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UERJ Vestibular de 2009 - Exame Discursivo - Matemática

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2 Fase Exame Discursivo 07 / 12 / 2008 Matem tica Caderno de prova Este caderno, com dezesseis p ginas numeradas seq encialmente, cont m dez quest es de Matem tica. N o abra o caderno antes de receber autoriza o. Instru es 1. Verifique se voc recebeu mais dois cadernos de prova. 2. Verifique se seu nome, seu n mero de inscri o e seu n mero do documento de identidade est o corretos nas sobrecapas dos tr s cadernos. Se houver algum erro, notifique o fiscal. 3. Destaque, das sobrecapas, os comprovantes que t m seu nome e leve-os com voc . 4. Ao receber autoriza o para abrir os cadernos, verifique se a impress o, a pagina o e a numera o das quest es est o corretas. Se houver algum erro, notifique o fiscal. 5. Todas as respostas e o desenvolvimento das solu es, quando necess rio, dever o ser apresentados nos espa os apropriados, com caneta azul ou preta. N o ser o consideradas as quest es respondidas fora desses locais. Informa es gerais O tempo dispon vel para fazer as provas de cinco horas. Nada mais poder ser registrado ap s o t rmino desse prazo. Ao terminar, entregue os tr s cadernos ao fiscal. Ser eliminado do Vestibular Estadual 2009 o candidato que, durante as provas, utilizar m quinas de calcular, rel gios digitais, aparelhos de reprodu o de som ou imagem com ou sem fones de ouvido, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer esp cie. Ser tamb m eliminado o candidato que se ausentar da sala levando consigo qualquer material de prova. Boa prova! 2 Matem tica 01 Quest o Admita dois n meros inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divis es de a e b por 8 s o, respectivamente, 7 e 5. Determine o resto da divis o do produto a.b por 8. desenvolvimento e resposta: Vestibular Estadual 2009 Exame Discursivo 3 Matem tica 02 Quest o Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha ol mpica de ouro na modalidade salto em dist ncia. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: todos os saltos de ordem mpar foram v lidos e os de ordem par inv lidos; o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 7,07 m, e assim sucessivamente cada salto v lido aumentou sua medida em 3 cm; o ltimo salto foi de ordem mpar e atingiu a marca de 7,22 m. Calcule o valor de n. desenvolvimento e resposta: 4 Matem tica 03 Quest o Considere a situa o abaixo: Em um sal o h apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem dan ar. Calcule o n mero total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dan ar. Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo: A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa s poder ser escolhida de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. H , portanto, 12 6 = 72 modos de formar um casal. Essa solu o est errada. Apresente a solu o correta. desenvolvimento e resposta: Vestibular Estadual 2009 Exame Discursivo 5 Matem tica 04 Quest o A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esf rica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo = 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em rela o ao volume da caixa. desenvolvimento e resposta: 6 Matem tica 05 Quest o Observe a par bola de v rtice V, gr fico da fun o quadr tica definida por y = ax2 + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B. Calcule o valor num rico de b2 4ac, sabendo que o tri ngulo ABV equil tero. desenvolvimento e resposta: Vestibular Estadual 2009 Exame Discursivo 7 Matem tica 06 Quest o Em uma folha de f rmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largura AD, um marceneiro tra a dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interse o desses segmentos. A figura abaixo representa a folha de f rmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F. desenvolvimento e resposta: 8 Matem tica 07 Quest o Uma seq ncia de tr s n meros n o nulos (a, b, c) est em progress o harm nica se seus inversos ( 1, 1,1 a bc ) , nesta ordem, formam uma progress o aritm tica. As ra zes da equa o a seguir, de inc gnita x, est o em progress o harm nica. x3 + mx2 + 15x 25 = 0 Considerando o conjunto dos n meros complexos, apresente todas as ra zes dessa equa o. desenvolvimento e resposta: Vestibular Estadual 2009 Exame Discursivo 9 Matem tica 08 Quest o Observe a curva AEFB desenhada abaixo. Analise os passos seguidos em sua constru o: 1 ) tra ar um semic rculo de di metro AB com centro C e raio 2 cm; 2 ) tra ar o segmento CD, perpendicular a AB, partindo do ponto C e encontrando o ponto D, pertencente ao arco AB; 3 ) construir o arco circular AE, de raio AB e centro B, sendo E a interse o com o prolongamento do segmento BD, no sentido B para D; 4 ) construir o arco circular BF, de raio AB e centro A, sendo F a interse o com o prolongamento do segmento AD, no sentido A para D; 5 ) desenhar o arco circular EF com centro D e raio DE. Determine o comprimento, em cent metros, da curva AEFB. desenvolvimento e resposta: 10 Matem tica 09 Quest o Os baralhos comuns s o compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes, denominados copas, espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles. Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K s o denominadas, respectivamente, s, valete, dama e rei. Uma crian a rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, n o rasgadas, foram guardadas em uma caixa. A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas: carta probabilidade um rei uma carta de copas uma carta de copas ou rei 0,075 0,25 0,3 Calcule o valor de n. desenvolvimento e resposta: Vestibular Estadual 2009 Exame Discursivo 11 Matem tica 1 0 Quest o CONSIDERE O TEOREMA E OS DADOS A SEGUIR PARA A SOLU O DESTA QUEST O. Se , e s o tr s ngulos diferentes de tg( + ) = tg + tg . 1 (tg )(tg ) 2 +k ,k , ent o a, b e c s o tr s ngulos agudos, sendo tgb = 2 e tg(a + b + c) = Calcule tg(a b + c). desenvolvimento e resposta: 12 4. 5 Rascunho Vestibular Estadual 2009 Exame Discursivo 13 Rascunho 14 Rascunho Vestibular Estadual 2009 Exame Discursivo 15 ABCDAEF ! Quest o Resposta a = 8k + 7 b = 8n + 5 1 a b = 64kn + 40k + 56n + 35 a b = 8(8kn + 5k + 7 n + 4) + 3 Resto: 3 Em cent metros 704, 707, 710, ..., 722 2 722 704 = 18 18 3 = 6 aumentos de 3 cm 7 saltos de ordem mpar com 6 de ordem par 3 n = 13 saltos H 6 possibilidades de se escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem 6 possibilidades de se escolher um homem. Portanto, o n mero de maneiras distintas de se formar um casal dado por 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 6 = 36. Volume da bola: VB = 43 r = 4r 3 3 4 Volume interno da caixa: VC = VB 8 r2 8 r = 2= VC 3L 3L BCH sen60 = 3r L L2 3 L2 r 3 2r = 4 2 2 r 3 = L 6 2 VB 8 = VC 3 3 6 = 23 38% 9 ABCDAEF AB = b + b = 2a 2a a A altura do tri ngulo relativa ao v rtice V : 5 AB 3 = 2 4a 3 = a 2 4a Elevando ao quadrado: 3 2 = 4a 2 16a 2 = 12 Equa o da reta AE : y = x Equa o da reta BD : 2 x + 3 y = 30 6 Interse o das retas: 2 x + 3 x = 30 x=6 e y=6 F = (6,6) Se a , b e c s o as ra zes, ent o ac + ab + bc = 15 211 =+ bac ac + 2ac = 15 2ac = bc + ab . ac = 5 e ab + bc = 10 7 abc = 25 b=5 a+c = 2 A equa o x 2 2 x + 5 = 0 possui ra zes a e c ; portanto, x = 1 2i . Assim, as ra zes s o {5 ; 1 + 2i ; 1 2i} . ABD ret ngulo is sceles. AD = BD = 4sen45 = 2 2 Os arcos AE e BF t m comprimentos iguais a 1 2 4 = 8 8 O arco EF tem 90 e seu raio DE = 4 2 2 . Ent o: comprimento (EF) = 1 2 (4 2 2) = (2 2) 4 comprimento (AEFB) = 2 + (2 2) = (4 2) cm ABCDAEF 9 N mero de cartas guardadas na caixa: n Probabilidade de retirada de: - um rei P(R) = 0,075 - uma carta de copas P(C) = 0,25 - um carta de copas ou um rei P(C R) = 0,3 - o rei de copas P(R C) = P(R) + P(C) P(R C) P(R C) = 0,075 + 0,25 0,3 = 0,025 = 1 1 = 40 n tg (a + c) = t 10 tg[(a + c) + b] = 6 2 13 tg[(a + c) b] = = 32 12 1 13 1 n n = 40 4 5 t+2 4 = 1 2t 5 t= 6 13

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