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ITA Vestibular de 2006 - Matemática

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NOTA ES C : conjunto dos n meros complexos i : unidade imagin ria ; i2 = 1 Q : conjunto dos n meros racionais z = x + iy ; x; y 2 R R : conjunto dos n meros reais z : conjugado do n mero z 2 C Z : conjunto dos n meros inteiros jz j : m dulo do n mero z 2 C N = f0; 1; 2; 3; : : :g Re z : parte real de z 2 C N = f1; 2; 3; : : :g Im z : parte imagin ria de z 2 C ; : conjunto vazio [a; b] = fx 2 R : a x bg A n B = fx 2 A : x 2 B g = (a; b) = fx 2 R : a < x < bg det A : determinante da matriz A [a; b) = fx 2 R : a x < bg AB : segmento de reta unindo os pontos A e B (a; b] = fx 2 R : a < x bg a : combina o de a elementos, b a b, onde a e b s o inteiros maiores ou iguais a zero b P (X ) : conjunto de todos os subconjuntos de X n(X ) : n mero de elementos do conjunto X (X nito) Obs.: S o cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados Quest o 1. Seja E um ponto externo a uma circunfer ncia. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunfer ncia nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunfer ncia intercepta o segmento ED no ponto G: Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, ent o GF vale A()1 B()2 C()3 D()4 E()5 Quest o 2. Seja U um conjunto n o vazio com n elementos, n 1: Seja S um subconjunto de P (U ) com a seguinte propriedade: Se A; B 2 S , ent o A B ou B A: Ent o, o n mero m ximo de elementos que S pode ter A ( ) 2n 1 D ( ) 2n 1 B ( ) n=2, se n for par, e (n + 1)=2 se n for mpar E ( ) 2n 1 + 1 C ( ) n+1 Quest o 3. Sejam A e B subconjuntos nitos de um mesmo conjunto X , tais que n(B nA), n(AnB ) e n(A \ B ) formam, nesta ordem, uma progress o aritm tica de raz o r > 0. Sabendo que n(B nA) = 4 e n(A [ B ) + r = 64, ent o, n(AnB ) igual a A ( ) 12 B ( ) 17 C ( ) 20 D ( ) 22 E ( ) 24

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