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FUVEST Vestibular 2004 Prova - Segunda Fase - Matemática

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FUVEST 2004 Segunda Fase Prova de Matem tica 08/01/2004 Q.01 O n mero de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, ser o realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o n mero total de gols marcados nessa rodada para que a m dia de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior m dia obtida na primeira rodada? Q.02 Tr s cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a dist ncia de B a C igual a dois ter os da dist ncia de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e dist ncia de 210 km de A. Sabendo-se que P est 20 km mais pr ximo de C do que de B, determinar a dist ncia que o morador de B dever percorrer at o ponto de encontro. Q.03 Um tri ngulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5 , BC = 4 e AC = 2 . Sejam M e N os pontos de AB tais que CM a bissetriz relativa ao ngulo ACB e CN a altura relativa ao lado AB . Determinar o comprimento de MN . Q.04 Considere a equa o z 2 = z + ( 1) z , onde um n mero real e z indica o conjugado do n mero complexo z. a) Determinar os valores de para os quais a equa o tem quatro ra zes distintas. b) Representar, no plano complexo, as ra zes dessa equa o quando = 0 . Q.05 O produto de duas das ra zes do polin mio p( x ) = 2x 3 mx 2 + 4 x + 3 igual a 1. Determinar a) o valor de m. b) as ra zes de p. Q.06 A figura abaixo representa duas polias circulares C1 e C 2 de raios R 1 = 4 cm e R 2 = 1 cm , apoiadas em uma superf cie plana em P1 e P2 , respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a dist ncia entre os pontos P1 e P2 3 3 cm , determinar o comprimento da correia. Q.07 Na figura ao lado, os pontos A, B e C s o v rtices de um tri ngulo ret ngulo, sendo B o ngulo reto. Sabendo-se que A = (0, 0) , B pertence reta x 2y = 0 e P = (3, 4 ) o centro da circunfer ncia inscrita no tri ngulo ABC, determinar as coordenadas a) do v rtice B. b) do v rtice C. Q.08 Na figura ao lado, cada uma das quatro circunfer ncias externas tem mesmo raio r e cada uma delas tangente a outras duas e circunfer ncia interna C. Se o raio de C igual a 2, determinar a) o valor de r. b) a rea da regi o hachurada. Q.09 Seja m 0 um n mero real e sejam f e g fun es reais definidas por f ( x ) = x 2 2 x + 1 e g( x ) = mx + 2m . a) Esbo ar, no plano cartesiano representado ao lado, os gr ficos de f e de g quando m = m = 1. b) Determinar as ra zes de f(x)=g(x) quando m = 1 . 2 c) Determinar, em fun o de m, o n mero de ra zes da equa o f ( x ) = g( x ) . Q.10 No s lido S representado na figura ao lado, a base ABCD um ret ngulo de lados AB = 2 e AD = ; as faces ABEF e DCEF s o trap zios; as faces ADF e BCE s o tri ngulos equil teros e o segmento EF tem comprimento . Determinar, em fun o de , o volume de S. 1 e 4 Folha de resposta das quest es Q.09 e Q.10 Q.09 _____________________________________________________________________________ Q.10 M AT E M T I C A 1 O n mero de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, ser o realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o n mero total de gols marcados nessa rodada para que a m dia de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior m dia obtida na primeira rodada? Resolu o Sendo M I a m dia de gols da primeira rodada, M G a m dia de gols das duas primeiras rodadas e x o n mero de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G = (1 + 20% ) M I = 1,20 . 6+5 6 15 + x = 33 x = 18 Resposta: 18 gols 2 Tr s cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a dist ncia de B a C igual a dois ter os da dist ncia de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e dist ncia de 210 km de A. Sabendo-se que P est 20 km mais pr ximo de C do que de B, determinar a dist ncia que o morador de B dever percorrer at o ponto de encontro. Resolu o Nas condi es representadas na figura, tem-se: 2 y = x + (x 20) 2y = 6x 60 3 x + y = 210 x = 60 y = 150 Resposta: 60 km O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 3 Um tri ngulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais ^ que CM a bissetriz relativa ao ngulo ACB e CN a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de M N. Resolu o Sendo x o comprimento do segmento M N , tem-se: AC BC 1) CM bissetriz = AM BM 2 4 5 5 AM = AN = x = AM 5 AM 3 3 e BN = 5 ( ) 5 10 x = + x 3 3 2) No tri ngulo ret ngulo ANC, CN 2 + AN 2 = 4 3) No tri ngulo ret ngulo BNC, CN 2 + BN 2 = 16 4) Dos itens (2) e (3), conclui-se que BN 2 AN 2 = 12 ( )( 10 + x 3 2 ) 5 x 3 2 = 12 100 20 25 10 + x + x 2 + x x 2 = 12 9 3 9 3 25 11 10x + = 12 x = 3 30 11 Resposta: 30 O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 4 Considere a equa o z2 = z + ( 1) onde um z, indica o conjugado do n mero comn mero real e z plexo z. a) Determinar os valores de para os quais a equa o tem quatro ra zes distintas. b) Representar, no plano complexo, as ra zes dessa equa o quando = 0. Resolu o a) Sendo z = x + y i, com x e y reais, tem-se z2 = z + ( 1) z (x + y i) 2 = (x + y i) + + ( 1) (x yi) x 2 + 2xyi y 2 = x + yi + x yi x + yi x 2 y 2 + 2xyi = (2 1) x + yi x 2 y 2 = (2 1) x { 1 2xy = y y = 0 ou x = 2 Para y = 0 tem-se x 2 = (2 1) x x 2 (2 1)x = 0, que s admite duas ra zes 1 distintas se (2 1) 0 2 12 () 1 Para x = , tem-se 1 y2 = (2 1) . 2 2 2 1 3 1 y 2 = y 2 = , que s admite 4 4 2 3 3 4 4 duas ra zes distintas se > 0 < . 3 1 4 2 Assim sendo, se < e , as 4 ra zes ser o 1 z1 = 0, z2 = 2 1, z3 = + i 2 1 3 4 e 3 4 z4 = i 2 b) Para = 0, as ra zes s o z1 = 0 = (0; 0), 1 1 3 3 z2 = 1 = ( 1; 0), z3 = + i = ( ; ) 2 2 2 2 1 1 3 3 e z4 = i = ( ; ) 2 2 2 2 cuja representa o no gr fico cartesiano : O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 Respostas: a) 3 1 4 2 / < e b) gr fico 5 O produto de duas das ra zes do polin mio p(x) = 2x3 mx2 + 4x + 3 igual a 1. Determinar a) o valor de m. b) as ra zes de p. Resolu o Sendo V = {a, b, c} o conjunto-verdade da equa o p(x) = 2x 3 mx 2 + 4x + 3 = 0 e ab = 1, temos: 3 a . b . c = 2 a) ab = 1 3 c = 2 ab + ac + bc = 2 ab + c (a + b) = 2 3 1 + (a + b) = 2 a + b = 2 2 m 3 m a + b + c = 2 + = 2 b) { a+ b= 2 a . b = 1 2 2 m=7 x 2 2x 1 = 0 x = 1 ent o: V = {(1 2 ), (1 + 2 ), 3/2} Respostas: a) m = 7 b) V = {(1 2 ), (1 + O BJETI V O 2 2 ), 3/2} FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 6 A figura abaixo representa duas polias circulares C1 e C2 de raios R1 = 4 cm e R2 = 1 cm, apoiadas em uma superf cie plana em P1 e P2, respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a dist ncia entre os pontos P1 e P2 3 3 cm, determinar o comprimento da correia. Resolu o O comprimento L, em cent metros, dessa polia dado por: 360 L = . 2 . . 4 + . 2 . . 1 + 2 . 3 360 360 ( ) 3 , em que: 33 tg = = 3 2 () 3 e 0 < < 180 Assim: = 60 = 120 e 2 120 360 120 L = . 2. . 4 + .2. .1 + 2.3 3 360 360 ( ) 1 2 L = . 2 . . 4 + . 2 . . 1 + 2 . 3 3 L = 6 + 6 3 3 L = 6 ( + Resposta: 6 ( + O BJETI V O 3 3) 3 ) cm FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 7 Na figura a seguir, os pontos A, B e C s o v rtices de ^ um tri ngulo ret ngulo, sendo B o ngulo reto. Sabendo-se que A(0,0), B pertence reta x 2y = 0 e P = (3,4) o centro da circunfer ncia inscrita no tri ngulo ABC, determinar as coordenadas a) do v rtice B. b) do v rtice C. Resolu o a) 1 ) O raio da circunfer ncia de centro P (3; 4), e tangente reta de equa o x 2y = 0, a dist ncia: 5 3 2.4 r = = = 5 1+4 5 2 ) O ponto B pertence reta x 2y = 0, ent o B(2b; b). 3 ) O tri ngulo APQ ret ngulo no ponto Q, com AP = 5 e PQ = 5 , ent o: O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 AQ2 = 52 ( 5 )2 = 20 AQ = 2 5 4 ) AB = AQ + r = 3 5 (2b)2 + b2 = ( 3 5 )2 5b2 = 45 b2 = 9 b = 3, pois b > 0 Portanto, B(6; 3). b) 1 ) A reta AC, de equa o y = m . x mx y = 0, tal que: m .3 4 = m2 + 1 5 4m 2 24m + 11 = 0 11 1 m = ou m = 2 2 Como a reta AC tem coeficiente angular 11 1 m = , pois o coeficiente angular da 2 2 11 reta AB, sua equa o y = .x 2 2 ) A reta BC, que passa pelo ponto B (6; 3) e tem coeficiente angular m = 2 (a reta BC perpen dicular reta AB) tem equa o: y 3 = 2 . (x 6) y = 2x + 15 3 ) O ponto C a intersec o das retas AC e BC, ent o: 11 x=2 y = . x 2 y = 11 y = 2x + 15 { { Portanto: C (2; 11). Respostas: a) B(6; 3) O BJETI V O b) C(2; 11) FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 8 Na figura ao lado, cada uma das quatro circunfer ncias externas tem mesmo raio r e cada uma delas tangente a outras duas e circunfer ncia interna C. Se o raio de C igual a 2, determinar a) o valor de r. b) a rea da regi o hachurada. Resolu o a) 2(r + 2) a medida da diagonal de um quadrado de lado 2r Assim: 2(r + 2) = 2r 2 r + 2 = r 2 r( 2 1) = 2 2 r = r = 2( 2 + 1) 2 1 b) A rea S da regi o hachurada igual rea de um quadrado de lado 2r menos a soma das reas de um c rculo de raio r e um c rculo de raio 2, ou seja: S = (2r)2 r2 22 S = (4 ).r 2 4 Assim: O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 2 S = (4 ).(2 2 + 2) 4 S = (4 ).(12 + 8 2 ) 4 S = 4[(4 )(3 + 2 2 ) ] Respostas: a) 2( 2 + 1) b) 4[(4 )(3 + 2 2 ) O BJETI V O ] FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 9 Seja m 0 um n mero real e sejam f e g fun es reais definidas por f(x) = x2 2 x + 1 e g(x) = mx + 2m. a) Esbo ar, no plano cartesiano representado ao lado, 1 os gr ficos de f e de g quando m = e m = 1. 4 1 b) Determinar as ra zes de f(x)=g(x) quando m = . 2 c) Determinar, em fun o de m, o n mero de ra zes da equa o f(x) = g(x). Resolu o a) Sendo: f(x) = x2 2|x| + 1, 1 1 1 g(x) = x + (quando m = ) e 4 2 4 g(x) = x + 2 (quando m = 1), temos os gr ficos abaixo: 1 1 b) f(x) = g(x) x2 2|x| + 1 = x + 1, para m = 2 2 1 1 ) x 0 f(x) = g(x) x2 + 2x + 1 = x + 1 2 3 3 x2 + x = 0 x (x + ) = 0 2 2 3 x = 0 ou x = 2 1 2 ) x 0 f(x) = g(x) x2 2x + 1 = x + 1 2 5 5 x2 x = 0 x (x ) = 0 2 2 5 x = 0 ou x = 2 O conjunto-verdade da equa o O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 3 5 1 V 0; ; , para m = 2 2 2 { } c) O gr fico de f n o depende dos valores assumidos pelo n mero real m 0. A senten a g(x) = mx + 2m representa uma fam lia de retas que passam pelo ponto ( 2; 0). Analisando as posi es dos dois gr ficos, para m 0, temos: 1) m = 0 g(x) = 0 A equa o tem duas ra zes reais distintas, que s o 1 e 1. 1 2) 0 < m < 2 A equa o admite quatro ra zes reais distintas, sendo duas negativas e duas positivas. 1 1 3) m = g(x) = x + 1 2 2 O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 A equa o admite tr s ra zes reais distintas, que s o 3 5 , 0 e . 2 2 1 4) m > 2 A equa o admite duas ra zes reais distintas, sendo uma negativa e outra positiva. Respostas: a) gr fico 3 5 b) ; 0 ; 2 2 c) m = 0 2 ra zes reais 1 0 < m < 4 ra zes reais 2 1 m = 3 ra zes reais 2 1 m > 2 ra zes reais 2 O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 10 No s lido S representado na figura a seguir, a base ABCD um ret ngulo de lados AB = 2 e AD = as faces ABEF e DCEF s o trap zios; as faces ADF e BCE s o tri ngulos equil teros e o segmento EF tem comprimento . Determinar, em fun o de , o volume de S. Resolu o O s lido S pode ser decomposto em dois novos s lidos: uma pir mide, cuja base um quadrado de lado e cuja altura h a dist ncia entre a aresta EF e o plano do ret ngulo ABCD, e um prisma obl quo de aresta lateral , cuja sec o reta um tri ngulo is sceles de la 3 dos congruentes com medida a = e altura h, 2 ( 32 onde h2 = 2 2 ) ( 2 ) 2 h = 2 Assim o seu volume V ser dado por: 1 V = . 3 O BJETI V O 2 . 2 2 2 . + . 2 2 FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4 3 3 2 2 52 3 V = + V = 4 6 52 12 3 Resposta: 12 O BJETI V O FU V ES T - ( 2 Fa se ) Ja n e i r o / 2 0 0 4

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