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UERJ Vestibular de 2008 - Exame Discursivo - Matemática

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02/12/2007 2 Fase Exame Discursivo MATEM TICA CADERNO DE PROVA Este caderno, com doze p ginas numeradas seq encialmente, cont m dez quest es de Matem tica. N o abra o caderno antes de receber autoriza o. INSTRU ES 1. Verifique se voc recebeu mais dois cadernos de prova. 2. Verifique se seu nome, seu n mero de inscri o e seu n mero do documento de identidade est o corretos nas sobrecapas dos tr s cadernos. Se houver algum erro, notifique o fiscal. 3. Destaque, das sobrecapas, os comprovantes que t m seu nome e leve-os com voc . 4. Ao receber autoriza o para abrir os cadernos, verifique se a impress o, a pagina o e a numera o das quest es est o corretas. Se houver algum erro, notifique o fiscal. 5. Todas as respostas e o desenvolvimento das solu es, quando necess rio, dever o ser apresentados nos espa os apropriados, com caneta azul ou preta. N o ser o consideradas as quest es respondidas fora desses locais. INFORMA ES GERAIS O tempo dispon vel para fazer as provas de cinco horas. Nada mais poder ser registrado ap s o t rmino desse prazo. Ao terminar, entregue os tr s cadernos ao fiscal. Ser eliminado do Vestibular Estadual 2008 o candidato que, durante as provas, utilizar m quinas ou rel gios de calcular, aparelhos de reprodu o de som ou imagem com ou sem fones de ouvido, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer esp cie. Ser tamb m eliminado o candidato que se ausentar da sala levando consigo qualquer material de prova. BOA PROVA! quest o 01 Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007: Com base na tabela, poss vel formar a matriz quadrada A cujos elementos a ij representam o n mero de medalhas do tipo j que o pa s i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}. Para fazer uma outra classifica o desses pa ses, s o atribu dos s medalhas os seguintes valores: ouro: 3 pontos; prata: 2 pontos; bronze: 1 ponto. 3 Esses valores comp em a matriz V = 2 1 Determine, a partir do c lculo do produto AV, o n mero de pontos totais obtidos pelos tr s pa ses separadamente. desenvolvimento e resposta: rascunho: 2 matem tica quest o 02 Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente espa adas foi usado em uma aula sobre rea de pol gonos. A figura abaixo representa o tabuleiro com um el stico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D. Considere u a unidade de rea equivalente ao menor quadrado que pode ser constru do com v rtices em quatro pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a rea do quadril tero ABCD formado pelo el stico. desenvolvimento e resposta: rascunho: Vestibular Estadual 2008 [Exame Discursivo] 3 quest o 03 O peso P de um objeto, a uma altura h acima do n vel do mar, satisfaz a seguinte equa o: P r h+r 2 :P0 P0 : peso do objeto ao n vel do mar r: raio da Terra Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto se encontra a uma altura h1. Calcule, em fun o de r, o valor de h1. desenvolvimento e resposta: rascunho: 4 matem tica quest o 04 Uma f brica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores, morango e caramelo. O custo de produ o dos bombons de morango de 10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de caramelo de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produ o s o desprez veis. Sabe-se que cada caixa vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo de produ o de cada bombom. Calcule o n mero de bombons de cada sabor contidos em uma caixa. desenvolvimento e resposta: rascunho: Vestibular Estadual 2008 [Exame Discursivo] 5 quest o 05 Moedas id nticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo disposi o apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes. Considerando que a ltima camada composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arruma o. desenvolvimento e resposta: rascunho: 6 matem tica quest o 06 Considere um setor circular AOC, cujo ngulo central medido em radianos. A reta que tangencia o c rculo no extremo P do di metro CP encontra o prolongamento do di metro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. Sabendo que o ngulo satisfaz a igualdade tg = 2 , calcule a raz o entre a rea do setor AOC e a rea do tri ngulo OPQ. desenvolvimento e resposta: rascunho: Vestibular Estadual 2008 [Exame Discursivo] 7 quest o 07 Uma part cula parte do ponto A(2; 0), movimentando-se para cima (C) ou para a direita (D), com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano. O gr fico abaixo exemplifica uma trajet ria dessa part cula, durante 11 segundos, que pode ser descrita pela seq ncia de movimentos CDCDCCDDDCC. Admita que a part cula fa a outra trajet ria composta somente pela seq ncia de movimentos CDD, que se repete durante 5 minutos, partindo de A. Determine a equa o da reta que passa pela origem O (0,0) e pelo ltimo ponto dessa nova trajet ria. desenvolvimento e resposta: rascunho: 8 matem tica quest o 08 Um cilindro circular reto inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois s lidos sejam colineares, conforme representado na ilustra o abaixo. A altura do cone e o di metro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em cent metros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0;12[ de modo que ele permane a inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua rea lateral seja m xima. desenvolvimento e resposta: rascunho: Vestibular Estadual 2008 [Exame Discursivo] 9 quest o 09 Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papel o de espessura desprez vel e 8 dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x. Observe a ilustra o. Em seguida, o papel o foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelep pedo ret ngulo, de altura x, como mostram os esquemas. Quando x = 2 dm, o volume da caixa igual a 8 dm3. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm3. desenvolvimento e resposta: rascunho: 10 matem tica quest o 10 Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T definido pela seguinte equa o: T= 200 x + y 2 - 4x + 8 2 Sabe-se que T assume seu valor m ximo, 50, no ponto (2, 0). Calcule a rea da regi o que corresponde ao conjunto dos pontos do plano cartesiano para os quais T 20. desenvolvimento e resposta: rascunho: Vestibular Estadual 2008 [Exame Discursivo] 11 2/12/2007 Matem tica PADR O DE RESPOSTAS (VALOR DE CADA QUEST O = 2 PONTOS) 1 97 88 52 59 35 41 54 40 67 3 519 2 = 288 1 309 EUA 519 CUBA 288 BRASIL 309 S95 42 2 51 2 34 2 72 2 2 S 45 P 81%.P0 r 3 h1 r h1 9 10 r h1 r 39 S 25, 5 2 2 .P0 81%.P0 9h1 9r 10r r 9 x = n mero de bombons de morango y = n mero de bombons de caramelo C = custo de produ o por caixa 120%.C = 7,20 4 C = 6,00 x y 50 0,10 x 0, 20 y C = 0,10x + 0,20y 0,10 x 0, 20 y 6,00 6, 00 x y 50 x 2 y 60 x+y = 50 x 40 y 10 Uma caixa cont m 40 bombons de morango e 10 bombons de caramelo. 1 6 12 18 ... 84 P.A.: (6,12,18,...,84) com 14 termos 5 N de moedas 1+ 631 0,10 63,10 (6 84).14 2 1+ 630 631 2/12/2007 Matem tica rea do setor: R2 2 R2 2 rea do tri ngulo: 1 R(tg ).R 2 12 R tg 2 Como tg rea do tri ngulo 6 2 R2 2 R2 rea do setor rea do tri ngulo 7 R2 1 2 5 60 300 segundos 300 3 100 s o100 movimentos para cima e 200 para direita o ltimo ponto (202, 100) 100 50 Equa o da reta: y xy x 202 101 12 h 12 8 12 R2 2 SL 2r 12 2rh 12 h 2 r 12 h h = (12 h) h 2 2 SL m xima para h = 6 8 3x .(8 2x).x (8 3x)(4 x).x 2 3x 3 20x 2 32x 8 0 V 23 23 9 32 4 8 0 3x 2 14 x 4 0 196 48 148 x 14 2 37 6 como x < x 10 20 14 3x 3 20x 2 32x 2 R2 7 37 3 7 - 37 8 , x= 3 3 200 y 2 4x 8 6 x 20 x2 y 2 4x 8 10 A regi o um c rculo de raio 6. rea do c rculo: 6 (x 2) 2 y2 6

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