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ITA Vestibular de 2010 - Matemática

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NOTA ES N = f1; 2; 3; : : :g R : conjunto dos n meros reais [a; b] = fx 2 R; a x bg C i jz j ]a; b[ = fx 2 R; a < x < bg Mm [a; b[ = fx 2 R; a z x < bg An B = f x ; x 2 A e x 2 B g = k P an = a1 + a2 + ::: + ak ; k 2 N n=1 k P n=0 : : : : : n ( R) : conjugado do n mero z 2 C : conjunto das matrizes reais m det A n : determinante da matriz A At an xn = a0 + a1 x + ::: + ak xk ; k 2 N P ( A) n ( A) Arg z f Eg fg : conjunto dos n meros complexos : unidade imagin ria: i2 = 1 : m dulo do n mero z 2 C : transposta da matriz A A 1 : inversa da matriz invers vel A conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n mero de elementos do conjunto nito A argumento principal de z 2 C n f0g; Arg z 2 [0; 2 [ fun o composta das fun es f e g produto das fun es f e g Observa o: Os sistemas de coordenadas considerados s o cartesianos retangulares. Quest o 1. Considere as a rma es abaixo relativas a conjuntos A; B e C quaisquer: I. II. A nega o de x 2 A \ B : x 2 A ou x 2 B . = = A \ (B [ C ) = (A \ B ) [ (A \ C ). III. (AnB ) [ (B nA) = (A [ B )n(A \ B ). Destas, (s o) falsa(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. D ( ) apenas I e III. E ( ) nenhuma. Quest o 2. Considere conjuntos A; B das fun es reais de nidas por ln(x p C ( ) apenas III. R e C (A [ B ): Se ArB; A \ C e B \ C s o os dom nios [ p x ); x2 + 6 x 8 e ; respectivamente, pode-se 5x a rmar que p A ( ) C =] ; 5[: B ( ) C = [2; ]: D ( ) C = [ ; 4]: E ( ) C n o intervalo. C ( ) C = [2; 5[: Quest o 3. Se z uma solu o da equa o em C; " p p 21 2 z z + jz j = 2+i 3 p 2+1 i 3 !#12 pode-se a rmar que A ( ) i( z z ) < 0. D ( ) jz j 2 [6; 7]. B ( ) i(z C C E ( ) Cz + C z ) > 0. C 1C C > 8. zC C ( ) jz j 2 [5; 6]. ; Quest o 4. Os argumentos principais das solu es da equa o em z; iz + 3z + (z + z )2 i = 0; pertencem a 3 : 44 h i 37 [ D( ) ; ; 42 24 A( ) 35 : ; 44 i h 7 E ( ) 0; [ ;2 4 4 B( ) ; : C( ) 53 ; 42 : . Quest o 5. Considere a progress o aritm tica (a1 ; a2 ; ::: ; a50 ) de raz o d: Se 10 P an = 10 + 25d e n=1 50 P an = 4550; ent o d a1 igual a n=1 A ( ) 3: B ( ) 6: C ( ) 9: D ( ) 11: E ( ) 14. Quest o 6. Sejam f; g : R ! R tais que f par e g mpar. Das seguintes a rma es: I. f g mpar, II. f E g par, III. g E f mpar, (s o) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. D ( ) apenas I e II. C ( ) apenas III. E ( ) todas. Quest o 7. A equa o em x; arctg (ex + 2) A( B( C( D( E( arccotg ex e2x 1 ) admite in nitas solu es, todas positivas. ) admite uma nica solu o, e esta positiva. ) admite tr s solu es que se encontram no intervalo ) admite apenas solu es negativas. ) n o admite solu o. = 4 ; x 2 Rnf0g; 53 : ; 22 Quest o 8. Sabe-se que o polin mio p(x) = x5 a x3 + a x2 Considere as seguintes a rma es sobre as ra zes de p: I. Quatro das ra zes s o imagin rias puras. II. 1; a 2 R; admite a raiz Uma das ra zes tem multiplicidade dois. III. Apenas uma das ra zes real. Destas, (s o) verdadeira(s) apenas A ( ) I. B ( ) II. C ( ) III. D ( ) I e III. E ( ) II e III. i: 5 P Quest o 9. Um polin mio real p(x) = an xn ; com a5 = 4; tem tr s ra zes reais distintas, a; b n=0 e c; que satisfazem o sistema 8 < a + 2b + 5c = 0 a + 4b + 2c = 6 : : 2a + 2b + 2c = 5 Sabendo que a maior das ra zes simples e as demais t m multiplicidade dois, pode-se a rmar que p(1) igual a A( ) 4: B( ) 2: C ( ) 2: Quest o 10. Considere o polin mio p(x) = 15 P D ( ) 4: E ( ) 6. an xn com coe cientes a0 = 1 e an = 1 + i an 1 ; n=0 n = 1; 2; :::; 15: Das a rma es: I. II. p ( 1 ) 2 R, = jp(x)j 4 3+ p 2+ p III. a8 = a4 , 5 ; 8x 2 [ 1; 1], (s o) verdadeira(s) apenas A ( ) I: B ( ) II: C ( ) III: D ( ) I e II: p p Quest o 11. A express o 2 3 + 5 5 p A ( ) 2630 5. p D ( ) 1584 15. p B ( ) 2690 5. p E ( ) 1604 15. p 23 p 5 5 E ( ) II e III. igual a p C ( ) 2712 5. Quest o 12. Um palco possui 6 re etores de ilumina o. Num certo instante de um espet culo moderno os re etores s o acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos re etores, seja 2 de a probabilidade de ser aceso: Ent o, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 re etores 3 sejam acesos simultaneamente, igual a A( ) 16 : 27 B( ) 49 : 81 C( ) 151 : 243 D( ) 479 : 729 E( ) 24 25 +. 34 35 Quest o 13. Considere a matriz 2 3 a1 a2 a3 A = 4 0 a4 a5 5 2 M 3 3 ( R ) ; 0 0 a6 em que a4 = 10; det A = 1000 e a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 e a6 formam, nesta ordem, uma progress o a1 igual a aritm tica de raz o d > 0: Pode-se a rmar que d A( ) 4: B( ) 3: C( ) 2: D( ) 1: E ( ) 1. Quest o 14. Sobre os elementos da matriz 2 x1 x2 6 y1 y2 A=6 40 0 10 3 x4 y4 7 7 2 M 4 4 ( R) 15 0 x3 y3 0 0 sabe-se que (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) e (y1 ; y2 ; y3 , y4 ) s o duas progress es geom tricas de raz o 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. Ent o, det(A 1 ) e o elemento (A 1 )23 valem, respectivamente, A( ) 1 e 12: 72 B( ) 1 e 72 Quest o 15. O valor da soma 12: 6 P n=1 i B 1h cos cos B : A( ) 2 729 B B C ( ) cos cos : 243 729 B E ( ) cos cos B. 729 sen C( ) 2B 3n 1 e 12: 72 sen D( ) 1 1 e: 72 12 E( ) 1 1 e. 72 12 B ; para todo B 2 R, igual a 3n B 1h B( ) sen 2 243 1h B D( ) cos 2 729 Bi sen : 729 Bi cos : 243 4 Quest o 16. Se os n meros reais B e C , com B + C = ;0 B 3 sen B + sen C; ent o B igual a p 3 2 3 5 A( ) : B( ) : C( ) : D( ) : 3 3 5 8 C ; maximizam a soma E( ) 7 . 12 Quest o 17. Considere as circunfer ncias C1 : (x 4)2 +(y 3)2 = 4 e C2 : (x 10)2 +(y 11)2 = 9: Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2 ; isto , r tangencia C1 e C2 e intercepta o segmento de reta O1 O2 de nido pelos centros O1 de C1 e O2 de C2 : Os pontos de tang ncia de nem um segmento sobre r que mede p A ( ) 5 3. p B ( ) 4 5. p C ( ) 3 6. p D( ) 25 . 3 E ( ) 9. 6 Quest o 18. Um cilindro reto de altura cm est inscrito num tetraedro regular e tem sua 3 base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm; o volume do cilindro, em cm3 ; igual a p p p p 3 3 6 6 A( ) : B( ) : C( ) : D( ) : E( ) : 4 6 6 9 3 Quest o 19. Um tri ngulo equil tero tem os v rtices nos pontos A; B e C do plano xOy; sendo B = (2; 1) e C = (5; 5): Das seguintes a rma es: 3 11 x+ , 4 2 45 3 x+ com a circunfer ncia (x 2)2 + (y 1)2 = 25, II. A est na intersec o da reta y = 4 8 2 75 7 III. A pertence s circunfer ncias (x 5)2 + (y 5)2 = 25 e x + ( y 3 )2 = , 2 4 I. A se encontra sobre a reta y = (s o) verdadeira(s) apenas A ( ) I: B ( ) II: C ( ) III: D ( ) I e II: E ( ) II e III. Quest o 20. Sejam A; B; C e D os v rtices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm: Se M o ponto m dio do segmento AB e N o ponto m dio do segmento CD; ent o a rea do tri ngulo M N D; em cm2 ; igual a p p p p p 2 2 3 3 3 A( ) : B( ) : C( ) : D( ) : E( ) . 6 8 6 8 9 AS QUEST ES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLU ES. Quest o 21. Sejam A; B e C conjuntos tais que C B ; n ( B nC ) = 3 n ( B \ C ) = 6 n ( A \ B ) ; n(A [ B ) = 22 e (n(C ); n(A); n(B )) uma progress o geom trica de raz o r > 0: a) Determine n(C ): b) Determine n(P (B nC )). Quest o 22. A progress o geom trica in nita (a1 ; a2 , ..., an ; ...) tem raz o r < 0: Sabe-se que a progress o in nita (a1 ; a6 , ..., a5n+1 ; ...) tem soma 8 e a progess o in nita (a5 ; a10 , ..., a5n ; ...) tem soma 2. Determine a soma da progress o in nita (a1 ; a2 , ..., an ; ...). Quest o 23. Analise se a fun o f : R ! R; f (x) = determine a fun o inversa f 1 : 3x 3 x 2 bijetora e, em caso a rmativo, Quest o 24. Seja f : R ! R bijetora e mpar. Mostre que a fun o inversa f mpar. Quest o 25. Considere o polin mio p(x) = 6 P n=0 a6 = 1: Sabe-se que se r raiz de p, das a rma es: I. II. 1 : R ! R tamb m an xn ; com coe cientes reais, sendo a0 6= 0 e r tamb m raiz de p. Analise a veracidade ou falsidade Se r1 e r2 ; jr1 j = jr2 j ; s o ra zes reais e r3 raiz n o real de p, ent o r3 imagin rio puro. 6 Se r raiz dupla de p; ent o r real ou imagin rio puro. III. a0 < 0. Quest o 26. Uma urna de sorteio cont m 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola equiprov vel retirada de cada uma das demais. a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o n mero desta bola ser um m ltiplo de 5 ou de 6. b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem rep -la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o n mero da segunda bola retirada n o ser um m ltiplo de 6. Quest o 27. Considere as matrizes 2 a1 6 b1 A=6 4 02 a2 A 2 M4 4 (R) e X; B 2 M4 1 (R) : 3 2 3 2 b1 x b1 6 b2 7 6y 7 a 07 7 6 ; X=6 4 z 5 e B = 4 b3 0 05 b4 w b1 3 7 7: 5 a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equa o matricial AX = B tenha solu o nica. b) Se a2 b2 = 0; a 6= 0 e B = [1 1 2 4]t ; encontre X tal que AX = B . Quest o 28. Considere a equa o (3 2 cos2 x) 1 + tg2 x 2 6 tg x = 0: 2 a) Determine todas as solu es x no intervalo [0; [. b) Para as solu es encontradas em a); determine cotg x. Quest o 29. Determine uma equa o da circunfer ncia inscrita no tri ngulo cujos v rtices s o A = (1; 1); B = (1; 7) e C = (5; 4) no plano xOy . Quest o 30. As superf cies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto , em cada ponto da intersec o os respectivos planos tangentes s o perpendiculares). Sabendo que os raios destas 3 esferas medem 2 cm e cm; respectivamente, calcule 2 a) a dist ncia entre os centros das duas esferas. b) a rea da superf cie do s lido obtido pela intersec o das duas esferas. INSTITUTO TECNOL GICO DE AERON UTICA VESTIBULAR 2010 GABARITO F sica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 E D A A C E C B D B C C A A E D B B E C Ingl s 1 A 2 E 3 A 4 C 5 * 6 D 7 E 8 A 9 D 10 E 11 D 12 C 13 D 14 B 15 D 16 B 17 C 18 B 19 D 20 A Portugu s 21 A 22 D 23 E 24 C 25 B 26 E 27 E 28 B 29 D 30 C 31 A 32 D 33 B 34 C 35 A 36 B 37 E 38 C 39 A 40 E Matem tica 1 E 2 C 3 E 4 C 5 D 6 D 7 B 8 C 9 A 10 E 11 B 12 A 13 D 14 C 15 A 16 B 17 A 18 D 19 E 20 B Qu mica 1 E 2 A 3 B 4 E 5 D 6 C 7 B 8 D 9 C 10 E 11 E 12 D 13 D 14 C 15 D 16 B 17 B 18 E 19 B 20 A Obs: a quest es 5 da prova de Ingl s foi considerada correta para todos os candidatos.

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