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ITA Vestibular de 2007 - Matemática

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NOTACOES i: unidadeimagin ria;i2 = 1 a |z |: m dulodon meroz C o u z : conjugadodon meroz C u Re z : parterealdez C Im z : parteimagin riadez C a N = {0, 1, 2, 3, . . .} Z: conjuntodosn merosinteiros u Q: conjuntodosn merosracionais u R: conjuntodosn merosreais u C: conjuntodosn meroscomplexos u n p : n mero de combina oes de n elementos tomados p a p. u c mdc(j, k ) : m ximo divisor comum dos n meros inteiros j e k. a u n(X ) : n mero de elementos de um conjunto nito X. u (a, b) = {x R : a < x < b}. Observa ao: Os sistemas de coordenadas considerados s o cartesianos ortogonais. c a Quest o 01. Se A, B, C forem conjuntos tais que a n(A B ) = 23, n(B A) = 12, n(C A) = 10, n(B C ) = 6 e n(A B C ) = 4, ent o n(A), n(A C ), n(A B C ), nesta ordem, a A( B( C( D( E( ) formam uma progress o aritm tica de raz o 6. a e a ) formam uma progress o aritm tica de raz o 2. a e a ) formam uma progress o aritm tica de raz o 8, cujo primeiro termo 11. a e a e ) formam uma progress o aritm tica de raz o 10, cujo ultimo termo 31. a e a e ) n o formam uma progress o aritm tica. a a e Quest o 02. Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 a elementos. O n mero de subconjuntos de A com um n mero de elementos menor ou igual u u a 6 e disjuntos de B e A ( ) 28 9. B ( ) 28 1. C ( ) 28 26 . D ( ) 214 28 . E ( ) 28 . Quest o 03. Considere a equa ao: a c 16 1 ix 1 + ix 3 = 1+i 1 i 1 i 1+i 4 . Sendo x um n mero real, a soma dos quadrados das solu oes dessa equa ao u c c e A ( ) 3. B ( ) 6. C ( ) 9. D( ) 12. E ( ) 15. Quest o 04. Assinale a op ao que indica o m dulo do n mero complexo a c o u 1 , x = k , k Z. 1 + i cotg x A ( ) |cos x| D ( ) |cossec x| C ( ) cos2 x B ( ) (1 + sen x)/2 E ( ) | sen x| Quest o 05. Considere: um ret ngulo cujos lados medem B e H, um tri ngulo is sceles a a a o em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o c rculo inscrito neste tri ngulo. Se as reas do ret ngulo, do tri ngulo e do c a a a a rculo, nesta ordem, formam uma progress o geom trica, ent o B/H uma raiz do polin mio a e a e o A ( ) 3 x3 + 2 x2 + x 2 = 0. B ( ) 2 x3 + 3 x2 + x + 1 = 0 . C ( ) 3 x3 2 x2 + x + 2 = 0. D ( ) x3 2 x2 + 2 x 1 = 0. E ( ) x3 2 2 x2 + x 1 = 0. Quest o 06. Se as medidas dos lados de um tri ngulo obtus ngulo est o em progress o a a a a a geom trica de raz o r, ent o r pertence ao intervalo e a a A ( ) 0, (1 + 2)/2 . B( ) (1 + C( ) D( ) 2)/2, (1 + (1 + E( ) 2+ 5)/2, (1 + 5)/2, (1 + 2+ 2/2, (2 + 5)/2 . 5)/2 . 2/2 . 3)/2 . Quest o 07. Sejam x, y e z n meros reais positivos tais que seus logaritmos numa dada a u base k s o n meros primos satisfazendo au logk (xy ) = 49, logk (x/z ) = 44. Ent o, logk (xyz ) igual a a e A ( ) 52. B ( ) 61. C ( ) 67. D ( ) 80. E ( ) 97. Quest o 08. Sejam x e y dois n meros reais tais que ex , ey e o quociente a u ex 2 5 4 ey 5 s o todos racionais. A soma x + y igual a a e A ( ) 0. B ( ) 1. C ( ) 2 log5 3. D ( ) log5 2. E ( ) 3 loge 2. Quest o 09. Seja Q(z ) um polin mio do quinto grau, de nido sobre o conjunto dos a o n meros complexos, cujo coe ciente de z 5 igual a 1. Sendo z 3 + z 2 + z + 1 um fator de u e Q(z ), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, ent o, podemos a rmar que a soma dos quadrados dos a m dulos das ra de Q(z ) igual a o zes e A ( ) 9. B ( ) 7. C ( ) 5. D ( ) 3. E ( ) 1. Quest o 10. Sendo c um n mero real a ser determinado, decomponha o polin mio a u o 2 9x 63x + c, numa diferen a de dois cubos c (x + a)3 (x + b)3 . Neste caso, | a + | b | c | igual a e A ( ) 104. 144. B ( ) 114. C ( ) 124. D( ) 134. E( ) Quest o 11. Sobre a equa ao na vari vel real x, a c a | | | x 1 | 3 | 2 | = 0, podemos a rmar que A( B( C( D( E( ) ela n o admite solu o real. a ca ) a soma de todas as suas solu oes 6. c e ) ela admite apenas solu oes positivas. c ) a soma de todas as solu es 4. co e ) ela admite apenas duas solu oes reais. c Quest o 12. Determine quantos n meros de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, a u 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo ` seguinte regra: O n mero n o pode ter algarismos repetidos, a u a exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. A ( ) 204 B ( ) 206 C ( ) 208 D( ) 210 E ( ) 212 Quest o 13. Seja x um n mero real no intervalo 0 < x < /2. Assinale a op o que a u ca indica o comprimento do menor intervalo que cont m todas as solu oes da desigualdade e c 1 x1 tg x 3 cos2 2 2 22 A ( ) /2 B ( ) /3 sec(x) 0. C ( ) /4 D ( ) /6 E ( ) /12 Quest o 14. Assinale a op ao que indica a soma dos elementos de A B, sendo: a c A= B= A( )0 D ( ) 2 2+ xk = sen 2 yk = sen 2 k2 : k = 1, 2 e 24 (3k + 5) : k = 1, 2 . 24 B( )1 3 /3 E ( ) 2+ 2 C( )2 3 /3 Quest o 15. Sejam A = (ajk ) e B = (bjk ) , duas matrizes quadradas n n, onde ajk e a bjk s o, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, de nidos a por j k ajk = , quando j k , ajk = , quando j < k k j e jk jk bjk = ( 2)p . p p=0 O tra o de uma matriz quadrada (cjk ) de ordem n n de nido por c e n for mpar, o tra o de A + B igual a c e A ( ) n(n 1)/3. B ( ) (n 1)(n + 1)/4. D ( ) 3(n 1)/n. n p=1 cpp . Quando C ( ) (n2 3n + 2)/(n 2). E ( ) (n 1)/(n 2). Quest o 16. Considere no plano cartesiano xy o tri ngulo delimitado pelas retas 2x = y, a a x = 2y e x = 2y + 10. A rea desse tri ngulo mede a a A ( ) 15/2. B ( ) 13/4. C ( ) 11/6. D ( ) 9/4. E ( ) 7/2. Quest o 17. Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos do plano cartesiano, em a que a um n mero real n o nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equa ao do lugar e u a c geom trico dos pontos P : (x, y ) cuja dist ncia ` reta que passa por A e B, igual ` e a a e a dist ncia de P ao ponto C. a A( B( C( D( E( ) x2 + y 2 2xy 2ax 2ay + 3a2 = 0 ) x2 + y 2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 ) x2 + y 2 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 ) x2 + y 2 2xy 2ax 2ay 3a2 = 0 ) x2 + y 2 + 2xy 2ax 2ay 3a2 = 0 Quest o 18. Seja Pn um pol a gono regular de n lados, com n > 2. Denote por an o ap tema e por bn o comprimento de um lado de Pn . O valor de n para o qual valem as o desigualdades bn an e bn 1 > an 1 , pertence ao intervalo A ( ) 3 < n < 7. D ( ) 10 < n < 13. B ( ) 6 < n < 9. E ( ) 12 < n < 15. C ( ) 8 < n < 11. Quest o 19. Sejam P1 e P2 oct gonos regulares. O primeiro est inscrito e o segundo a o a circunscrito a uma circunfer ncia de raio R. Sendo A1 a rea de P1 e A2 a rea de P2 , e a a ent o a raz o A1 /A2 igual a a a e A ( ) 8. 5/ B ( ) 9 2/16. C ( ) 2( 2 1). D ( ) (4 2 + 1)/8. E ( ) (2 + 2)/4. Quest o 20. Considere uma pir mide regular de base hexagonal, cujo ap tema da base a a o mede 3 cm. Secciona-se a pir mide por um plano paralelo ` base, obtendo-se um tronco a a de volume igual a 1 cm3 e uma nova pir mide. Dado que a raz o entre as alturas das a a pir mides 1/ 2, a altura do tronco, em cent a e metros, igual a e A ( ) ( 2)/4. 6 B ( ) ( /3. 6 3) C ( ) (3 3 6)/21. D ( ) (3 2 2 3)/6. E ( ) (2 6 2)/22. As quest es dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e o respondidas no caderno de solu oes. c Quest o 21. Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de n meros reais tais a u que = {x R : x2 + x 2}, = x R : 8 x 3 4 x 22 x > 0 , = {x R : log(x + 4) 0} , = {x R : 0 2x + 7 < 2} . A B C A B A C B C Quest o 22. Determine o conjunto A formado por todos os n meros complexos z tais a u que z 2z + = 3 e 0 < |z 2i| 1. z 2i z + 2i Quest o 23. Seja k um n mero inteiro positivo e a u Ak = { j N : j k e mdc(j, k ) = 1 }. Veri que se n(A3 ), n(A9 ), n(A27 ) e n(A81 ), est o ou n o, nesta ordem, numa progress o a a a aritm tica ou geom trica. Se for o caso, especi que a raz o. e e a Quest o 24. Considere a equa ao: a c x2 p + 2 x2 1 = x. (a) Para que valores do par metro real p a equa ao admite ra reais? a c zes (b) Determine todas essas ra reais. zes Quest o 25. Sendo x, y, z e w n meros reais, encontre o conjunto solu ao do sistema a u c log (x + 2y )(w 3z ) 1 = 0, 2x+3z 8 2y 3z+w = 0, 3 2x + y + 6z 2w 2 = 0. Quest o 26. Dentre 4 mo as e 5 rapazes deve-se formar uma comiss o de 5 pessoas a c a com, pelo menos, 1 mo a e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comiss o poder ser c a a formada? Quest o 27. Considere um tri ngulo is sceles ABC, ret ngulo em B. Sobre o lado BC, a a o a considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progress o geom trica decrescente. Se for o a e ngulo E AD, determine tg em fun ao da raz o r da progress o. a c a a Quest o 28. Considere, no plano cartesiano xy, duas circunfer ncias C1 e C2 , que se a e tangenciam exteriormente em P : (5, 10). O ponto Q : (10, 12) o centro de C1 . Determine e o raio da circunfer ncia C2 , sabendo que ela tangencia a reta de nida pela equa a o x = y. e c Quest o 29. Seja C1 uma circunfer ncia de raio R1 inscrita num tri ngulo equil tero a e a a de altura h. Seja C2 uma segunda circunfer ncia, de raio R2 , que tangencia dois lados do e tri ngulo internamente e C1 externamente. Calcule (R1 R2 )/h. a Quest o 30. Os quatro v rtices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm3 , encona e tram-se nos v rtices de um cubo. Cada v rtice do cubo centro de uma esfera de 1 cm e e e de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior `s esferas. a

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