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FUVEST Vestibular 2001 Prova - Segunda Fase - Matemática

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Q.01 Matem tica FUVEST 2001 A diferen a entre dois n meros inteiros positivos 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminu do em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus c lculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois n meros. Q.02 A hipotenusa de um tri ngulo ret ngulo est contida na reta r : y = 5x 13 , e um de seus catetos est contido na reta s : y = x 1 . Se o v rtice onde est o ngulo reto um ponto da forma (k , 5) sobre a reta s, determine a) todos os v rtices do tri ngulo; b) a rea do tri ngulo. Q.03 Matem tica FUVEST 2001 a) Calcule cos 3 em fun o de sen e de cos . b) Calcule sen 3 em fun o de sen e de cos . c) Para 0 < < , resolva a equa o: 2 sen 2 + 1 sen 3 cos 3 cos + 1 = . 2 sen cos Q.04 Na figura ao lado, t m-se um cilindro circular reto, onde A e B s o os centros das bases e C um ponto da intersec o da superf cie lateral com a base inferior do cilindro. Se D o ponto do segmento BC , cujas dist ncias a AC e AB s o ambas iguais a d, obtenha a raz o entre o volume do cilindro e sua rea total ( rea lateral somada com as reas das bases), em fun o de d. Q.05 Matem tica FUVEST 2001 Considere dois n meros reais e tais que 1 , 1 e 0 . a) Determine uma rela o entre e , para que as equa es polinomiais x 3 x 2 x ( + 1) = 0 e x 2 x ( + 1) = 0 possuam uma raiz comum. b) Nesse caso, determine a raiz comum. Q.06 No plano complexo, cada ponto representa um n mero complexo. Nesse plano, considere o hex gono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imagin ria, como um de seus v rtices. a) Determine os v rtices do hex gono. b) Determine os coeficientes de um polin mio de grau 6, cujas ra zes sejam os v rtices do hex gono. Q.07 Matem tica FUVEST 2001 Um agricultor irriga uma de suas planta es utilizando duas m quinas de irriga o. A primeira irriga uma regi o retangular, de base 100 m e altura 20 m, e a segunda irriga uma regi o compreendida entre duas circunfer ncias de centro O, e de raios 10 m e 30 m. A posi o relativa dessas duas regi es dada na figura onde A e B s o os pontos m dios das alturas do ret ngulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O est o alinhados e que BO = 20 m , determine a) a rea da intersec o das regi es irrigadas pelas m quinas; b) a rea total irrigada. Utilize as seguintes aproxima es: 2 = 1,41 , = 3,14 e arc sen 1 = 0,340 rad . 3 Q.08 Um dado, cujas faces est o numeradas de um a seis, dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lan amento. Considere o experimento que consiste em tr s lan amentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses tr s n meros seja a) par; b) m ltiplo de 10. Matem tica FUVEST 2001 Q.09 Dado um n mero real a, considere o seguinte problema: "Achar n meros reais x1 , x 2 ,..., x 6 , n o todos nulos, que satisfa am o sistema linear: (r 2)(r 3) x r 1 + (r 1)(r 3)(r 4)(r 6) a + ( 1)r x r + (r 3) x r +1 = 0 , para r = 1, 2, ..., 6 , onde x 0 = x 7 = 0 ". ( ) a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores de a o problema acima tem solu o? c) Existe, para algum valor de a, uma solu o do problema com x1 = 1 ? existir, determine tal solu o. Se Q.10 S o dados os pontos A e B e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabese que A e B pertencem, respectivamente, s diagonais CE e DF de um quadrado CDEF , cujo centro O. A dist ncia de A a O igual a GH e a medida do lado do quadrado igual a GI. Construa, usando r gua e compasso, um quadrado CDEF , satisfazendo as condi es acima. Descreva e justifique as constru es utilizadas. Matem tica FUVEST 2001 Figura utilizada para responder tem a da quest o 09 a) x1 0 x 0 2 x3 0 = x4 0 x5 0 x 0 6 Matem tica FUVEST 2001 Figura utilizada para responder a quest o 10

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