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FUVEST Vestibular 2002 Prova - Segunda Fase - Matemática

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)89(67 0DWHPiWLFD 4 Carlos, Lu s e S lvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplica o que rendia 15% ao ano. Lu s, uma que rendia 20% ao ano. S lvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplica o de risco, com rendimento anual p s-fixado. Depois de um ano, Carlos e Lu s tinham juntos 59 mil reais; Carlos e S lvio, 93 mil reais; Lu s e S lvio, 106 mil reais. a) Quantos reais cada um tinha inicialmente? b) Qual o rendimento da aplica o de risco? 4 Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em cent metros. A sala retangular, de lados 2m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais s o os poss veis valores do lado das lajotas? 4 Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo levar uma pe a da casa inferior esquerda (casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta pe a deve moverse, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente direita. Se apenas uma destas casas existir, a pe a ir mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos poss veis para completar o trajeto s o (1, 1) (1, 2) (2, 2) (2, 3) (3, 3) (3, 4) (4, 4) e (1, 1) (2, 1) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (4, 3) (4, 4). a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto? b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas op es de movimento, lan a-se uma moeda n o viciada; se der cara, a pe a move-se para a casa direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) ter uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que t m maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade. 4 Sejam # = (0, 0 ) , B = (8, 0 ) e C = ( 1, 3 ) os v rtices de um tri ngulo e D = (u, v ) um ponto do segmento BC . Sejam E o ponto de intersec o de AB com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersec o de AC com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos x. a) Determine, em fun o de u, a rea do quadril tero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a rea do quadril tero AEDF m xima. 4 As ra zes do polin mio p(x ) = x 3 3 x 2 + m , onde m um n mero real, est o em progress o aritm tica. Determine a) o valor de m; b) as ra zes desse polin mio. 4 O tri ngulo ret ngulo ABC , cujos catetos AC e AB medem 1 e 3 , respectivamente, dobrado de tal forma que o v rtice C coincida com o ponto D do lado AB . Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que NDB reto, determine a) o comprimento dos segmentos CN e CM ; b) a rea do tri ngulo CMN . 4 ( )( ) Determine as solu es da equa o 2 cos 2 x + 3 sen x cos 2 x sen 2 x = 0 que est o no intervalo [0,2 ] . 4 Na figura abaixo, as circunfer ncias C1 e C2, de centros O1 e O2, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r tangente a C1 e C2; a reta s passa por O1 e O2 e o ngulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C1 4, o de C2 3 e que sen = a) a rea do quadril tero O1QO2P; b) sen , onde = QO 2 P . 1 , calcule: 5 4 Um bloco retangular (isto , um paralelep pedo reto-ret ngulo) de base quadrada de lado 4cm e 2 altura 20 3 cm , com de seu volume cheio de gua, est inclinado sobre uma das arestas da 3 o base, formando um ngulo de 30 com o solo (ver se o lateral abaixo). Determine a altura h do n vel da gua em rela o ao solo. 4 S o dados, na p gina ao lado, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A v rtice de um paralelogramo ABCD; o lado AB est na reta s; M o ponto m dio do lado BC e o ngulo CAB o tem medida 30 . Usando r gua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua constru o. (67( &$'(512 &217e0 '(= 48(67 (6 9(5,),48( 6( (67 &203/(72 '85$d 2 '$ 3529$ 75 6 +25$6 e 3(50,7,'$ $ 87,/,=$d 2 '( 5e*8$ *5$'8$'$ (648$'52 ( &203$662 $7(1d 2 VERIFIQUE SE NA P GINA DESTINADA RESOLU O DAS QUEST ES 9 E 10 EST O PR -IMPRESSOS OS DADOS DA QUEST O 10.

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