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UERJ Vestibular de 2007 - Exame Discursivo - Matemática

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MATEM TICA QUEST O 01 Os anos do calend rio chin s, um dos mais antigos que a hist ria registra, come am sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calend rio gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos. A tabela abaixo apresenta o ciclo mais recente desse calend rio. Admita que, pelo calend rio gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 d.C., ano da serpente no calend rio chin s. Desde ent o, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa de comemora o. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante. Determine, no calend rio gregoriano, o ano do s culo XXI em que a funda o dessa cidade ser comemorada novamente no ano da serpente. QUEST O 02 Observe a equa o qu mica que representa a fermenta o do a car: xC6H12 O6 yCO2 + zC 2H5OH Uma das formas de equilibrar essa equa o igualar, em seus dois membros, as quantidades de tomos de cada elemento qu mico. Esse processo d origem ao seguinte sistema linear: 6x = y + 2z 12x = 6z 6x = 2y + z Determine o conjunto-solu o do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de x, y e z que formam uma das solu es desse sistema. Exame Discursivo 39 MATEM TICA UTILIZE AS INFORMA ES A SEGUIR PARA RESPONDER S QUEST ES DE N MEROS 03 A 06. Jo o recorta um c rculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio v rias vezes, conforme ilustrado abaixo. 1 dobra 2 dobra 3 dobra 4 dobra Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o n mero 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, Jo o escreve a soma dos n meros que est o nas extremidades de cada arco. As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo. etapa 1 QUEST O 03 40 etapa 2 etapa 3 etapa 4 Jo o continuou o processo de dobradura, escrevendo os n meros, conforme a descri o acima, at concluir dez etapas. Calcule a soma de todos os n meros que estar o escritos na etapa 10. Vestibular Estadual 2007 MATEM TICA QUEST O 04 A figura correspondente etapa 3 foi colada em uma roleta, que ap s ser girada pode parar, ao acaso, em apenas oito posi es distintas. Uma seta indica o n mero correspondente a cada posi o, como ilustra a figura abaixo. Jo o girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os n meros indicados pela seta ap s cada parada. Calcule a probabilidade de a soma desses n meros ser par. QUEST O 05 Considere que Jo o recortou a dobradura referente figura da etapa 3 na linha que corresponde corda AB indicada abaixo. Ele verificou, ao abrir o papel sem o peda o recortado, que havia formado o seguinte pol gono: Calcule a rea da parte do c rculo que foi retirada pelo corte. QUEST O 06 Considere, novamente, o pol gono formado por Jo o, do qual s o retirados dois tri ngulos is sceles. Com os tri ngulos restantes poss vel formar a superf cie lateral de uma pir mide hexagonal regular. Calcule as medidas da altura e da aresta da base dessa pir mide. Exame Discursivo 41 MATEM TICA QUEST O 07 A International Electrotechnical Commission IEC padronizou as unidades e os s mbolos a serem usados em Telecomunica es e Eletr nica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros, empregados para especificar m ltiplos bin rios s o formados a partir de prefixos j existentes no Sistema Internacional de Unidades SI, acrescidos de bi, primeira s laba da palavra bin rio. A tabela abaixo indica a correspond ncia entre algumas unidades do SI e da IEC. Um fabricante de equipamentos de inform tica, usu rio do SI, anuncia um disco r gido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computa o, essa medida corresponde a p 230 bytes. Considere a tabela de logaritmos a seguir. Calcule o valor de p. QUEST O 08 A foto abaixo mostra um t nel cuja entrada forma um arco parab lico com base AB = 8 m e altura central OC = 5,6 m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da par bola. Ao entrar no t nel, um caminh o com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parab lico. Calcule a dist ncia do ponto P ao eixo vertical Oy. 42 Vestibular Estadual 2007 MATEM TICA UTILIZE AS INFORMA ES A SEGUIR PARA RESPONDER S QUEST ES DE N MEROS 9 E 10. Um sistema de numera o de base b, sendo b 2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O sistema de numera o usual o decimal. Quando escrevemos um n mero nesse sistema, a base 10 n o precisa ser indicada. Por exemplo, o n mero 3548 corresponde a 3 103 + 5 102 + 4 101 + 8 100. Em qualquer outro sistema, preciso indicar a base. Por exemplo, o n mero (2043)5 est escrito na base b = 5 e corresponde a 2 53 + 0 52 + 4 51 + 3 5 0, ou seja, 273 no sistema decimal. QUEST O 09 Sabe-se que, em qualquer base, o acr scimo de zeros esquerda da representa o de um n mero n o altera seu valor. Os n meros (301)7 e (0301)7 s o, portanto, iguais e formados por tr s algarismos. Calcule, no sistema de numera o de base 7, a quantidade total de n meros que possuem somente quatro algarismos distintos. QUEST O 10 Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos, obtemos (2343) x = (534) x+ 3 . Calcule o valor da base x e as outras duas ra zes da equa o resultante. Exame Discursivo 43 10/12/2006 Matem tica PADR O DE RESPOSTAS (VALOR DE CADA QUEST O = 2 PONTOS) Resposta Quest o mmc (12, 15) 60 2000 60k 1 12x 2 1089 2100 6z z y k 16 2x 2x Conjunto-solu o x 1, y 2, z ano 2049 . 2 2, 6, 18, 54, ... 3 P.G. de raz o 3 a10 39 2 39366 Probabilidade de ocorrer par e par 1 16 P1 Probabilidade de ocorrer mpar e mpar P2 9 16 Probabilidade de ocorrer soma par 4 P2 10 16 1 r 8 Setor circular S1 Tri ngulo 1 ab sen 2 5 S2 rea retirada 6 AB 2 OV 5 8 45O ngulo AB2 P1 8 (S1 S2) 100 8 100 2 4 8 cm2 25 2 cm2 100 8 102 102 2 102 COS 45O 200 - 100 2 cm 2 OA 2 AV OV 10 2 - 1 cm 100 2 4 100 2 2 cm2 10/12/2006 Matem tica P 230 30 109 log ( P 230) log (30 logP 30 log2 logP 10 109) log3 1,447 7 P 28 y a x2 5,6 16a 5,6 0 a 0,35 8 0,35x2 y x 9 6 2x3 10 2,45 3m 6 5,6 5 2x2 52 2 2x2 X 4 = = 720 29x 2 8 8x i6 2 0 29 55 11 -0 11 4 55 0 base 5

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