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ITA Vestibular de 2008 - Matemática

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NOTA ES N = f0; 1; 2; 3; : : :g Z : conjunto dos n meros inteiros R : conjunto dos n meros reais C : conjunto dos n meros complexos ; : conjunto vazio [a; b] = fx 2 R; a x bg (a; b) = ]a; b[ = fx 2 R; a < x < bg [a; b) = [a; b[ = fx 2 R; a x < bg (a; b] = ]a; b] = fx 2 R; a < x bg A B = fx 2 A ; x 2 B g = i jz j z Re z Im z I A1 At det A AC : : : : : : : : : : unidade imagin ria; i2 = 1 m dulo do n mero z 2 C conjugado do n mero z 2 C parte real de z 2 C parte imagin ria de z 2 C matriz identidade inversa da matriz invers vel A transposta da matriz A determinante da matriz A complementar de A P (A) : cole o de todos os subconjuntos de A AB _ AB : segmento de reta unindo os pontos A e B : arco de circunfer ncia de extremidades A e B Observa o: Os sistemas de coordenadas considerados s o cartesianos ortogonais. Quest o 1. Considere uma popula o de igual n mero de homens e mulheres, em que sejam dalt nicos 5% dos homens e 0; 25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa dalt nica selecionada ao acaso nessa popula o. A( ) 1 21 B( ) 1 8 C( ) 3 21 D( ) Quest o 2. Sejam B; C 2 C tais que jBj = jC j = 1 e jB a A( ) B( )0 2 C( )1 Cj = p 5 21 E( ) 1 4 2: Ent o B2 + C 2 igual D( )2 E ( ) 2i Quest o 3. Considere o sistema Ax = b; em que 0 A=@ 1 2 1 2 k 3 3 6 k 3 1 A; 1 1 b=@ 6 A 0 0 e k 2 R: Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema imposs vel e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema poss vel e indeterminado, ent o o valor de T A( ) 4 S B( ) 3 C( )0 D( )1 E( )4 Quest o 4. Sejam A e C matrizes n det A = 5: Sabendo-se que B = 3 (A A ( ) 3n B( )2 3n 52 1 n invers veis tais que det(I + C +C C( ) 1 A) = 1=3 e 1t ) ; ent o o determinante de B igual a 1 5 D( ) 3n 1 5 E ( ) 5 3n 1 Quest o 5. Um polin mio P dado pelo produto de 5 polin mios cujos graus formam uma progress o geom trica. Se o polin mio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau de P 62, ent o o de maior grau tem grau igual a A ( ) 30 B ( ) 32 C ( ) 34 D ( ) 36 E ( ) 38 Quest o 6. Um diedro mede 120E . A dist ncia da aresta do diedro ao centro de uma p esfera de volume 4 3 cm3 que tangencia as faces do diedro , em cm, igual a p A( )3 3 p B( )3 2 p C( )2 3 p D( )2 2 E( )2 Quest o 7. Considere o quadrado ABCD com lados de 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD; eq idistantes de A. Por M tra a-se uma reta r paralela ao lado AD e por N uma reta s paralela ao lado AB; que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AM ON e OP CQ, onde P a intersec o de s com o lado BC e Q a intersec o de r com o lado DC . Sabendose que as reas dos quadrados AM ON; OP CQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma progress o geom trica, ent o a dist ncia entre os pontos A e M igual, em metros, a p B ( ) 10 + 5 5 p E ( ) 10 3 5 p A ( ) 15 + 5 5 p D ( ) 15 5 5 Quest o 8. Considere o polin mio uma das ra zes x = C ( ) 10 p ( x ) = a5 x 5 + a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 p 5 a1 ; em que 1: Sabendo-se que a1 , a2 , a3 , a4 e a5 s o reais e formam, nesta ordem, uma progress o aritm tica com a4 = 1=2, ent o p( 2) igual a A( ) 25 B( ) 27 C( ) 36 D( ) Quest o 9. Sobre a equa o polinomial 2x4 + ax3 + bx2 + cx 39 E( ) 1 = 0, sabemos que os coe cientes a; b; c s o reais, duas de suas ra zes s o inteiras e distintas e 1=2 i=2 tamb m sua raiz. Ent o, o m ximo de a; b; c igual a A( ) 1 B( )1 C( )2 D( )3 40 E( )4 Quest o 10. dada a equa o polinomial (a + c + 2) x3 + (b + 3c + 1) x2 + (c a) x + (a + b + 4) = 0 com a; b; c reais. Sabendo-se que esta equa o rec proca de primeira esp cie e que 1 uma raiz, ent o o produto abc igual a A( ) B( )4 2 Quest o 11. Sendo [ C( )6 D( )9 E ( ) 12 =2; =2] o contradom nio da fun o arcoseno e [0; ] o con- tradom nio da fun o arcocosseno, assinale o valor de cos arcsen 1 A( )p 12 B( ) 7 25 Quest o 12. Dada a c nica p no ponto P = 2; 3 ? A( ) y= D( ) y= p 3(x 1) p 3 (x 7 ) 5 4 3 + arccos 5 5 C( ) : x2 : 4 15 1 D( )p 15 1 E( ) p 25 y 2 = 1; qual das retas abaixo perpendicular p 3 B( ) y= x 2p 3 E( ) y= (x 2 C( ) y= p 3 (x + 1) 3 4) Quest o 13. O conjunto imagem e o per odo de f (x) = 2 sen2 (3x) + sen(6x) 1 s o, respectivamente, A ( ) [ 3; 3] e 2 B ( ) [ 2; 2] e 2 3 D ( ) [ 1; 3] e E ( ) [ 1; 3] e pp 2; 2 e 2 3 3 C( ) Quest o 14. Para x 2 R; o conjunto solu o de j53x n A ( ) 0; 2 p 5; 2 52x+1 + 4 5x j = j5x po 3 n po 0; 1; log5 2 + 5 ( p !) 2 1 1 C ( ) 0; log5 2; log5 3; log5 2 2 2 n p p D ( ) 0; log5 2 + 5 ; log5 2 + 3 ; log5 2 B( ) E ( ) A nica solu o x = 0 p 3 o 1j 3 Quest o 15. Um subconjunto D de R tal que a fun o f : D ! R; de nida por f (x) = jln (x2 A( )R x + 1)j injetora, dado por B ( ) ( 1; 1] C ( ) [0; 1=2] D ( ) (0; 1) E ( ) [1=2; 1) Quest o 16. A soma de todas as solu es distintas da equa o cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0; que est o no intervalo 0 A( ) 2 =2; igual a x 23 B( ) 12 C( ) 9 6 Quest o 17. Considere o conjunto D = fn 2 N; 1 D( ) n 7 6 E( ) 365g e H 13 12 P (D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B 2 H; a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 igual a 46 1 92 1 B( ) C( ) D( ) A( ) 730 33 215 365 33 215 E( ) 91 730 Quest o 18. Considere o tri ngulo ABC is sceles em que o ngulo distinto dos demais, ^ ^ B AC; mede 40E : Sobre o lado AB , tome o ponto E tal que ACE = 15E : Sobre o lado AC , ^ ^ tome o ponto D tal que DBC = 35E . Ent o, o ngulo E DB vale A ( ) 35E B ( ) 45E C ( ) 55E D ( ) 75E Quest o 19. Sejam X; Y; Z; W subconjuntos de N tais que (X Y = f5; 6g ; Z \ Y = ;; W \ (X E ( ) 85E Y ) \ Z = f1 ; 2 ; 3 ; 4 g ; Z ) = f7; 8g ; X \ W \ Z = f2; 4g : Ent o o conjunto [X \ (Z [ W )] [W \ (Y [ Z )] igual a A ( ) f1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 g B ( ) f1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 g D ( ) f1 ; 3 g C ( ) f1 ; 3 ; 7 ; 8 g E ( ) f7; 8g Quest o 20. Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto no plano de nido por r e s e exterior regi o limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da rea e do per metro, em cm2 e cm, do tri ngulo equil tero P QR cujos v rtices Q e R est o, respectivamente, sobre as retas r e s, s o iguais a p p p p p p 3 3 B ( ) 175 C ( ) 175 3 e 10 21 e 5 21 e 10 21 A ( ) 175 3 3 p p p D ( ) 175 3 e 5 21 E ( ) 700 e 10 21 As quest es dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de solu es. Quest o 21. Dado o conjunto A = x 2 R; p 3x2 + 2x < x2 ; expresse-o como uni o de intervalos da reta real. Quest o 22. Determine as ra zes em C de 4z 6 + 256 = 0; na forma a + bi; com a; b 2 R; que perten am a S = fz 2 C; 1 < jz + 2j < 3g : Quest o 23. Seja f (x) = ln (x2 + x + 1) ; x 2 R: Determine as fun es h; g : R ! R tais que f (x) = g (x) + h(x); 8x 2 R; sendo h uma fun o par e g uma fun o mpar. Quest o 24. Sejam B; C; D 2 R: Considere o polin mio p(x) dado por x5 9x4 + ( B C 2 D ) x3 + ( B + 2 C + 2 D 2 ) x2 + ( B C D + 1) x + (2B + C + D 1) : Encontre todos os valores de B; C e D de modo que x = 0 seja uma raiz com multiplicidade 3 de p(x). Quest o 25. Uma matriz real quadrada A ortogonal se A invers vel e A 1 = At : Determine todas as matrizes 2 2 que s o sim tricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que est o fora da diagonal principal. Quest o 26. Determine todos os valores B 2 x4 2 p 4 2 ; 2 tais que a equa o (em x) 3 x2 + tg B = 0 admita apenas ra zes reais simples. Quest o 27. Em um espa o amostral com uma probabilidade P; s o dados os eventos A; B e C tais que: P (A) = P (B ) = 1=2; com A e B independentes, P (A \ B \ C ) = 1=16; e sabe-se que P ((A \ B ) [ (A \ C )) = 3=10: Calcule as probabilidades condicionais P (C jA \ B ) e P C jA \ B C : Quest o 28. Um tri ngulo acut ngulo de v rtices A; B e C est inscrito numa circunp p p 52 : Sabe-se que AB mede 2 5 e BC mede 2 2: Determine a rea do fer ncia de raio 3 tri ngulo ABC: Quest o 29. Seja C uma circunfer ncia de raio r e centro O e AB um di metro de C: Considere o tri ngulo equil tero BDE inscrito em C: Tra a-se a reta s passando pelos pontos O e E at interceptar em F a reta t tangente circunfer ncia C no ponto A: Determine o volume do s lido de revolu o gerado pela rota o da regi o limitada pelo _ arco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do di metro AB: Quest o 30. Considere a par bola de equa o y = ax2 + bx + c; que passa pelos pontos (2; 5) ; ( 1; 2) e tal que a; b; c formam, nesta ordem, uma progress o aritm tica. Determine a dist ncia do v rtice da par bola reta tangente par bola no ponto (2; 5): INSTITUTO TECNOL GICO DE AERON UTICA VESTIBULAR 2008 GABARITO F sica E 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 E 7 A 8 C 9 B 10 E 11 B 12 D 13 C 14 A 15 A 16 D 17 B 18 A 19 C 20 Ingl s A 1 B 2 C 3 D 4 C 5 D 6 D 7 D 8 * 9 A 10 B 11 E 12 D 13 A 14 E 15 E 16 E 17 B 18 D 19 A 20 Portugu s C 21 C 22 D 23 B 24 * 25 B 26 C 27 D 28 C 29 D 30 A 31 E 32 E 33 D 34 E 35 A 36 A 37 C 38 E 39 C 40 Matem tica A 1 B 2 A 3 D 4 B 5 E 6 D 7 A 8 C 9 E 10 B 11 E 12 C 13 D 14 C 15 E 16 A 17 D 18 C 19 B 20 Qu mica E 1 B 2 B 3 E 4 C 5 B 6 C 7 B 8 E 9 D 10 D 11 C 12 C 13 A 14 A 15 A 16 D 17 E 18 D 19 A 20 Obs: a quest es 9 da prova de Ingl s e 25 da prova de Portugu s foram consideradas corretas para todos os candidatos.

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