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ITA Vestibular de 2004 - Matemática

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NOTA ES _____________________________________________________________________________________ : : : : conjunto dos n meros complexos. conjunto dos n meros racionais. conjunto dos n meros reais. conjunto dos n meros inteiros. = 0,1,2,3,... . { } * = {1,2,3,...} . i : unidade imagin ria; i 2 = 1 . a, b : conjunto vazio. A \ B = { x A; x B} . n (U ) : n mero de elementos do conjunto U . P ( A) f og I A 1 AT det A AB AB : cole o de todos os subconjuntos de A . : fun o composta de f com g. : matriz identidade n n . : : : : : AB : m z = x+ iy, x, y . z : conjugado do n mero z, z . z : m dulo do n mero z, z . a, b = { x ; a x b} . = { x ; a < x < b} . inversa da matriz invers vel A . transposta da matriz A . determinante da matriz A . segmento de reta unindo os pontos A e B . arco de circunfer ncia de extremidades A e B . medida (comprimento) de AB . ______________________________________________________________________________________ Quest o 1. Considere as seguintes afirma es sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} : I. U e n (U ) = 10 . II. U e n (U ) = 10 . III. 5 U e { 5 } U . { 0,1, 2,5} { 5} = 5 . IV. Pode-se dizer, ent o, que (s o) verdadeira(s) A ( ) apenas I e III. B ( ) apenas II e IV. D ( ) apenas IV. E ( ) todas as afirma es. { C ( ) apenas II e III. } Quest o 2. Seja o conjunto S = r : r 0 e r 2 2 , sobre o qual s o feitas as seguintes afirma es: I. 5 S e 7 S . 4 5 II. {x III. } :0 x 2 S = . 2 S . Pode-se dizer, ent o, que (s o) verdadeira(s) apenas A ( ) I e II B ( ) I e III C ( ) II e III D() I E ( ) II Quest o 3. Seja um n mero real, com 0 < < 1 . Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que A() , 0 D() 2x 1 2, + ,0 2 x2 < 1. B() , 0 E() 2, + 2, + C() 0 ,2 Quest o 4. Considere a fun o f : , f ( x ) = 2 cos x + 2i sen x . Ent o, x , y , o valor do produto f ( x ) f ( y ) igual a A ( ) f ( x + y) B ( ) 2 f ( x + y) C ( ) 4i f ( x + y ) D ( ) f ( x y) E ( ) 2 f ( x ) + 2i f ( y ) Quest o 5. Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais est o numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano cont m, no m ximo, 2 destes pontos. Quantos tri ngulos podemos formar com os v rtices nestes pontos? A ( ) 210 Quest o 6. Seja x A B C D E ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) B ( ) 315 2 x e a matriz A = 2 x C( ) (x 410 D ( ) 415 E( ) 521 1 + 1) . Assinale a op o correta. log 2 5 2 x , A possui inversa. Apenas para x > 0 , A possui inversa. S o apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. N o existe valor de x para o qual A possui inversa. Para x = log 2 5 , A n o possui inversa. Quest o 7. Considerando as fun es arc sen: 1, +1 / 2, / 2 e arc cos: 1, +1 0 , , 3 4 assinale o valor de cos arcsen + arccos . 5 5 A() 6 25 B() 7 25 C() 1 3 D() 2 5 E() 5 12 Quest o 8. Considere um pol gono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ngulos internos constituem uma progress o aritm tica de raz o igual a 5o. Ent o, seu maior ngulo mede, em graus, A ( ) 120 B ( ) 130 C ( ) 140 D ( ) 150 E ( ) 160 Quest o 9. O termo independente de x no desenvolvimento do bin mio A ( ) 729 3 45 B ( ) 972 3 15 C ( ) 891 3 3 5 33 x 5x D ( ) 376 3 3 5x 3x 5 3 12 E ( ) 165 3 75 Quest o 10. Considere as afirma es dadas a seguir, em que A uma matriz quadrada n n , n 2 : I. II. O determinante de A nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula. Se A = a i j tal que a i j = 0 para i > j , com i, j = 1, 2,..., n, ent o det A = a11 a 22 ... a n n . III. Se B for obtida de A , multiplicando-se a primeira coluna por mantendo-se inalteradas as demais colunas, ent o det B = det A . () 2 + 1 e a segunda por 2 1, Ent o, podemos afirmar que (s o) verdadeira(s) A ( ) apenas II. B ( ) apenas III. D ( ) apenas II e III. C ( ) apenas I e II. E ( ) todas. Quest o 11. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360 cm3 , e uma pir mide regular cuja base hexagonal est inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pir mide o dobro da altura do cilindro e que a rea da base da pir mide de 54 3 cm 2 , ent o, a rea lateral da pir mide mede, em cm2, A ( ) 18 427 B ( ) 27 427 C ( ) 36 427 D ( ) 108 3 E ( ) 45 427 Quest o 12. O conjunto de todos os valores de , , , tais que as solu es da equa o (em x ) 2 2 x 4 4 48 x 2 + tg = 0 s o todas reais, A ( ) , 0 3 B ( ) , 4 4 C ( ) , 6 6 Quest o 13. Sejam as fun es f e g definidas em D ( ) 0, 3 E() , 12 3 por f ( x) = x 2 + x e g ( x) = ( x 2 + x ) , em que e s o n meros reais. Considere que estas fun es s o tais que g f Valor m nimo Ponto de m nimo Valor m ximo Ponto de m ximo 1 <0 9 4 >0 Ent o, a soma de todos os valores de x para os quais ( f o g ) ( x ) = 0 igual a A() 0 B() 2 C() 4 D() 6 E() 8 Quest o 14. Considere todos os n meros z = x + i y que t m m dulo 7 2 e est o na elipse x 2 + 4 y 2 = 4 . Ent o, o produto deles igual a A( ) 25 9 B( ) 49 16 81 25 C( ) D( ) 25 7 E( ) 4 Quest o 15. Para algum n mero real r , o polin mio 8 x3 4 x 2 42 x + 45 divis vel por ( x r ) . Qual 2 dos n meros abaixo est mais pr ximo de r ? A ( ) 1, 62 B ( ) 1,52 C ( ) 1, 42 D ( ) 1,32 E ( ) 1, 22 Quest o 16. Assinale a op o que representa o lugar geom trico dos pontos ( x , y ) do plano que satisfazem a equa o x 2 + y2 40 det 4 34 x y 2 6 2 0 5 3 A ( ) Uma elipse. B ( ) Uma par bola. D ( ) Uma hip rbole. 1 1 = 288 . 1 1 C ( ) Uma circunfer ncia. E ( ) Uma reta. Quest o 17. A soma das ra zes da equa o z 3 + z 2 z 2 + 2 z = 0 , z , igual a A ( ) 2 B ( ) 1 C() 0 D() 1 E() 2 Quest o 18. Dada a equa o x 3 + ( m + 1) x 2 + ( m + 9) x + 9 = 0 , em que m uma constante real, considere as seguintes afirma es: I. II. III. Se m 6,6 , ent o existe apenas uma raiz real. Se m = 6 ou m = + 6 , ent o existe raiz com multiplicidade 2. m , todas as ra zes s o reais. Ent o, podemos afirmar que (s o) verdadeira(s) apenas A( ) I B ( ) II C ( ) III D ( ) II e III E ( ) I e II Quest o 19. Duas circunfer ncias conc ntricas C1 e C2 t m raios de 6 cm e 6 2 cm, respectivamente. Seja AB uma corda de C2 , tangente C1 . A rea da menor regi o delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm 2 , A ( ) 9 ( 3) B ( ) 18 ( + 3) C ( ) 18 ( 2) D ( ) 18 ( + 2) E ( ) 16 ( + 3) Quest o 20. A rea total da superf cie de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm , igual ter a parte da rea de um c rculo de di metro igual ao per metro da se o meridiana do cone. O volume deste cone, em cm 3 , igual a A ( ) R3 B ( ) 2 R3 C() R3 2 D ( ) 3R3 E() R3 3 As quest es dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de solu es. Quest o 21. Seja A um conjunto n o-vazio. a. Se n ( A ) = m , calcule n (P ( A ) ) em termos de m. b. Denotando P 1 ( A ) = P ( A ) e P k +1 ( A ) = P (P k ( A ) ) , para todo n mero natural k 1 , determine o menor k , tal que n (P k ( A ) ) 65000 , sabendo que n ( A ) = 2 . Quest o 22. Uma caixa branca cont m 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta cont m 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados s o atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual a probabilidade de se retirar uma bola verde? Quest o 23. Determine os valores reais do par metro a para os quais existe um n mero real x satisfazendo 1 x2 a x . Quest o 24. Sendo z = 1 + i , calcule z n = z + z 2 + z 3 + ... + z 60 . 2 60 n =1 Quest o 25. Para b > 1 e x > 0, resolva a equa o em x : ( 2 x )logb 2 ( 3x )logb 3 = 0 . Quest o 26. Considere a equa o x3 + 3x 2 2 x + d = 0 , em que d uma constante real. Para qual valor de d a equa o admite uma raiz dupla no intervalo 0,1 ? Quest o 27. Prove que, se os ngulos internos , e de um tri ngulo satisfazem a equa o sen(3 ) + sen(3 ) + sen(3 ) = 0 , ent o, pelo menos, um dos tr s ngulos , ou igual a 60o. Quest o 28. Se A uma matriz real, considere as defini es: I. II. Uma matriz quadrada A ortogonal se e s se A for invers vel e A 1 = AT . Uma matriz quadrada A diagonal se e s se a i j = 0 , para todo i, j = 1, ..., n, com i j . Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que s o, simultaneamente, diagonais e ortogonais. Quest o 29. Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ngulo de 60o. Seja C1 uma circunfer ncia de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r. Determine o raio da menor circunfer ncia tangente C1 e reta r, cujo centro tamb m se situa na reta s. Quest o 30. Sejam os pontos A : ( 2, 0 ) , B : ( 4, 0 ) e P : ( 3, 5 + 2 2 ) . a. Determine a equa o da circunfer ncia C, cujo centro est situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e tangente ao eixo y. b. Determine as equa es das retas tangentes circunfer ncia C que passam pelo ponto P.

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