6 2 6 C ( ) 4, 2, 8 D ( ) 2, 3, 8 E ( ) 1, 2, 5 Quest o 14. Sobre o polin mio p(x) = x5 5x3 + 4x2 3x 2 podemos a rmar que A ( ) x = 2 n o raiz de p B ( ) p s admite ra zes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais C ( ) p admite uma nica raiz real, sendo ela uma raiz inteira D ( ) p s admite ra zes reais, sendo duas delas inteiras E ( ) p admite somente 3 ra zes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais Quest o 15. Seja o sistema linear nas inc gnitas x e y, com a e b reais, dado por (a b)x (a + b)y = 1 (a + b)x + (a b)y = 1 Considere as seguintes a rma es: I. II. O sistema poss vel e indeterminado se a = b = 0 O sistema poss vel e determinado se a e b n o s o simultaneamente nulos 1 III. x2 + y 2 = 2 , se a2 + b2 6= 0 2 a +b Ent o, pode-se a rmar que (s o) verdadeira(s) apenas A()I B ( ) II C ( ) III D ( ) I e II E ( ) II e III Quest o 16. Considere o polin mio p(x) = x3 (a + 1)x + a, onde a 2 Z. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polin mio p(x) s admite ra zes inteiras, A ( ) f2n; n 2 Ng D ( ) fn(n + 1); n 2 Ng B ( ) f4n2 ; n 2 Ng E() N C ( ) f6n2 4n; n 2 Ng Quest o 17. Numa circunfer ncia C1 de raio r1 = 3 cm est inscrito um hex gono regular H1 ; em H1 est inscrita uma circunfer ncia C2 ; em C2 est inscrito um hex gono regular H2 e, assim, sucessivamente. Se An (em cm2 ) a rea do hex gono Hn , ent o P1 2 n=1 An (em cm ) igual a p p p B ( ) 54 3 C ( ) 36(1 + 3) A ( ) 54 2 p 27 p D() E ( ) 30(2 + 3) 2 3 Quest o 18. Sejam a reta s : 12x 5y +7 = 0 e a circunfer ncia C : x2 + y 2 +4x +2y = 11: A reta p, que perpendicular a s e secante a C , corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo 91 81 81 74 74 30 A ( ) ; B ( ) ; C ( ) ; 12 12 12 12 12 12 30 74 75 91 D() ; E() ; 12 12 12 12 Quest o 19. Os focos de uma elipse s o F1 (0; 6) e F2(0; 6). Os pontos A(0; 9) e B (x; 3), x > 0, est o na elipse. A rea do tri ngulo com v rtices em B , F1 e F2 igual a p p p p p B ( ) 18 10 C ( ) 15 10 D ( ) 12 10 E ( ) 6 10 A ( ) 22 10 Quest o 20. Uma pir mide regular tem por base um hex gono cuja diagonal menor p mede 3 3 cm. As faces laterais desta pir mide formam diedros de 60o com o plano da base: A rea total da pir mide, em cm2 , p p p p 81 3 81 2 81 A() E ( ) 27 2 B() C() D ( ) 27 3 2 2 2 As quest es dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de solu es. Quest o 21. Considere A um conjunto n o vazio com um n mero nito de elementos. Dizemos que F = fA1 ; : : : ; Am g P (A) uma parti o de A se as seguintes condi es s o satisfeitas: I. II. III. Ai 6= ;, i = 1; : : : ; m Ai \ Aj = ;, se i 6= j , para i; j = 1; : : : ; m A = A1 [ A2 [ [ Am Dizemos ainda que F uma parti o de ordem k se n(Ai ) = k , i = 1; : : : ; m: Supondo que n(A) = 8, determine: (a) As ordens poss veis para uma parti o de A (b) O n mero de parti es de A que t m ordem 2 Quest o 22. Seja f : [0; 1) ! R de nida por f (x) = 2x; 0 x < 1=2 : 2x 1; 1=2 x < 1 f (x + 1=2) ; 1=2 < x < 0 , com f 1 f (x + 1=2) ; 0 x < 1=2 de nida acima. Justi cando a resposta, determine se g par, mpar ou nem par nem mpar. Seja g : ( 1=2; 1=2) ! R dada por g (x) = Quest o 23. Determine o coe ciente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2 )9: Quest o 24. Determine para quais valores de x 2 ( =2; =2) vale a desigualdade log cos x (4sen2 x 1) log cos x (4 sec2 x) > 2: Quest o 25. Considere o polin mio p(x) = x3 + ax2 + x + 1, com ra zes reais. O coe ciente a racional e a diferen a entre duas de suas ra zes tamb m racional. Nestas condi es, analise se a seguinte a rma o verdadeira: Se uma das ra zes de p(x) racional, ent o todas as suas ra zes s o racionais. Quest o 26. As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progress o aritm tica de raz o 2 metros. Calcule a rea total deste cone em m2 . Quest o 27. Sejam as matrizes 3 2 1 0 1=2 1 6 2 52 3 7 7 A=6 4 1 1 2 15 5 1 3=2 0 2 1 3 1=2 6 1 2 2 e B=6 4 1 11 5 1 1=2 Determine o elemento C34 da matriz C = (A + B ) 1 : 3 1 37 7 15 5 Quest o 28. Seja (a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ; : : :) uma progress o geom trica in nita de raz o positiva r, em que a1 = a um n mero real n o nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de ndices pares desta progress o geom trica igual a 4 e que a soma de todos os termos de ndices m ltiplos de 3 16=13, determine o valor de a + r: Quest o 29. Sabendo que 9y 2 16x2 144y + 224x 352 = 0 a equa o de uma hip rbole, calcule sua dist ncia focal. Quest o 30. Considere um losango ABCD cujo per metro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a rea, em cm2, do c rculo inscrito neste losango.

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