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Unicamp Vestibular de 2009 - PROVA 2ª FASE - Matemática e Inglês

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M ATEM TICA 1 . O t ransporte de carga ao porto de Santos feito por meio de rodovias, ferrovias e dutovias. A tabela abaixo fornece alguns dados relativos ao transporte ao porto no primeiro semestre de 2007 e no primeiro semestre de 2008, indicando claramente o aumento da participa o percentual do transporte ferrovi rio nesse per odo. Com base nos dados da tabela, responda s quest es abaixo. M eio de transporte Participa o no total transportado ao porto Carga transportada (em milh es de toneladas) 2007 2008 2007 2008 Ferrovi rio 18 % 24 % 6,8 8,8 Rodovi rio 77 % 29,1 Dutovi rio a) Determine a carga total (em milh es de toneladas) transportada ao porto no primeiro semestre de 2007. Calcule tamb m quantas toneladas foram transportadas por dutos no primeiro semestre de 2007. b) Sabendo que, no primeiro semestre de 2008, foram transportadas por rodovias 2,7 milh es de toneladas a menos do que o valor registrado pelo mesmo meio de transporte no primeiro semestre de 2007, calcule a participa o percentual do transporte rodovi rio no primeiro semestre de 2008. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 1 2 . Uma l mpada incandescente de 100 W custa R$ 2,00. J uma l mpada fluorescente de 24 W, que capaz de iluminar t o bem quanto a l mpada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Responda s quest es abaixo, lembrando que, em uma hora, uma l mpada de 100 W consome uma quantidade de energia equivalente a 100 Wh, ou 0,1 kWh. Em seus c lculos, considere que 1 kWh de energia custa R$ 0,50. a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o custo de aquisi o da l mpada, determine quanto custa manter uma l mpada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Fa a o mesmo c lculo para uma l mpada fluorescente de 24 W. b) Para iluminar toda a sua casa, Jo o comprou e instalou apenas l mpadas fluorescentes de 24 W. Fernando, por sua vez, comprou e instalou somente l mpadas incandescentes de 100 W para iuminar sua casa. l Considerando o custo de compra de cada l mpada e seu consumo de energia, determine em quantos dias Fernando ter gasto mais com ilumina o que Jo o. Suponha que cada l mpada fica acesa 3 horas por dia. Suponha, tamb m, que as casas possuem o mesmo n mero de l mpadas. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 2 3. Em uma bandeja retangular, uma pessoa disp s brigadeiros formando n colunas, cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais pr ximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas. a) Sabendo que m = 3 n/4 e que a pessoa gastou o mesmo n mero de forminhas vermelhas e azuis, determine o n mero de brigadeiros da bandeja. b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro j pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de di metro, quantas latas ela tem que comprar para produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se de que 1 litro corresponde a 1000 cm3.) Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 3 4. Tr s candidatos A, B e C concorrem presid ncia de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos s cios entrevistados, 150 n o pretendem votar. Dentre os entrevistados que est o dispostos a participar da elei o, 40 s cios votariam apenas no candidato A, 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no candidato C. Al m disso, 190 disseram que n o votariam em A, 110 disseram que n o votariam em C, e 10 s cios est o na d vida e podem votar tanto em A como em C, mas n o em B Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados . votariam em qualquer candidato. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos s cios entrevistados est o em d vida entre votar em B ou em C, mas n o votariam em A? Dentre os s cios consultados que pretendem participar da elei o, quantos n o votariam em B? b) Quantos s cios participaram da pesquisa? Suponha que a pesquisa represente fielmente as inten es de voto de todos os s cios do clube. Escolhendo um s cio ao a caso, qual a probabilidade de que ele v participar da elei o mas ainda n o tenha se decidido por um nico candidato? (Sugest o: utilize o diagrama de Venn fornecido abaixo) Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 4 5 . Duas locadoras de autom veis oferecem planos diferentes para a di ria de um ve culo econ mico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, al m de R$ 0,40 por quil metro rodado. J a locadora Merc rio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado al m dos 200 km inclu dos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. a) Para cada locadora, represente no gr fico abaixo a fun o que descreve o custo di rio de loca o em termos da dist ncia percorrida no dia. b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno v manter inalterada a sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o m ximo poss vel, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer dist ncias. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 5 6 . Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma pe a teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numera o consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribu dos entre elas de forma aleat ria. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente at a ltima fila. Determine o n mero de cadeiras da sala em fun o de n, o n mero de filas que a sala cont m. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 6 7. O sistema de ar condicionado de um nibus quebrou durante uma viagem. A fun o que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do nibus em fun o de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, T(t) = (T0 Text ).10 t /4 + Text , onde T0 a t emperatura interna do nibus enquanto a refrigera o funcionava, e Text a t emperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T0 = 21 C e Text = 30 C, responda s quest es abaixo. a) Calcule a temperatura no interior do nibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado. Em seguida, esbo e abaixo o gr fico de T(t). b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4 C. Se necess rio, use log10 2 0,30, log10 3 0,48 e log10 5 0,70. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 7 8. Pedro precisa comprar x borrachas, y l pis e z canetas. Ap s fazer um levantamento em duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, l pis e canetas, enquanto a papelaria B cobra R$ 25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 2,00 pelo l pis e R$ 3,00 pela caneta e que a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 1,00 pelo l pis e R$ 4,00 pela caneta. a) Forne a o n mero de l pis e de borrachas que Pedro precisa comprar em fun o do n mero de canetas que ele pretende adquirir. b) Levando em conta que x 1, y 1 e z 1, e que essas tr s vari veis s o inteiras, determine todas as poss veis quantidades de l pis, borrachas e canetas que Pedro deseja comprar. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 8 9 . A f igura abaixo, esquerda, mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura direita mostra o diagrama usado para a confec o do sapo, na qual se utiliza um ret ngulo de papel com arestas iguais a c e 2c. As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas correspondem parte superior e pata direita do sapo, e s o objeto das perguntas a seguir. a) Quais devem ser as dimens es, em cent metros, do ret ngulo de papel usado para confeccionar um sapo cuja parte superior tem rea igual a 12cm2? b) Qual a raz o entre os comprimentos das arestas a e b da pata direita do sapo? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 9 10. Uma caixa d gua tem o formato de um tronco de pir mide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual s o apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa. a) Qual o volume t otal da caixa d gua? b) Se a caixa cont m (13/6) m3 de gua, a que altura de sua base est o n vel d gua? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 10 11. A circunfer ncia de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y interceptada pela circunfer ncia C, definida pela equa o x2 + y2 = 4, e pela semi-reta que parte da origem e faz ngulo de 30 com o eixo-x, conforme a figura abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Calcule a rea da regi o sombreada. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 11 12. Seja f (x) = an xn + an 1 xn 1 + L + a1x + a 0 entre 0 e n. Seja g(x ) = nan x n 1 um polin mio de grau n tal que an 0 e a j IR para qualquer j + ( n 1) an 1x n 2 + L + 2a2 x + a1 o polin mio de grau n 1 em que os coeficientes a1 , a2 ,K , an s o os mesmos empregados na defini o de f(x). h f ( x + h) f (x) a) Supondo que n = 2, mostre que g x + = , para todo x, h IR h 0 . , 2 h b) Supondo que n = 3 e que a3 = 1, determine a express o do polin mio f(x), sabendo que f(1) = g(1) = f( 1) = 0. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 12 INGL S 13. As tirinhas abaixo s o de autoria do cartunista norte-americano Glenn McCoy. w ww.gocomics.com/duplex/2008/07/31 a) Para abordar as mulheres que aparecem nas tirinhas, o personagem faz uso de duas perguntas comumente utilizadas em situa o semelhante. Que perguntas s o essas? b) O que cada uma das mulheres diz para indicar que n o est disposta a interagir com ele? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 13 14. O t exto abaixo foi extra do de um p ster bem-humorado, afixado na porta do quarto de um adolescente. ROOM RULES Authorized personnel only beyond this point. DO NOT PANI C Excessive sound levels or odors emanating from this room are not life threatening. DO N OT TOUCH AN YTHI N G Messiness is a sign of genius. Tidying up could impact negatively on my mental development. H OURS OF OPERATI ON Never before noon. a) Segundo o texto, o que n o representa uma amea a vida? b) Que efeito a arruma o do quarto provocaria no adolescente? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 14 15. ADVERTISING NOWADAYS People are starting to blame invasive advertising for the stress in their lives. A few generations ago, people encountered only a few dozen ads in a typical day. Today, 3,000 marketing messages a day flow into the average North American brain. That s more than many of us can handle on top of all the other pressures of modern life. The fun image that advertising has traditionally enjoyed is now giving way to a much darker picture of advertising as mental pollution. Adaptado de Adbusters Magazine , 30/07/2007, n 73, p. 5. a) Segundo o texto, a percep o que as pessoas t m da propaganda est mudando. Como a propaganda era vista antes e como ela est come ando a ser vista hoje? b) A que se refere o n mero 3.000 mencionado no texto? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 15 16. MYTHS AND FACTS ABOUT DRINKING MYTH Everyone reacts to alcohol in the same way. FACT There are dozens of factors that affect a person s reaction to alcohol: body weight, metabolism, gender, etc. MYTH Cold showers, fresh air or hot coffee help sober a person. FACT Only time will remove alcohol from the system. As an old saying goes, "give a drunk a cup of coffee and all you will have is a wide-awake drunk . MYTH Eating a big meal before you drink will keep you sober. FACT Food in the stomach merely delays the absorption of alcohol into the bloodstream. A full stomach is not a defense against getting drunk. Adaptado de www.alcoholism.about.com/od/about/a/aa040615. htm Acessado em 25/07/2008. a) Qual o efeito do caf em uma pessoa alcoolizada? b) O que acontece quando uma pessoa come antes de ingerir bebidas alco licas? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 16 17. Mobile phone users slow traffic down By Brian Osborne Sick of traffic congestion? Well, part of the blame needs to go to motorists who talk on mobile phones. At least, that is the conclusion of a study conducted by the University of Utah. The study found that if you use your mobile phone while driving, you are less likely to pass slower vehicles. If you think the study is not talking about you, because you have a hands-free device, then you are wrong. According to previous studies performed by psychology Professor Dave Strayer of the University of Utah, the ultimate distraction for drivers is the conversation not just holding the mobile phone. Adaptado de www.geek.com/mobile-phone-users-slow-traffic-down/ Acessado em 05/08/2008. a) Por que motoristas que dirigem enquanto conversam ao celular retardam o fluxo do tr fego? b) A que conclus o chegou o Professor Dave Strayer em suas pesquisas? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 17 18. AT THE MARKET S MARK By Sonia Racy The number of Brazilians living alone grows. IBGE Brazilian Institute of Geography and Statistics discovered, in its last survey, that 5 million Brazilians live alone. Of this total, 63% are senior citizens, but 22% are people in the 20 to 29 years old age range. It is a market that grows 6 to 7% a year and draws attention from different segments of the economy. After all, most of these consumers earn from 10 to 20 minimum wages and have college degrees. Adaptado de TAM Magazine , ano 4, n 44, outubro de 2007, p. 72. a) A que se refere o ndice de 63% mencionado no texto? b) O que caracteriza a maior parte dos consumidores brasileiros retratados no texto? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 18 19. AUTISM AND ITS CAUSE Some parents of children with autism believe that there is a link between measles, mumps, rubella (MMR) vaccine and this disorder. But there is no sensible reason to believe that any vaccine can cause autism. Typically, symptoms of this disorder are first noted by parents as their child begins to have difficulty with delays in speaking after age one. MMR vaccine is first given to children at 12-15 months of age. Since this is also an age when autism commonly becomes apparent, it is not surprising that autism follows MMR immunization in some cases. However, by far the most logical explanation is coincidence, not cause-and-effect. Adaptado de www.quackwatch.com/03HealthPromotion/immu/autism.html Acessado em 22/03/2008. a) Qual seria, para alguns pais, a causa do autismo de seus filhos? b) Por que esses pais teriam tal cren a? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 19 20. WHY AM I UNEMPLOYED? Persons who become unemployed often feel at fault; often feel that they have failed in some way. This is a common sense view, but there are many complicated reasons why somebody might be made redundant. The reasons for unemployment could be, for instance, technological changes: the introduction of new machines in the work market does take jobs away from people. Changes in government policies or lack of new requisite skills due to no access to education or retraining are also often responsible for unemployment. None of these has anything to do with the individual worker. The fact is that one out of ten thousand might be made redundant because of laziness, but the rest are surplus because society has changed. Adaptado de R. Osborne e B. Van Loon, Introducing Sociology. Londres: Icon Books, 2004, p. 9-10. a) Qual o argumento central desse texto? b) Indique dois f atores que, segundo o texto, podem, de fato, responder pergunta Why am I unemployed? . Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 20 21. The Bermuda Triangle The Bermuda Triangle is an area in the Atlantic Ocean bounded roughly at its points by Miami, Bermuda, and Puerto Rico. Legend has it that many ships and planes have mysteriously vanished in this area. But there are some skeptics who argue that the facts do not support the legend. The number of wrecks in this area is not extraordinary, given its size, location and the amount of traffic it receives. Many of the ships and planes that have been identified as having disappeared mysteriously in the Bermuda Triangle were not even in that area. The real mystery, they argue, is how the Bermuda Triangle became a mystery at all. Adaptado de www.skeptic.com/bermuda.html Acessado em 14/09/2008. a) Indique um dos fatos invocados por alguns c ticos para negar que haja algo de misterioso nos acontecimentos associados ao Tri ngulo das Bermudas. b) Segundo esses c ticos, qual o verdadeiro enigma envolvendo o Tri ngulo das Bermudas? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 21 22. As imagens abaixo foram encontradas em m s para geladeiras vendidos nos Estados Unidos. (1) (2) a) O que a mulher do primeiro m n o consegue entender? b) O t exto do segundo m faz refer ncia a uma tarefa dom stica. Que tarefa essa e o que, na l ngua inglesa, possibilita que ela seja associada ao estresse? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 22 23. Em 1931, William Faulkner escreveu The Sound and the Fury, um cl ssico da literatura norte-americana. O excerto abaixo parte da introdu o, escrita por Richard Hughes, edi o do romance publicada pela Penguin Books, em 1971. THERE is a story told of a celebrated Russian dancer, who was asked by someone what she meant by a certain dance. She answered with some exasperation, If I could say it in so many words, do you think I should take the very great trouble of dancing it? It is an important story, because it is the valid explanation of obscurity in art. A method involving apparent obscurity is surely justified when it is the clearest, the simplest method of saying in full what the writer has to say. This is the case of The Sound and the Fury. I shall not attempt to give it a summary or an explanation of it: for if I could say in three pages what takes Mr. Faulkner three hundred there would obviously be no need for the book. All I propose to do is to offer a few introductory comments to encourage the reader. a) Segundo Hughes, em que circunst ncias a suposta obscuridade de uma obra de arte se justifica? b) Que raz o apresenta Hughes para n o resumir nem explicar The Sound and The Fury? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 23 24. Environment: the case of DDT and the Peregrine The most reliable evidence of the damaging effect of organochlorine pesticides, such as DDT, on wildlife was demonstrated in 1967 by Dr. D. A. Ratcliffe of the Nature Conservancy in the United Kingdom. The peregrine falcon (Falco peregrinus ) was protected in Britain after 1945 and showed a dramatic increase in numbers until, in the mid-1950s, the population went into a sharp decline. This proved to be due to reproductive failure: birds went laying eggs with abnormally thin shells and a large proportion of them were broken during incubation. High concentrations of DDT residues were found in peregrines and in the yolk of their eggs during the mid-1960s. There was no doubt that DDT was the cause of the population decline of these birds , and with the cessation of the use of DDT for agricultural purposes in Britain, peregrine numbers have increased to their formal level. Adaptado de R. B. Clark, M arine Pollution. Oxford: OUP, p. 142-143. a) Que problemas come aram a ocorrer no processo de reprodu o dos falc es peregrinos, levando ao decr scimo de sua popula o? b) Que fatos levaram conclus o, em meados da d cada de 60, d que o uso do pesticida DDT estava e diretamente relacionado diminui o do n mero de falc es peregrinos? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). 24 RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 1 a) Se 6,8 milh es de toneladas correspondem a 18% do total transportado, ent o 100% correspondem a 6,8/0,18 37,8 milh es de toneladas. No primeiro semestre de 2007, foram transportadas por dutos 37,8 6,8 29,1 = 1,9 milh o de toneladas. Resposta: No primeiro semestre de 2007, a carga transportada ao porto de Santos foi de aproximadamente 37,8 milh es de toneladas, das quais 1,9 milh o foram transportadas por dutos. a ) Se 29,1 milh es de toneladas correspondem a 77% do total transportado, ent o 100% correspondem a 29,1/0,77 37,8 milh es de toneladas. No primeiro semestre de 2007, o transporte dutovi rio teve uma participa o de 100 18 77 = 5% do total transportado ao porto. Assim, foram transportadas 37,8 x 0,05 1,9 milh o de toneladas por dutos. Resposta: No primeiro semestre de 2007, a carga transportada ao porto de Santos foi de aproximadamente 37,8 milh es de toneladas, das quais 1,9 milh o foram transportadas por dutos. b) No primeiro semestre de 2008, foram transportadas 29,1 2,7 = 26,4 milh es de toneladas de carga. Se 8,8 milh es de toneladas correspondem a 24% do total transportado, ent o 26,4 milh es de toneladas correspondem a 26,4 x 24 / 8,8 = 3 x 24 = 72% da carga total. Resposta: No primeiro semestre de 2008, o transporte de 72% da carga enviada ao porto de Santos foi feito por rodovias. b ) No primeiro semestre de 2008, foram transportadas 29,1 2,7 = 26,4 milh es de toneladas de carga. Se 8,8 milh es de toneladas correspondem a 24% do total transportado, ent o a carga transportada nesse per odo igual a 8,8/0,24 36,7 milh es de toneladas. Assim, o percentual transportado por rodovias corresponde a 26,4 x 100 / 36,7 72% do total. Resposta: No primeiro semestre de 2008, o transporte de 72% da carga enviada ao porto de Santos foi feito por rodovias. Quest o 2 a) Para manter a l mpada incandescente acesa por 750 horas, gasta-se 750 x 0,1 x 0,5 = R$ 37,50 com o consumo de energia. J para manter a l mpada fluorescente acesa pelo mesmo per odo, gasta-se 750 x 0,024 x 0,5 = R$ 9,00. Resposta: O gasto com a l mpada incandescente atinge R$ 37,50, enquanto o gasto com a l mpada fluorescente igual a R$ 9,00. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA b) Se d o n mero de dias transcorridos desde a compra das l mpadas, podemos dizer que o gasto de Jo o com cada ponto de luz da casa dado por J(d) = 13,4 + 0,5 x 0,024 x 3d = 13,4 + 0,036d. J o gasto de Fernando com cada ponto de luz dado por F(d) = 2 + 0,5 x 0,1 x 3d = 2 + 0,15d. Considerando J(d) < F(d), obtemos 13,4 + 0,036d < 2 + 0,15d, ou (0,15 0,036)d > (13,4 2), ou ainda 0,114d > 11,4. Logo, d > 11,4/0,114 = 100. Resposta: Depois de 100 dias, Fernando ter gasto mais com ilumina o do que Jo o. Quest o 3 a) O n mero de forminhas azuis igual a FA = 2n + 2(m 2) = 2n + 2m 4. J o n mero de forminhas vermelhas igual a FV = (n 2)(m 2) = nm 2m 2n + 4. 2 Igualando as duas express es, obtemos 4n + 4m mn 8 = 0. Como m = 3n/4, temos 7n 3n /4 8 = 0, ou 2 3n 28n + 32 = 0. Usando a f rmula de B skara, obtemos n= 28 28 2 4.3.32 28 20 = 2.3 6 Assim, n = 8 ou n = 4/3. Como n deve ser um n mero inteiro, conclu mos que n = 8 e m = 3x8/4 = 6, de modo que a bandeja tem 6x8 = 48 brigadeiros. Resposta: A bandeja tem 48 brigadeiros. a ) O n mero de forminhas vermelhas igual a FV = (n 2)(m 2) = nm 2m 2n + 4. J o n mero de forminhas azuis a metade do n mero total de forminhas, ou seja, FA = nm/2. 2 Igualando as duas express es, obtemos nm/2 2m 2n + 4 = 0. Como n = 4m/3, temos 2m /3 14m/3 4 = 0, 2 ou m 7m + 6 = 0. Usando a f rmula de B skara, obtemos m= 7 7 2 4.6 7 5 = 2 2 Assim, m = 6 ou m = 1. No primeiro caso, n = 4.6/3 = 8. No segundo caso, n = 4.1/3 = 4/3. Como n deve ser um n mero inteiro, conclu mos que n = 8 e m = 6, de modo que a bandeja tem 6x8 = 48 brigadeiros Resposta: A bandeja tem 48 brigadeiros. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA b) Cada brigadeiro tem 1 cm de raio. Assim, sem contar o chocolate granulado, o volume de um brigadeiro igual 3 3 a 4 r /3 = 4 /3 4x3,14/3 4,19 cm . 3 Logo, somando os 400 brigadeiros, obtemos um volume total aproximado de 400x4,19 = 1676 cm . Como 3 1 litro corresponde a 1000 cm , 400 brigadeiros correspondem a cerca de 1676/1000 = 1,676 litros. Portanto, necess rio comprar 2 latas da massa pronta. Resposta: A pessoa tem que comprar 2 latas da massa de brigadeiro. Quest o 4 a) O diagrama ao lado fornece as informa es que podem ser extra das do enunciado. Como se v , o n mero de s cios que poderiam votar em B ou em C, mas n o em A, dado por |B C ( A)| = 190 70 100 = 20. Por outro lado, o n mero de s cios que pretendem participar da elei o mas n o votariam em B dado por |A C| |A B| |B C ( A)| = 40 + 10 + 100 = 150. Resposta: 20 s cios est o em d vida entre os candidatos B e C, mas n o votariam em A. Dentre os s cios que pretendem participar da elei o, 150 n o votariam no candidato B. b) O n mero de entrevistados igual a 150 + 40 + 70 + 100 + 0 + 10 + 20 +10 = 400. O n mero de entrevistados em d vida igual a |A C ( B)| + |A B ( C)| + |B C ( A)| + |A B C| = 10 + 0 + 20 + 10 = 40. Assim, se escolhermos um dos 400 entrevistados ao acaso, a probabilidade de ele ainda n o ter decidido em qual candidato ir votar igual a 40/400 = 0,1. Como a pesquisa reflete fielmente a realidade, a probabilidade de um s cio ainda n o ter decidido em quem votar igual a 0,1, ou 10%. Resposta: A probabilidade de um s cio n o ter escolhido ainda o seu candidato igual a 0,1, ou 10%. b ) O n mero de entrevistados igual a 150 + 40 + 70 + 100 + 0 + 10 + 20 +10 = 400. O n mero de entrevistados em d vida igual a |A C ( B)| + |A B ( C)| + |B C ( A)| + |A B C| = 10 + 0 + 20 + 10 = 40. Escolhendo um dos entrevistados ao acaso, a probabilidade de que ele participe da elei o igual a 250/400. Considerando, agora, apenas os entrevistados que participar o da elei o, a probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, esteja em d vida igual a 40/250. Assim, se escolhermos um dos s cios ao acaso, a probabilidade de ele ainda n o ter decidido em qual candidato ir votar igual a (250/400).(40/250) = 0,1. Como a pesquisa reflete fielmente a realidade, a probabilidade de um s cio ainda n o ter decidido em quem votar igual a 0,1, ou 10%. Resposta: A probabilidade de um s cio n o ter escolhido ainda o seu candidato igual a 0,1, ou 10%. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 5 a) As fun es que descrevem o custo di rio de loca o em fun o de d, a dist ncia percorrida por dia, s o: c S (d) = 30 + 0,4d. 90, se d 200; c M (d) = 90 + 0,6(d 200), se d > 200. Essas fun es est o representadas no gr fico ao lado. b) Para encontrar o primeiro ponto de interse o das curvas, resolvemos a equa o 30 + 0,4d = 90. Neste caso, d = 60/0,4 = 150 km. O segundo ponto de interse o dado pela solu o de 30 + 0,4d = 90 + 0,6(d 200). Simplificando esta equa o, obtemos 0,2d = 60, de modo que d = 300. Como se observa, para 150 d 300, a locadora Merc rio a mais barata. Nos outros intervalos a Saturno tem o plano mais barato. Para que a locadora Saturno obtenha o maior lucro poss vel e seja sempre a mais vantajosa, necess rio que a curva que descreve seu custo passe pelo ponto (200, 90), como mostra o gr fico ao lado. Suponha, ent o, que c seja seu novo custo por quil metro. Neste caso, devemos ter 30 + 200c = 90, ou c = 60/200 = R$ 0,30. Resposta: A locadora Merc rio a mais barata para dist ncias maiores que 150 km e menores que 300 km. Para dist ncias menores que 150 km ou maiores que 300km, a Saturno a mais barata. Para que seja sempre a mais vantajosa, a locadora Saturno deve cobrar R$ 0,30 por quil metro rodado. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 6 a) Existem C8,2 = 8x7/2 = 28 pares diferentes de ingressos que podem ser dados para o casal. Dentre esses pares de ingressos, existem exatamente 7 que correspondem a cadeiras vizinhas. Assim, a probabilidade de o casal ter recebido um par de ingressos de cadeiras vizinhas igual a 7/28 = 1/4, ou 25%. Resposta: A probabilidade de o casal ter recebido ingressos consecutivos de 1/4, ou 25%. a ) Existem P8 = 8! maneiras diferentes de distribuir 8 ingressos entre 8 pessoas. Dessas formas de distribuir os ingressos, o casal recebe bilhetes consecutivos em P2.P7 = 2!.7! dos casos. Assim, a probabilidade de o casal ter recebido um par de ingressos de cadeiras vizinhas igual a 2!.7!/8! = 1/4, ou 25%. Resposta: A probabilidade de o casal ter recebido ingressos consecutivos de 1/4, ou 25%. b) O n mero de cadeiras na fila k igual a ck = 6 + 2k. Somando o n mero de cadeiras das n filas, obtemos n n ck = k =1 ( 6 + 2k ) = n(8 + 6 + 2n) = 7n + n 2 . Se o teatro tem 144 cadeiras, ent o 7n + n k =1 2 2 2 = 144, ou n + 7n 144 = 0. Usando a f rmula de B skara, obtemos n= 7 7 2 + 4.1.144 7 25 = . 2. 1 2 Assim, n = 16 ou n = 9. Como n > 0, o teatro tem 9 filas. 2 Resposta: O teatro tem n + 7n cadeiras. Se h 144 cadeiras, estas est o dispostas em 9 filas. Quest o 7 a) Passadas 4 horas da quebra do aparelho de ar condicionado, a temperatura dentro do -1 nibus era igual a T(4) = 30 9x10 = 29,1 C. O gr fico da fun o T(t) apresentado ao lado. Como se observa, a fun o vale 21 quando t = 0 e se aproxima de 30 medida que t cresce. Resposta. Quando t = 4 h, a temperatura atingiu 29,1 C. O gr fico de T(t) dado ao lado. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA b) t/4 O instante desejado aquele no qual T(t) = 21 + 4 = 25 C, ou seja, precisamos determinar t, tal que 30 9x10 t/4 = 25. Assim, temos 10 = 5/9. 2 Aplicando o logaritmo (na base 10) nos dois lados da equa o, obtemos t/4 = log(5) log(3 ), ou seja, t = 4(2log(3) log(5)) 4(2x0,48 0,70) = 1,04 hora. Logo, t = 1h2m24s. Resposta: A temperatura subiu 4 C depois de transcorrida 1,04 hora, ou 1h2m24s. Quest o 8 a) Os dados do enunciado nos permitem formular o seguinte sistema de equa es lineares, no qual cada equa o est associada a uma papelaria: x + 2y + 3z = 23 x + y + 4z = 25 Multiplicando a segunda linha por 2 e somando o resultado primeira linha, obtemos x 5z = 27. Assim, x = 27 5z. Subtraindo, agora, a segunda linha da primeira, obtemos y z = 2, de modo que y = z 2. Resposta: x = 27 5z e y = z 2. b) Tomando y 1, temos z 2 1, ou seja, z 3. Da mesma forma, exigindo que x 1, temos 27 5z 1, ou z 27/5. Como z precisa ser um n mero inteiro, conclu mos que z 5. Assim, 3 z 5. Para z = 3, temos y = 1 e x = 12. Para z = 4, temos y = 2 e x = 7. Finalmente, para z = 5, temos y = 3 e x = 2. Resposta: As quantidades poss veis s o (x, y, z) = (12, 1, 3), ou (x, y, z) = (7, 2, 4), ou ainda (x, y, z) = (2, 3, 5). Quest o 9 a) A parte superior do sapo um pent gono. Sua rea dada pela soma das reas de um ret ngulo e de um 2 tri ngulo. O ret ngulo tem lados iguais a c/4 e c/2, de modo que sua rea de (c/4)(c/2) = c /8. O tri ngulo tem 2 base igual a c/2 e altura c/4, fornecendo uma rea de (c/2)(c/4)/2 = c /16. Logo, a rea total da parte superior 2 2 2 2 de 3c /16. Para que essa rea valha 12 cm , preciso que 3c /16 = 12, ou c = 64. Logo, c = 8 cm. 2 Resposta: Para a parte superior do sapo ter 12cm , preciso que o ret ngulo tenha 8 x 16 cm. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA a ) A parte superior do sapo um pent gono, cuja rea o dobro da rea de um trap zio com bases paralelas de 2 comprimento c/4 e c/2, e com altura c/4. A rea de tal trap zio igual a AT = (1/2).(c/4 + c/2).(c/4) = 3c /32. 2 2 2 Logo, a rea total da parte superior 2AT = 3c /16. Para que essa rea valha 12 cm , preciso que 3c /16 = 12, 2 ou c = 64. Logo, c = 8 cm. 2 Resposta: Para a parte superior do sapo ter 12cm , preciso que o ret ngulo tenha 8 x 16 cm. a ) A parte superior do sapo um pent gono, cuja rea dada por AG 2AP, onde AG a rea de um tri ngulo com 2 base c e altura c/2, e AP a rea de um tri ngulo com base e altura iguais a c/4. Assim, AG = c.(c/2)/2 = c /4 e AP 2 2 2 2 2 2 = (c/4) /2 = c /32. Assim, a rea do pent gono de c /4 2c /32 = 3c /16. Para que essa rea valha 12 cm , 2 2 preciso que 3c /16 = 12, ou c = 64. Logo, c = 8 cm. 2 Resposta: Para a parte superior do sapo ter 12cm , preciso que o ret ngulo tenha 8 x 16 cm. b) A partir da figura fornecida no enunciado, podemos concluir que 2 = 45 , de modo que = 22,5 . A lei dos senos nos fornece a equa o a/sen(45 ) = b/sen(22,5 ), de modo que a/b = sen(45 )/sen(22,5 ). Como sen(45 ) = sen(22,5 + 22,5 ) = 2sen(22,5 )cos(22,5 ), conclu mos que a/b = 2cos(22,5 ). 2 2 Para calcular cos(22,5 ), usamos a f rmula cos(45 ) = cos (22,5 ) sen (22,5 ), que 2 2 fornece cos(45 ) = 2cos (22,5 ) 1. Deste modo, cos (22,5 ) = (cos(45 ) + 1)/2 = cos(22,5 ) = 2 + 2 2 , donde a / b = 2 + 2 . Resposta: A raz o entre as duas arestas igual a 2+ 2 . b ) Observando a figura ao lado, conclu mos que 2 = 45 , de modo que = 22,5 . Assim, (r + b) = s. Mas r = a.sen( ) e s = a.cos( ), de modo que b = s r = a[cos( ) sen( )]. Logo, a/b = 1/[cos( ) sen( )]. 2 2 Para calcular cos(22,5 ), usamos a f rmula cos(45 ) = cos (22,5 ) sen (22,5 ), que 2 2 fornece cos(45 ) = 2cos (22,5 ) 1. Deste modo, cos (22,5 ) = (cos(45 ) + 1)/2 = ( 2 + 2) 4 . Logo, cos(22,5 ) = 2 + 2 2. Para obter sen(22,5 ), basta fazer sen(22,5 ) = 1 cos 2 (22,5 ) = 2 2 2 . Assim, a/b = 2 A 2+ 2 2 2 . Resposta: A raz o entre as duas arestas igual a 2 A 2 + 2 2 2 . Respostas Esperadas 2 Fase ( 2 + 2) 4 . Logo, RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA b ) Observando a figura do item (b ), conclu mos que 2 = 45 , de modo que = 22,5 . Pelo teorema da bissetriz interna, temos s/r = (c/2)/b. Como (c/2) a hipotenusa de um tri ngulo ret ngulo is sceles cujos catetos medem s, temos tamb m (c / 2) 2 = 2s 2 , ou c / 2 = s 2 . Voltando ao teorema, obtemos s/r = s 2 /b , ou simplesmente b = r 2 . Mas r = a.sen( ), de modo que [ ] b = a.sen( ) 2 , o que implica que a / b = 1 sen( ) 2 . 2 2 Para calcular sen(22,5 ), usamos a f rmula cos(45 ) = cos (22,5 ) sen (22,5 ), que fornece cos(45 ) = 1 2 ( 2 ) 2sen (22,5 ). Deste modo, sen (22,5 ) = (1 cos(45 ))/2 = 2 2 4 , e sen(22,5 ) = 2 2 2 . Logo, a / b = 2 4 2 2 . Resposta: A raz o entre as duas arestas igual a 2 4 2 2 . b ) Observando a figura do item (b ), conclu mos que 2 = 45 , de modo que = 22,5 . 2 2 2 A lei dos cossenos nos fornece a equa o b = (c/2) + a 2a(c/2) cos( ). Como (c/2) a hipotenusa de um tri ngulo ret ngulo is sceles cujos catetos medem s, temos (c / 2) 2 = 2s 2 , ou c / 2 = s 2 . Assim, b 2 = (s 2 ) 2 + a 2 2as 2cos( ) . Usando a rela o s = a.cos( ), obtemos b 2 = 2a 2 cos 2 ( ) + a 2 2a 2 2cos 2 ( ) , de modo que b /a 2 (2 2 2 ) cos 2 ( ) + 1 . Logo, a / b = 1 2 2 2 2cos (22,5 ) 1. Deste modo, cos (22,5 ) = (cos(45 ) + 1)/2 = =2 2 sen (22,5 ), que fornece cos(45 ) = ( 2 + 2) 4 . Logo, a/b = 2 4 2 2 . Resposta: A raz o entre as duas arestas igual a 2 4 2 2 . Quest o 10 a) Fazendo um corte vertical na caixa d gua, de modo a dividir cada base do tronco de pir mide em dois ret ngulos iguais, obtemos a figura ao lado. Usando a semelhan a de tri ngulos, constatamos que 2/4 = x/1, ou seja, x = 1/2. O volume da pir mide maior igual a VG = AG.hG/3, em que AG a rea do quadrado de 3 aresta 2 m e hG = 4 m. Assim, VG = 2.2.4/3 = 16/3 m . O volume da pir mide menor dado por VP = AP.hP/3, em que aP a rea do quadrado de 3 aresta (1/2) m e hP = 1 m. Assim, VP = (1/2).(1/2).1/3 = 1/12 m . 3 O volume do tronco de pir mide VG VP = 16/3 1/12 = 63/12 = 21/4 m . 3 Resposta: A caixa d gua comporta 21/4 m . Respostas Esperadas 2 Fase = (2 2 2 ) cos 2 ( ) + 1 . Para calcular cos (22,5 ), usamos a f rmula cos(45 ) = cos (22,5 ) 2 2 (2 2 2 )(2 + 2 ) + 4 RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA a ) Fazendo um corte vertical na caixa d gua, de modo a dividir cada base do tronco de pir mide em dois ret ngulos iguais, obtemos a figura acima. A pir mide de altura 1, cuja base tem aresta x, semelhante pir mide de altura 4, cuja base tem aresta 2. A raz o entre os volumes dessas pir mides igual ao cubo da 3 raz o entre as alturas, ou seja, VP/VG = 1/4 = 1/64. Assim, o volume da pir mide menor VP = VG/64. 3 O volume da caixa d gua igual a VG VP = (1 1/64)AG.hG/3 = (63/64).2.2.4/3 = 21/4 m . 3 Resposta: A caixa d gua comporta 21/4 m . a ) Fazendo um corte vertical na caixa d gua, de modo a dividir cada base do tronco de pir mide em dois ret ngulos iguais, obtemos a figura acima, a partir da qual, usando a semelhan a de tri ngulos, constatamos que 2/4 = x/1, ou seja, x = 1/2. O volume de um tronco de pir mide de bases paralelas dado por V = h A G + A P + A G A P , onde h a 3 altura do tronco de pir mide, e AG e AP s o as reas de suas bases. ( )( ) ( 3)(4 + (1/ 4) + 2 2 Para o tronco em quest o, temos AG = 2 = 4, AP = (1/2) = 1/4 e h = 3. Logo, V = 3 ) 4.(1 / 4 ) , 3 ou V = 21/4 m . 3 Resposta: A caixa d gua comporta 21/4 m . b) Seja h a altura do n vel d gua e y o comprimento da aresta da se o quadrada do tronco de pir mide que est a uma altura h da base inferior da caixa d gua (ver figura ao lado). Usando novamente a semelhan a de tri ngulos, obtemos y/(1 + h) = 2/4, ou h = 2y 1. 2 O volume d gua at a altura h dado por V = AB.(h + 1)/3 1/12 = y (2y 1 + 1)/3 3 3 3 1/12. Assim, V = 2y /3 1/12. Se V = 13/6, ent o (8y 1)/12 = 13/6, ou 8y = 27. Logo, y = 3 27 / 8 = 3 / 2 m e h = 2y 1 = 2 m. Resposta: O n vel d gua est a 2 m da base menor da caixa d gua. b ) Seja h a altura do n vel d gua e y o comprimento da aresta da se o quadrada do tronco de pir mide que est a uma altura h da base inferior da caixa d gua (ver figura acima). Usando semelhan a de tri ngulos novamente, obtemos (1 + h)/y = 4/2, ou y = (1 + h)/2. 3 O volume d gua at a altura h dado por V = AB.(h + 1)/3 1/12 = (1 + h) /12 1/12. Se V = 13/6, ent o [(1 + 3 3 h) 1]/12 = 13/6, ou (1 + h) = 27. Logo, (1 + h) (1 + h) = 3 27 = 3 m e h = 3 1 = 2 m. Resposta: O n vel d gua est a 2 m da base menor da caixa d gua. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA b ) Seja h a altura do n vel d gua (ver figura acima). O volume da pir mide de altura (h + 1) igual a VN = V + VP, onde V o volume do tronco de pir mide e VP o volume da pir mide de altura 1. Assim, VN = 13/6 + 1/12 = 3 9/4 m . 3 3 3 Usando a semelhan a das pir mides, conclu mos que VN/VP = (1 + h) /1 , donde (1 + h) = (9/4)/(1/12) = 27. Obtemos, assim, 1 + h = 3 27 = 3, de modo que h = 2 m. Resposta: O n vel d gua est a 2 m da base menor da caixa d gua. Quest o 11 a) 2 2 Como o ponto P est sobre a circunfer ncia, suas coordenadas satisfazem (x 2) + y = 4. Ao mesmo tempo, por P estar sobre a semirreta, temos y / x = tan(30 ) = 3 3 , ou seja, y = x 3 3 . Voltando primeira equa o, obtemos ( x 2) 2 + ( x 3 3) 2 = 4 . Deste modo, x( 4 x / 3 4 ) = 0 . Logo, os pontos de interse o da semirreta com a circunfer ncia centrada em (2, 0) t m abscissas x = 0 e x = 3. Como P o ponto de interse o com maior abscissa, conclu mos que x = 3 e y = x 3 / 3 = 3 . Resposta: Em P, x = 3 e y = 3 . a ) Como obsevamos na figura ao lado, o ngulo SOP est inscrito na circunfer ncia de centro Q. Assim, sua medida igual metade da medida do ngulo central SQP . Logo, o segmento de reta PQ faz um ngulo de 60 com o eixo x. Al m disso, esse segmento mede 2. Assim, temos sen(60 ) = y/2 e cos(60 ) = z/2. Desta forma, y = 2sen(60 ) = 3,e x= 2+ z = 2+ 2cos(60 ) = 2 + 1 = 3. Resposta: Em P, x = 3 e y = 3 . a ) Aplicando a lei dos cossenos ao tri ngulo OQP (ver figura ao 2 2 2 2 2 lado), obtemos w = 2 + 2 2.2.2.cos(120 ) = 2 + 2 + 2.2.2.cos(60 ) = 8 + 8.(1/2) = 12. Logo, w = 2 3 . Usando, ent o, o tri ngulo POR, obtemos as coordenadas do ponto P: y = w.sen(30 ) = 2 3 .(1/2) = 3. x = w.cos(30 ) = 2 3 .( 3 /2) = 3. Resposta: Em P, x = 3 e y = 3 . Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA a ) Como se observa na figura ao lado, o tri ngulo OPS ret ngulo, pois a aresta OS um di metro da circunfer ncia centrada no ponto (2, 0). Al m disso, por ser a hipotenusa do tri ngulo OPS, a aresta OS mede 4. Assim, w = 4cos(30 ) = 4 3 /2 = 2 3 . Recorrendo, ent o, ao tri ngulo OPR, que tamb m ret ngulo, obtemos as coordenadas do ponto P: y = w.sen(30 ) = 2 3 .(1/2) = 3. x = w.cos(30 ) = 2 3 .( 3 /2) = 3. Resposta: Em P, x = 3 e y = 3 . b) A rea da regi o sombreada corresponde a AC AI, em que AC a rea do c rculo de raio 2 e AI a rea da interse o dos dois c rculos. Os pontos de interse o das duas 2 2 2 2 circunfer ncias satisfazem x + y = 4 e (x 2) + y = 4. Assim, conclu mos que x = 1 e y = 3. Como o segmento de reta que liga a origem ao ponto de interse o no primeiro quadrante tem comprimento 2, podemos concluir que o cosseno do ngulo entre este segmento e o eixo x vale 1/2, de modo que o ngulo igual a 60 . A figura ao lado indica que AI = 2(AS AT), onde AS a rea do setor circular com ngulo 2 de 120 , e AT a rea do tri ngulo de base 2 3 e altura 1. Assim, AI = 2( 2 /3 1 2 3 2 /2) = 8 /3 2 3 . Logo a rea desejada AC AI = 2 8 /3 + 2 3 = 4 /3 + 2 3 . Resposta: A regi o sombreada tem rea igual a 4 /3 + 2 3 . b ) Seja AI a rea da interse o dos dois c rculos, como ilustrado na figura ao lado. Dividindo AI ao meio, na horizontal, podemos inscrever na regi o resultante um tri ngulo equil tero de arestas iguais a 2. A rea desse tri ngulo A T = 22 3 / 4 = 3 . J a rea da regi o AP, indicada na figura, a diferen a entre a rea de um setor circular e a rea do tri ngulo equil tero, ou seja, A P = r 2 / 2 A T . Assim, A P = 2 2 ( / 3) / 2 3 = 2 / 3 3 . Como AI = 2AT + 4AP, temos A I = 8 / 3 2 3 . A rea desejada corresponde a AC AI, em que AC a rea do c rculo de raio 2. Deste 2 modo, a rea desejada 2 8 /3 + 2 3 = 4 /3 + 2 3 . Resposta: A regi o sombreada tem rea igual a 4 /3 + 2 3 . Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 12 a) Se n = 2, ent o f( x ) = a 2 x 2 + a1x + a 0 e f( x + h) = a 2 ( x + h) 2 + a1 ( x + h) + a 0 . Assim, f( x + h) = a 2 x 2 + 2a 2 xh + a 2h 2 + a1x + a1h + a 0 = f( x ) + 2a 2 xh + a 2h 2 + a1h = f( x ) + h(2a 2 x + a1 + a 2h) . Logo, [f( x + h) f( x )] / h = 2a 2 x + a1 + a 2h . Por outro lado, g( x ) = 2a 2 x + a1 e g( x + h / 2) = 2a 2 ( x + h / 2) + a1 = 2a 2 x + a 2h + a1 = [f( x + h) f( x )] / h . b) Se n = 3 e a3 = 1, ent o f( x ) = x 3 + a 2 x 2 + a1x + a 0 e g( x ) = 3x 2 + 2a 2 x + a1 . Como f(1) = g(1) = f( 1) = 0, temos o sistema linear 1 + a 2 + a1 + a 0 =0 f( 1) = 1 + a 2 a1 + a 0 f(1) = =0 g(1) = 3 + 2a 2 + a1 =0 a 0 + a1 + a 2 ou = a 0 a1 + a 2 = a1 + 2a 2 1 1. = 3 Subtraindo a segunda equa o da primeira, obtemos 2a1 = 2, de modo que a1 = 1. Em seguida, da terceira equa o, deduzimos que 1 +2a2 = 3, ou a2 = 1. Finalmente, da primeira equa o, obtemos a0 1 1 = 1, de modo que a0 = 1. 3 2 Resposta: O polin mio f(x) = x x x + 1. b ) Se n = 3 e a3 = 1, ent o f( x ) = x 3 + a 2 x 2 + a1x + a 0 e g( x ) = 3x 2 + 2a 2 x + a1 . Como f(1) = f( 1) = 0, observamos 3 que x1 = 1 e x2 = 1 s o ra zes do polin mio. Chamando de x3 a terceira raiz, temos f(x) = (x 1)(x+1)(x x3) = x 2 x3x x + x3. Assim, a2 = x3, a1 = 1 e a0 = x3 = a2. Como g(1) = 0, temos 3 + 2a2 + a1 = 0, donde a2 = ( 3 a1)/2 = 1. Logo, a0 = 1. 3 2 Resposta: O polin mio f(x) = x x x + 1. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS INGL S Quest o 13 a) Esse lugar est vazio? Eu j n o a vi antes em algum lugar? b) A primeira diz que, se ele se sentar, a cadeira onde ela est sentada tamb m vai ficar vazia. A segunda diz que sim, ele j a viu em um lugar, e esse o motivo pelo qual ela parou de ir l . Quest o 14 a) Volume excessivo de som ou odores provenientes do quarto do adolescente. b) A arruma o do quarto poderia ter um impacto negativo em seu desenvolvimento mental. Quest o 15 a) Antes ela era vista como algo divertido e hoje est come ando a ser vista como polui o mental. b) Ao n mero de mensagens publicit rias que entram, por dia, no c rebro do norte-americano comum. Quest o 16 a) Ela ficar acordada, mas continuar b bada. b) O alimento no est mago vai apenas retardar a absor o do lcool na corrente sangu nea. Quest o 17 a) Porque eles tendem a n o ultrapassar ve culos mais lentos. b) Ele concluiu que o que de fato distrai os motoristas conversar ao telefone celular, e n o apenas segur -lo. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS INGL S Quest o 18 a) porcentagem de idosos entre os brasileiros que moram sozinhos. b) Esses consumidores ganham de 10 a 12 sal rios m nimos e t m diploma universit rio. Quest o 19 a) Muitos pais acreditam que a causa do autismo a vacina contra sarampo, caxumba e rub ola. b) Como a vacina dada na mesma poca em que autismo costuma se manifestar, esses pais percebem a uma rela o de causa e efeito. Quest o 20 a) As pessoas culpam a si mesmas quando se v em desempregadas; entretanto, o desemprego , na maior parte das vezes, consequ ncia de mudan as na sociedade. b) Devem ser indicados dois dos fatores abaixo: A ocorr ncia de mudan as tecnol gicas: a introdu o de novas m quinas pode fazer com que as pessoas fiquem desempregadas. A ocorr ncia de mudan as nas pol ticas governamentais. Falta de novas compet ncias em virtude da impossibilidade de acesso educa o ou reciclagem. Quest o 21 a) Deve ser indicado um dos fatores abaixo: O n mero de incidentes naquela rea n o tem nada de excepcional, considerando-se o tamanho, a localiza o e o volume de tr fego da regi o. Muitos dos navios e avi es dados como misteriosamente desaparecidos no Tri ngulo das Bermudas nem sequer estavam naquela rea. b) O verdadeiro enigma o fato de o Tri ngulo das Bermudas ter, afinal, se tornado um mist rio. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS INGL S Quest o 22 a) Ela n o consegue entender como conceitos como cozinhar e limpar se aplicam a ela. b) A tarefa preparar sobremesas. O que possibilita a sua associa o com o estresse que, em ingl s, a palavra desserts (sobremesas), quando lida de tr s para frente, se torna stressed (estressado/a). Quest o 23 a) Quando essa obscuridade for a forma mais clara e mais simples de o autor dizer tudo o que tem a dizer. b) A raz o que se ele conseguisse dizer em tr s p ginas o que Faulkner levou trezentas p ginas para dizer, n o haveria necessidade do livro. Quest o 24 a) As aves come aram a botar ovos com cascas excepcionalmente finas e grande parte deles se quebrava durante a incuba o. b) A alta concentra o de res duos de DDT detectada nos falc es peregrinos e na gema de seus ovos. Respostas Esperadas 2 Fase

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