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ITA Vestibular de 2002 - Matemática

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____________________________________________________________________________ NOTA ES [a, ) = { X R; a x}. ( , a] = { X R; x a} . P = (x,y) significa ponto P de coordenadas (x,y) . C o conjunto dos n meros complexos. R o conjunto dos n meros reais. N = {1,2,3,...} i denota a unidade imagin ria, ou seja, i2 = -1. z o conjugado do n mero complexo z . Se X um conjunto, P (X) denota o conjunto de AB denota o segmento que une os pontos A e B . ln x denota o logar tmo natural de x . At denota a matriz transposta da matriz A. todos os subconjuntos de X . A \ B = { x A ; x B} . [a, b] = { X R; a x b} _____________________________________________________________________________ Quest o 01. Considere as seguintes afirma es sobre n meros reais positivos: I. Se x > 4 e y < 2 , ent o x 2 2y > 12 . II. Se x > 4 ou y < 2 , ent o x 2 2y > 12 . III. Se x < 1 e 2 y 2 > 2 , ent o x 2 2y < 0 . Ent o, destas (s o) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas II e III. D ( ) apenas I e III. E ( ) todas. Quest o 02. Sejam a,b,c reais n o-nulos e distintos, c > 0 . Sendo par a fun o dada por ax + b , c < x < c , f (x) = x+c ent o f ( x ) , para c < x < c , constante e igual a A( ) a + b. B( ) a+ c. C( ) c. D ( ) b. Quest o 03. Os valores de x R , para os quais a fun o real dada por f ( x ) = E( ) 5 a. 2 x 1 6 est definida, formam o conjunto A( ) D( ) [0, 1] . B( ) ( ,0] U [1, 6 ] . E( ) [ 5, 6 ] . [ 5, 0 ] U [1, 6 ] . C( ) [ 5, 0 ] U [1, ) . Quest o 04. Seja a equa o em C z4 z2 + 1 = 0 . Qual dentre as alternativas abaixo igual soma de duas das ra zes dessa equa o ? A( ) 2 3. B( ) 3 . 2 C( ) + 3 . 2 D( ) i . E( ) i . 2 Quest o 05. Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Ent o, o n mero de elementos de P (B \ A)U P ( ) igual a A ( ) 8. B ( ) 16. C ( ) 20. D ( ) 17. E ( ) 9. Quest o 06. Sejam f e g duas fun es definidas por f (x) = A soma do valor m nimo de A( ) 0. ( 2 ) 3 sen x -1 1 g (x) = 2 e 3 sen 2 x -1 , x . f com o valor m nimo de g igual a B( ) 1 . 4 C( ) 1 . 4 D( ) 1 . 2 E( ) 1. Quest o 07. Seja f : R P( R) dada por f ( x) = { y R; sen y < x}. Se A tal que f ( x ) = R, x A , ent o [ ] B( ) D( ) A = ( ,a] , a < 1 . A = [a, ) E( ) A ( ) A = 1, 1 . , a > 1. A = ( , a] , a 1. C( ) A = [a, ) , a 1. Quest o 08. A divis o de um polin mio f ( x ) por ( x 1) ( x 2 ) tem resto x + 1 . Se os restos das divis es de f ( x ) por x 1 e x 2 s o, respectivamente, os n meros a e b , ent o a2 + b2 vale A ( ) 13. B ( ) 5. C ( ) 2. D ( ) 1. E ( ) 0. Quest o 09. Sabendo que a equa o X 3 px 2 = q m , p, q > 0, q 1, m N , possui tr s ra zes reais positivas a, b e c , ent o log q a b c (a2 + b2 + c 2 )a+b+c igual a A( ) 2 m + p logq p . B( ) D( ) m p logq p . E( ) m + 2 p logq p . C( ) m + p logq p . m 2 p logq p . Quest o 10. Dada a fun o quadr tica f (x) = x 2 ln 2 1 3 + x ln 6 ln 3 4 2 temos que f (x) = 0 n o possui ra zes reais. B ( ) a equa o f (x) = 0 possui duas ra zes reais distintas e o gr fico de f possui concavidade para cima. C ( ) a equa o f (x) = 0 possui duas ra zes reais iguais e o gr fico de f possui concavidade para baixo. ln2 ln3 D ( ) o valor m ximo de f . ln3 ln2 A( ) a equa o E( ) o valor m ximo de f 2 ln2 ln3 . ln3 ln2 Quest o 11. Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c? A ( ) 1692. B ( ) 1572. C ( ) 1520. D ( ) 1512. E( ) 1392. Quest o 12. O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: Alguns segundos ap s a largada, Ralf tomou a lideran a, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Da em diante, eles n o mais deixaram as primeiras tr s posi es e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A lideran a, no entanto, mudou de m os nove vezes entre os tr s, enquanto que em mais oito ocasi es diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posi es trocaram de lugar entre si. Ap s o t rmino da corrida, Rubinho reclamou para nossos rep rteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atr s de David, Rubinho n o p de ultrapass -lo no final da corrida. Com base no trecho acima, voc conclui que A( B( C( D( E( ) ) ) ) ) David ganhou a corrida. Ralf ganhou a corrida. Rubinho chegou em terceiro lugar. Ralf chegou em segundo lugar. n o poss vel determinar a ordem de chegada, porque o trecho n o apresenta uma descri o matematicamente correta. Quest o 13. Seja a matriz cos 25 0 0 sen 120 sen 65 0 . cos 390 0 O valor de seu determinante A( ) 2 2 3 . B( ) 3 3 2 . 3 . 2 C( ) D ( ) 1. E ( ) 0. Quest o 14. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B . t Ent o, ( A + B ) 2 igual a A( ) (A + B)2 . B( ) 2 (At . B t ) . C( ) 2 (At + B t ) . D( ) At + B t . E( ) At B t . Quest o 15. Seja A uma matriz real 2 x 2 . Suponha que e sejam dois n meros distintos, e V e W duas matrizes reais 2 x 1 n o-nulas, tais que AV = V e AW = W . Se a, b R s o tais que aV + bW igual matriz nula 2 x 1 , ent o a + b vale C ( ) 1. B ( ) 1. A( ) 0. D( ) 1 . 2 E( ) 1 . 2 20 cm, cujo ngulo oposto Quest o 16. O tri ngulo A BC , inscrito numa circunfer ncia, tem um lado medindo o de 15 . O comprimento da circunfer ncia, em cm, A ( ) 20 ( 2 1+ ( D ( ) 10 2 ) 3. ) ( B ( ) 400 2 + ( 3+5 . ) E ( ) 20 1 + ) ( 3. C ( ) 80 1 + ) 3. 3. Quest o 17. Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s , com coeficientes angulares 2 e 1 , 2 respectivamente, se interceptam na origem 0 . Se B r e C s s o dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento B C perpendicular a r e a rea do tri ngulo O BC igual a 12 x 10 ao eixo das ordenadas vale A( ) 8 . 5 B( ) 4 . 5 2 . 5 C( ) ( ) 1 . 5 D( ) ( -1 , ent o a dist ncia de B E ( ) 1. ) Quest o 18. Seja k > 0 tal que a equa o x 2 x + k y 2 y = 0 define uma elipse com dist ncia p p2 focal igual a 2 . Se ( p,q ) s o as coordenadas de um ponto da elipse, com q q 0 , ent o igual a q2 q 2 A( ) 2+ 5. B( ) 2 5. C( ) 2+ 3. D( ) 2 3. E( ) 2. Quest o 19. Considere a regi o do plano cartesiano x y definida pela desigualdade x 2 + 4x + y 2 4y 8 0 . Quando esta regi o rodar um ngulo de 6 radianos em torno da reta x + y = 0 , ela ir gerar um s lido de superf cie externa total com rea igual a A( ) 128 . 3 B( ) 128 . 4 C( ) 128 . 5 D( ) 128 . 6 E( ) 128 . 7 Quest o 20. Seja uma pir mide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que dist ncia do v rtice devemos 1 do volume da pir mide cort -la por um plano paralelo base de forma que o volume da pir mide obtida seja 8 original? A( ) 2 m. B( ) 4 m. C( ) 5 m. D( ) 6 m. E( ) 8 m. As quest es dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser respondidas no caderno de solu es. Quest o 21. Seja a fun o f dada por f ( x ) = ( log 3 5 ) . log5 8 x 1 + log 3 41+ 2x x log 3 2 2 Determine todos os valores de x que tornam x (3x +1) . f n o-negativa. Quest o 22. Mostre que 4 x y + 2 + > C8,4 , x y para quaisquer x e y reais positivos. Obs.: Cn,p denota a combina o de n elementos tomados p a p . Quest o 23. Com base no gr fico da fun o polinomial y = f ( x ) esbo ado abaixo, responda qual o resto ( x ) por da divis o de f 1 x ( x 1) . 2 y = f (x) 1 8 1 2 1 Quest o 24. Sejam a e b dois n meros complexos n o-nulos, tais que a2 + b2 = 0 . Se Z, W C satisfazem a z w + z w = 6a z w z w = 8b determine o valor de a de forma que z w = 1 . Quest o 25. 1. Mostre que se uma matriz quadrada n o nula A satisfaz a equa o A3 + 3 A2 + 2 A = 0 ( ent o A + I 3 ) (1) = A + I , em que I a matriz identidade. 2. Sendo dado que 1 1 A = 0 2 satisfaz equa o (1) acima, encontre duas matrizes n o-nulas essas matrizes voc garante que o sistema de equa es B e C tais que B 3 + C 3 = B + C = A . Para x 0 = y 0 (B C ) tem solu o ( x, y ) (0,0 ) ? Justifique. Quest o 26. Sejam n 2 n meros reais positivos a1 , a2 , ... an que formam uma progress o aritm tica de raz o positiva. Considere An = a1 + a2 +... + an e responda, justificando: Para todo n 2 , qual o maior A entre os n meros n an n 2 2 A 2 e n an n ? Quest o 27. Considere n pontos distintos A1 , A2 , ...An sobre uma circunfer ncia de raio unit rio, de forma que os comprimentos dos arcos A1 A2, A2 A3,..., An 1 An formam uma progress o geom trica de termo inicial e raz o 1 . Para que valores de 2 comprimento da circunfer ncia? Obs.: Para todo arco anti-hor rio. n N teremos o comprimento do arco An A1 menor que 1 do 512 Ak Al, o comprimento considerado o do arco que une o ponto A kao ponto A l no sentido Quest o 28. Seja S a rea total da superf cie de um cone circular reto de altura h , e seja m a raz o entre as reas lateral e da base desse cone. Obtenha uma express o que forne a h em fun o apenas de S e m . Quest o 29. Considere o seguinte racioc nio de cunho cartesiano: Se a circunfer ncia de centro C = (h,0) e raio r intercepta a curva y = + x , x > 0 , no ponto A = (a, a ) de forma que o segmento AC seja perpendicular reta tangente curva em A , ent o x = a raiz dupla da equa o em x que se obt m da intersec o da curva com a circunfer ncia. Use este racioc nio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em A 1 2a . Quest o 30. Se x, y e z s o os ngulos internos de um tri ngulo A BC e sen x = prove que o tri ngulo A BC ret ngulo. sen y + sen z , cos y + cos z

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