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UERJ Vestibular de 2010 - Exame Discursivo - Matemática

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2 fase exame discursivo 13/12/2009 matem tica caderno de prova Este caderno, com dezesseis p ginas numeradas sequencialmente, cont m dez quest es de Matem tica. N o abra o caderno antes de receber autoriza o. instru es 1. Verifique se voc recebeu mais dois cadernos de prova. 2. Verifique se seu nome, seu n mero de inscri o e seu n mero do documento de identidade est o corretos nas sobrecapas dos tr s cadernos. Se houver algum erro, notifique o fiscal. 3. Destaque, das sobrecapas, os comprovantes que t m seu nome e leve-os com voc . 4. Ao receber autoriza o para abrir os cadernos, verifique se a impress o, a pagina o e a numera o das quest es est o corretas. Se houver algum erro, notifique o fiscal. 5. Todas as respostas e o desenvolvimento das solu es, quando necess rio, dever o ser apresentados nos espa os apropriados, com caneta azul ou preta. N o ser o consideradas as quest es respondidas fora desses locais. informa es gerais O tempo dispon vel para fazer as provas de cinco horas. Nada mais poder ser registrado ap s o t rmino desse prazo. Ao terminar, entregue os tr s cadernos ao fiscal. Ser eliminado do Vestibular Estadual 2010 o candidato que, durante as provas, utilizar m quinas de calcular, rel gios digitais, aparelhos de reprodu o de som ou imagem com ou sem fones de ouvido, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer esp cie. Ser tamb m eliminado o candidato que se ausentar da sala levando consigo qualquer material de prova. boa prova! matem tica 01 Duas empresas, A e B, far o doa es mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em reais, dos dep sitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010. Empresas janeiro fevereiro mar o abril maio A 12.000,00 11.400,00 10.800,00 10.200,00 9.600,00 B 300,00 600,00 900,00 1.200,00 1.500,00 A diferen a entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes ser mantida constante ao longo de um determinado per odo. Determine o m s e o ano desse per odo em que o valor mensal do dep sito da empresa A ser igual ao da empresa B. desenvolvimento e resposta: 3 matem tica 02 Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N s o os pontos m dios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um ret ngulo cuja base seja maior que a altura. O ret ngulo P QRS , mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo. Calcule a raz o PS . PQ desenvolvimento e resposta: 4 VESTIBULAR ESTADUAL 2010 2 fase EXAME DISCURSIVO matem tica 03 Um cofre eletr nico possui um painel com dez teclas num ricas e pode ser aberto por meio da digita o, em qualquer ordem, de tr s teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante. Considere n o n mero m ximo de conjuntos distintos de tr s teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente. Se o fabricante reduzisse para cinco o n mero de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de tr s teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n m. desenvolvimento e resposta: 5 matem tica 04 Uma crian a guarda moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na caixa amarela, h , exatamente, 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50. Admita que, ap s a transfer ncia de n moedas de R$ 1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidade de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela seja igual a 50%. Calcule o valor de n . desenvolvimento e resposta: 6 VESTIBULAR ESTADUAL 2010 2 fase EXAME DISCURSIVO matem tica 05 Uma caixa c bica foi dividida em duas partes por um plano que cont m duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto, conforme ilustrado abaixo. Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divis ria, calcule a raz o entre o volume do cilindro e o da caixa. desenvolvimento e resposta: 7 matem tica 06 Sejam a e b dois n meros reais positivos e A, G e H, respectivamente, as m dias aritm tica, geom trica e harm nica desses dois n meros. Admita que a > b e que a sequ ncia (A, G, H) seja uma progress o geom trica de raz o Determine 2 3. a. b desenvolvimento e resposta: 8 VESTIBULAR ESTADUAL 2010 2 fase EXAME DISCURSIVO matem tica 07 Um terreno retangular tem 800 m de per metro e ser dividido pelos segmentos PA e CQ em tr s partes, como mostra a figura. Admita que os segmentos de reta PA e CQ est o contidos nas bissetrizes de dois ngulos retos do terreno e que a rea do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2, que S pode assumir. desenvolvimento e resposta: 9 matem tica 08 Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15 gols cada um. O n mero total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas cinco marcaram mais de 13 gols. Calcule o n mero de atletas que fizeram 15 gols. desenvolvimento e resposta: 10 VESTIBULAR ESTADUAL 2010 2 fase EXAME DISCURSIVO matem tica 09 Suponha que x e y s o n meros reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir: log9 x = log6 y = log4 ( x +y ) Calcule a raz o y x . desenvolvimento e resposta: 11 matem tica 10 As seis solu es da equa o argumentos distintos. z6 + z3 + 1 = 0 s o n meros complexos que possuem m dulos iguais e O argumento , em radianos, de uma dessas solu es pertence ao intervalo Determine a medida de . desenvolvimento e resposta: 12 VESTIBULAR ESTADUAL 2010 2 fase EXAME DISCURSIVO ( 2 , ). rascunho 13 rascunho 14 VESTIBULAR ESTADUAL 2010 2 fase EXAME DISCURSIVO rascunho 15 13/ 12/ 2009 Matem tica PADR O DE RESPOSTAS (VALOR DE CADA QUEST O = 2 PONTOS) Quest o Resposta (12.000, 11.400, 10.800,..., an, ...) P.A. a1 = 12.000 e ra = 600 (300, 600, 900,..., bn, ...) P.A. b1 = 300 e rb = 300 1 an = bn a1 + (n 1) ra = b1 + (n 1) rb 12.000 + (n 1) ( 600) = 300 + (n 1) (300) 12.000 300 = (n 1) (600 + 300) 11.700 = (n 1) 900 13 = n 1 n = 14 1 ano + 2 meses fevereiro de 2011 M D C E 2x A N B x x 2 2 CN = NB + BC MC = 2 2 2 CN = x 2 + 4x 2 CD MC = x 2 A seguinte rela o v lida para o tri ngulo ADM: 2x DE = x 5 DE = 2x 2 5 P S Q R x5 x5 Como PQ = DE, pode-se obter a raz o: PS PQ = 2x 5 =5 2x 5 n= 3 m= 6 5 4 3 2 1 5 4 3 = 20 = 10 3 2 1 Logo: n m = 20 10 = 10 CN = x 5 13/ 12/ 2009 Matem tica 1 4 2 = 12 + n 12 + n + 15 12 + n + 15 = 2 (12 + n) 5 n + 27 = 24 + 2n 27 24 = 2n n Rela o entre a aresta a do cubo e o raio r do cilindro: 2a 2r = a 2 r= Logo: V(cilindro) = r 2 a V(cilindro) Assim: A= V(cubo) a+b 2 a (2 2 ) r 2 a r a a3 , G = ab e H= 2 r = = a 2 1 a 3 6 ab = ab = 2 3(a + b) a+b 1 + = 2 4 2ab a+b b 3 2 . 3 2 2 2 2 16 a b = 3( a + 2 a b + b ) 16 2 10b ( 10b) 4 3 (3b ) a = 3b 2 2 2 a= 2 (2 2 ) A sequ ncia (A, G, H) uma P.G. de raz o q = G = A (2 2) V(cubo) = a 3 e 2 = = 2 3 2 a= b 3 ou 2 = 10b 100b 36b 6 a e b s o n meros reais positivos com a > b, logo: a b = 3. PC = AQ = y AD = DP = x 2y + 4x = 800 7 y + 2x = 400 y = 400 2x 2 S = yx = (400 2x) x = 2x + 400x Logo: S m xima = 4a = (b 2 4ac) 4a = (160000 0) 8 2 3 a 10 ab + 3 b = 0 = 20.000 m2 2 = 10b 8b 6 n=3 13/ 12/ 2009 Matem tica Sejam: x = n mero de atletas que marcaram 13 gols y = n mero de atletas que marcaram 14 gols z = n mero de atletas que marcaram 15 gols Logo: 13x + 14y + 15z = 125 y+z=5 z=5 ye0 y 5 8 13x + 14y + 15(5 y) = 125 13x + 14y + 75 15y = 125 13x y = 50 13x 50 = y 0 y 5 0 13x 50 5 50 50 13x 55 13 x Portanto: y = 13x 50 = 13 4 50 = 2 z=5 y=3 O n mero de atletas que fizeram 15 gols igual a 3. log 9x = log 6y = log 4 (x + y) = k 9k = x log 9x = k 6k = y log 6y = k 4k = (x + y) log 4 (x + y) = k 4k = 9k + 6k 4k 6k 9k = 0 (2k)2 3k (2k) 32k = 0 Considerando z = 2k : 9 z2 3kz 32k = 0 z= 3k 32k + 4 32k 2 Como z positivo: z= 3k + 3k 5 2k 2 3 k = 1+ 5 2 Portanto: 6k 6 = k= x9 9 y k = 2k 3 k = 1+ 5 2 = 3k 3k 5 2 55 13 x=4 13/ 12/ 2009 Matem tica Substitui-se z3 por y na equa o z6 + z3+1 = 0: 2 y + y +1 = 0 y= 1 12 4 1 1 = 1 3 y1 = 1 + 3 i ou y 2 = 1 3 i 2 1 2 2 2 2 2 Para determinar as ra zes c bicas de um n mero complexo w = (cos + isen ), usa-se a seguinte rela o: wk = 3 cos 3 + 2k + i sen 3 3 + 2k 3 , k {0,1, 2}. Portanto, as ra zes c bicas do n mero complexo y1 = 1 3 2 2 + i = 1 cos + i sen 22 3 3 s o determinadas por: 10 w 0 = cos 2 9 + i sen 2 9 , w1 = cos 8 9 + i sen 8 9 Analogamente, as ra zes c bicas do n mero complexo y 2 = , w 2 = cos 14 9 + i sen 14 9 1 3 4 4 + i sen i = 1 cos 22 3 3 s o determinadas por: w 3 = cos Como 4 9 2 = arg(w1 ) = + i sen , , 8 9 4 9 , w 4 = cos 10 9 + i sen 10 9 , w 5 = cos 16 9 + i sen 16 9

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