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Unicamp Vestibular de 2006 - PROVA 2ª FASE - Matemática e Língua

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2 Fase | 18 de Janeiro de 2006 Matem tica | Ingl s Nome do candidato N de inscri o Instru es para a realiza o da prova Nesta prova voc dever responder a doze quest es de Matem tica e a doze quest es de L ngua Estrangeira (Ingl s). Cada quest o vale 5 pontos. Logo, a prova de cada uma das disciplinas vale 60 pontos no total. Ser eliminado do concurso o candidato com zero em qualquer uma das provas da 2 fase. Voc receber dois cadernos de respostas. No caderno de Matem tica, de capa verde, voc dever responder s quest es de n mero 1 a 12. No caderno de L ngua Estrangeira, de capa amarela, voc dever responder s quest es de n mero 13 a 24. (Aten o: n o se esque a de entregar os dois cadernos de respostas!). A prova deve ser feita a caneta, azul ou preta. A dura o total da prova de quatro horas. Ao terminar, voc poder levar este caderno de quest es. ATEN O: Os rascunhos n o ser o considerados. As respostas a l pis n o ser o corrigidas. Matem tica Instru es: Indique claramente as respostas dos itens de cada quest o, fornecendo as unidades, caso existam. Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolu o das quest es. Express es incompreens veis, bem como respostas n o fundamentadas, n o ser o aceitas. Ao apresentar a resolu o das quest es, evite textos longos e d prefer ncia s f rmulas e express es matem ticas. Aten o: N o basta escrever apenas o resultado nal: necess rio mostrar os c lculos ou o racioc nio utilizado. 1. Um carro ir participar de uma corrida em que ter que percorrer 70 voltas em uma pista com 4,4 km de extens o. Como o carro tem um rendimento m dio de 1,6 km/l e seu tanque s comporta 60 litros, o piloto ter que parar para reabastecer durante a corrida. a) Supondo que o carro iniciar a corrida com o tanque cheio, quantas voltas completas ele poder percorrer antes de parar para o primeiro reabastecimento? b) Qual o volume total de combust vel que ser gasto por esse carro na corrida? 2. Uma empresa tem 5000 funcion rios. Desses, 48% t m mais de 30 anos, 36% s o especializados e 1400 t m mais de 30 anos e s o especializados. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos funcion rios t m at 30 anos e n o s o especializados? b) Escolhendo um funcion rio ao acaso, qual a probabilidade de ele ter at 30 anos e ser especializado? 3. Um cidad o precavido foi fazer uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm de comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. O cidad o s pretende carregar notas de R$ 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 65 mm de largura, 0,2 mm de espessura e densidade igual a 0,75 g/cm3. a) Qual a m xima quantia, em reais, que o cidad o poder colocar na mala? b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual ser o peso da mala cheia de dinheiro? 4. Seja S o conjunto dos n meros naturais cuja representa o decimal formada apenas pelos algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. a) Seja x = um n mero de dez algarismos pertencente a S, cujos dois ltimos algarismos t m igual probabilidade de assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual a probabilidade de que x seja divis vel por 15? b) Quantos n meros menores que um bilh o e m ltiplos de quatro pertencem ao conjunto S? 3 5. Para trocar uma l mpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada cou a uma altura de aproximadamente 14 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo parede, conforme ilustra o ao lado. Refeito do susto, Roberto reparou que, ap s deslizar, a escada passou a fazer um ngulo de 45 com a horizontal. Pergunta-se: a) Qual a dist ncia entre a parede da casa e o muro? b) Qual o comprimento da escada de Roberto? 6. A concentra o de CO2 na atmosfera vem sendo medida, desde 1958, pelo Observat rio de Mauna Loa, no Hava . Os dados coletados mostram que, nos ltimos anos, essa concentra o aumentou, em m dia, 0,5% por ano. razo vel supor que essa taxa anual de crescimento da concentra o de CO2 ir se manter constante nos pr ximos anos. a) Escreva uma fun o C(t) que represente a concentra o de CO2 na atmosfera em rela o ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial ou seja, aquele em que t = 0 o ano de 2004, no qual foi observada uma concentra o de 377,4 ppm de CO2 na atmosfera. b) Determine aproximadamente em que ano a concentra o de CO2 na atmosfera ser 50% superior quela observada em 2004. Se necess rio, use log10 2 0, 3010 , log10 2, 01 0, 3032 e log10 3 0, 4771. 7. Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur t m 25 cm e 50 cm de di metro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substitu -lo. a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual quele que foi dani cado. b) Calcule a rea da regi o a ser demarcada sobre o tecido que revestir o abajur. 8. De uma praia, um top grafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma r gua de 2m de comprimento. Usando seu teodolito, o top grafo constatou que o ngulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da r gua de 60 , enquanto o ngulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito base da r gua de 75 . Sabendo que o teodolito est a uma altura de 1,6m do n vel da base da escarpa, responda s quest es abaixo. a) Qual a dist ncia horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a r gua sobre a escarpa? b) Qual a altura da escarpa? 4 y1 m x 1 x 1 x 1 9. Sejam dados: a matriz A = x 1 1 2 , o vetor b = 3 e o vetor y = y 2 . 5 x 1 1 y 2 3 a) Encontre o conjunto solu o da equa o det( A) = 0 . b) Utilizando o maior valor de x que voc encontrou no item (a), determine o valor de m para que o sistema linear Ay = b tenha in nitas solu es. 10. Sabe-se que a reta r(x) = m x + 2 intercepta o gr co da fun o y = |x| em dois pontos distintos, A e B. a) Determine os poss veis valores para m. b) Se O a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a rea do tri ngulo OAB seja m nima. 11. Um tri ngulo ret ngulo de v rtices A, B e C tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC , AB e BC tamb m s o lados de quadrados constru dos externamente ao tri ngulo ABC. Seja O o centro da circunfer ncia que circunscreve o tri ngulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC , AC e AB , respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO , EO e FO . b) Calcule os comprimentos dos lados do tri ngulo de v rtices D, E e F. 12. As tr s ra zes da equa o x 3 3x2 + 12x q = 0, onde q um par metro real, formam uma progress o aritm tica. a) Determine q. b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as ra zes (reais e complexas) da equa o. 5 Ingl s Responda a todas as perguntas EM PORTUGU S. Leia o texto abaixo e responda quest o 13. Indianapolis chosen as guinea pig to test new cigarette. A leading tobacco company claims to have developed a new cigarette with less toxins, and it is testing it on the people of greater Indianapolis. But we all know toxins are poisons. POISONS. And a little poison won t leave you any less dead. INDIANA TOBACCO PREVENTION AND CESSATION www.no-smoking.org/dec01/12-20+02-2.html 13. O texto faz, ao mesmo tempo, uma den ncia e um alerta. a) Qual a den ncia? b) Qual o alerta? 6 O texto abaixo reproduz uma fala de Ellen Orford, uma personagem da pera Peter Grimes, escrita pelo brit nico Benjamim Britten (Libreto Montagu Slater, ato II, cena I). Leia-o e responda quest o 14. ELLEN When rst I started teaching the life at school to me seemed bleak and empty But soon I found a way of knowing children, found the woes of little people hurt more, but are more simple. 14. a) Qual a pro ss o de Ellen e quais foram as primeiras impress es que teve de seu trabalho? b) O que a personagem descobriu sobre os desgostos, as m goas das crian as? No ano passado, o furac o Katrina que atingiu e devastou v rias cidades do sul dos Estados Unidos destacou-se como mat ria para o humor de muitos cartunistas norte-americanos. The Akron Beacon Journal, por exemplo, publicou, em 30/08/2005, a tirinha abaixo, de Chip Bok. Com base nela, responda quest o 15. AND CRUDE OIL TO $70 A BARREL KATRINA PUSHED WINDS TO 140 MPH, WAVES TO 20 FEET... WE RE ALL GONNA DIE. Vocabul rio de apoio: MPH: miles per hour gonna: going to 15. a) Que efeitos do Katrina est o sendo noticiados na tirinha? b) Explicite o comportamento humano que a tirinha p e em evid ncia. 7 Leia o texto abaixo e responda s quest es 16, 17, 18 e 19. Teenage Pregnancy Teenage birth rates in the USA have declined steadily since 1991. While this is good news, teen birth rates in this country remain high, exceeding those in most developed countries. High teen birth rates are an important concern because teen mothers and their babies face increased risks to their health, and their opportunities to build a future are diminished. Between 1991 and 2002, the teenage birth rate fell by 30 percent. Still, in 2002, about 4 teenage girls in 100 had a baby. About 11 percent of all U.S. births in 2002 were to teens (ages 15 to 19) and about 17 percent of teen mothers go on to have a second baby within three years after the birth of their rst baby. A teenage mother is at greater risk than women over age 20 for pregnancy complications such as pregnancy-induced anemia and high blood pressure. Teens that are under 15 years old also may be more than twice as likely to die of pregnancy complications as mothers ages 20 to 24. Teen mothers are more likely than mothers over age 20 to give birth prematurely. In 2002, 9.6 percent of mothers ages 15 to 19 years had a low birth weight baby (under 5.5 pounds), compared to 7.8 percent for mothers of all ages. Low birth weight babies may have organs that are not fully developed. This can lead to chronic lung problems, or bleeding in the brain, blindness and serious intestinal problems. Low birth weight babies are more than 20 times as likely to die in their rst year of life as normal weight babies. Teen mothers are more likely to drop out of high school than girls who delay childbearing. With her education cut short, a teenage mother may lack job skills, making it hard for her to nd and keep a job. A teenage mother may become nancially dependent on her family or on welfare. Adaptado de www.marchofdimes.com/professionals/681_1159.asp 16. Segundo o texto, quais s o os riscos de uma gravidez na adolesc ncia para a sa de da mulher? 17. Entre os problemas gerados pela gravidez precoce, o estudo registra o nascimento de beb s de baixo peso. De acordo com o texto, que problemas de sa de podem acometer esses beb s? Por qu ? 18. A gravidez prematura faz com que muitas adolescentes abandonem seus estudos. Quais s o, segundo o texto, as poss veis conseq ncias desse fato? 19. Os ndices 30% , 17% e 9,6% s o mencionados em diferentes passagens do texto. O que esses ndices mostram, respectivamente? 8 Os quatro adesivos para carros reproduzidos abaixo (www.bumperart.com) cont m mensagens feministas. Leia-os e responda quest o 20. Women who seek to be equal to men lack ambition A woman without a man is like a sh without a bicycle A Woman s Place Is In the House. If a woman wants to learn to drive, don t stand in her way The White House 20. a) Qual dos quatros adesivos sugere que as mulheres n o precisam dos homens? Justi que sua resposta. b) Indique o n mero do adesivo que tamb m pode ser lido como machista. Leia o texto abaixo e responda s quest es 21 e 22. The predominant paradigms of analysis of the spread of English around the world have by and large failed to problematize the causes and implications of this spread. The spread of English is taken to be natural, neutral, and bene cial. More critical analysis, however, show that English threatens other languages, acts as a gatekeeper to positions of wealth and prestige both within nations and between nations and is the language through which much of the unequal distribution of resources and knowledge operates. Furthermore, its spread has not been the coincidental by-product of changing global relations but rather the deliberate policy of English-speaking countries protecting and promoting their economic and political interests. A. Pennycook, English in the world / The world in English , in J.W. Tollefson (org.) Power and Inequality in Language Education. Cambridge: CUP, 1995:54. 21. Segundo o texto, o que provocou a expans o da l ngua inglesa no mundo contempor neo? 22. Al m de a rmar que o ingl s amea a outras l nguas e , em grande parte, respons vel pela distribui o desigual de recursos e conhecimento, que outro argumento utilizado pelo autor do texto para se contrapor queles que consideram ben ca a expans o da l ngua inglesa? 9 Leia o texto abaixo e responda s quest es 23 e 24. Fascinating facts about the invention of the Blue Jeans by Levi Strauss in 1873. BLUE JEANS The Gold Rush of 1848 attracted many adventurers to California. One of them was a twenty-year-old named Levi Strauss. Strauss had been a draper, or cloth seller, in New York, and he took a few bolts of cloth to sell on the journey west. In this manner he earned his way, and by the time he reached California, Levi Strauss had sold everything except a roll of canvas. No one wanted clothes made of canvas! Or did they? It turned out that up in the diggings, where the miners worked, pants wore out very quickly. So Strauss made some pairs of canvas trousers to sell to miners. More and more miners were coming to Strauss and asking him for a pair of those canvas trousers. Not entirely happy with canvas, Levi started using a new fabric from Genoa, Italy. The weavers there called the fabric genes . Strauss changed the name to jeans and later he called his pants Levi s . They were popular with cowboys as well as miners. Today, called Levi s or blue jeans, they are popular with men, women, and children in many countries of the globe. www.idea nder.com, acessado em 24/01/2003. 23. a) Como Strauss conseguiu chegar Calif rnia? b) Para quem Strauss vendeu cal as feitas de lona? Por qu ? 24. Strauss chamou de jeans e, posteriormente, de Levi s as cal as que passou a fabricar. Justi que cada um desses nomes. 10 LISTAS DE CONVOCADOS E MATR CULAS As listas de convocados e espera estar o disposi o dos interessados no sagu o do Ciclo B sico II, no campus de Campinas e na p gina www.comvest.unicamp.br. Fica a cargo de cada candidato informar-se sobre as listas de chamada e espera, divulgadas pela Comvest. Ap s a publica o das listas de chamadas, todos os candidatos convocados dever o comparecer nos campi indicados para efetuar a matr cula nos respectivos cursos nas datas e hor rios determinados (veja rela o abaixo). As 2 , 3 , 4 , 5 , 6 e ltima chamadas ser o constitu das por candidatos que declararam interesse pela vaga na p gina da Comvest na internet (www.comvest.unicamp.br). Esgotada esta rela o, ser o convocados novos candidatos. Por isso, os candidatos devem car atentos a todas as listas Os candidatos matriculados nas 1 , 2 e 3 chamadas dever o obrigatoriamente fazer a con rma o de matr cula, nos respectivos campi, dia 02/03/2006. Convocados para matr cula Ainda que seja convocado para uma op o de curso n o preferencial, o candidato dever comparecer para efetuar a matr cula, caso contr rio, estar eliminado do Vestibular. Os candidatos devem car atentos a todas as listas. O candidato que constar simultaneamente da lista de convocados para matr cula e da lista de espera dever obrigatoriamente efetuar a matr cula referente lista de convocados. Neste caso, no ato da matr cula, em formul rio apropriado, o candidato dever con rmar interesse por remanejamento para o curso preferencialmente pretendido, que ocorrer desde que surjam vagas decorrentes de desist ncias. O n o comparecimento do candidato leva a sua autom tica e de nitiva exclus o do Vestibular. O candidato matriculado em op o n o preferencial dever informar claramente ao funcion rio respons vel pela matr cula seu interesse por remanejamento. Se n o o zer, perder de nitivamente a chance de remanejamento. 1 chamada e lista de espera 09/02/2006 - Divulga o da lista de convocados em 1 chamada e da lista de espera. Declara o de interesse dos candidatos relacionados na lista de espera pela internet (www.comvest.unicamp.br) at s 18h00 horas do dia 13/ 02/2006. Matr cula da 1 chamada 14/02/2006 - Matr cula dos convocados em 1 chamada, das 9h00 s 12h00 horas, no campus de Campinas. Os ingressantes aos cursos da Farmerp tamb m dever o fazer a matr cula no campus da Unicamp em Campinas. 2 chamada 14/02/2006 - at s 24h00 horas. Divulga o da lista de convocados em 2 chamada e candidatos remanejados. Matr cula da 2 chamada 17/02/2006 - Matr cula dos convocados em 2 chamada, das 9h00 s 12h00 horas, no campus de Campinas. Os ingressantes aos cursos da Farmerp tamb m dever o fazer a matr cula no campus da Unicamp em Campinas. 3 chamada 17/02/2006 - at s 24h00 horas. Divulga o da lista de convocados em 3 chamada e lista de candidatos remanejados. Matr cula da 3 chamada 22/02/2006 - Matr cula dos convocados em 3 chamada, das 9h00 s 12h00 horas, no campus de Campinas. Os ingressantes aos cursos da Farmerp tamb m dever o fazer a matr cula no campus da Unicamp em Campinas. 11 Con rma o de Matr cula 02/03/2006 - Con rma o de matr cula para todos os candidatos matriculados nas 1 , 2 e 3 chamadas, das 9h00 s 16h00 horas, inclusive para os que aguardam remanejamento, no campus de Piracicaba para o curso de Odontologia, no campus de Limeira para os Cursos Superiores de Tecnologia e no campus de Campinas para os demais cursos. Os ingressantes aos cursos da Farmerp dever o con rmar a matr cula no Setor de Vida Escolar, Pavilh o da Secretaria Geral, na sede da Famerp em S o Jos do Rio Preto. Os alunos ingressantes em cursos ministrados no per odo noturno poder o con rmar a matr cula das 18h00 s 21h00 horas. A n o con rma o da matr cula leva autom tica e de nitiva perda da vaga. 4 chamada 06/03/2006 - Divulga o da lista de convocados em 4 chamada e lista de candidatos remanejados. Matr cula da 4 chamada 09/03/2006 - Matr cula dos convocados em 4 chamada, das 9h00 s 12h00 horas, no campus de Campinas para todos os candidatos, com exce o dos ingressantes aos cursos da Farmerp, que dever o fazer matr cula no Setor de Vida Escolar, Pavilh o da Secretaria Geral, na sede da Famerp em S o Jos do Rio Preto. 5 chamada 10/03/2006 - Divulga o da lista de convocados em 5 chamada e lista de candidatos remanejados. Matr cula da 5 chamada 15/03/2006 - Matr cula dos convocados em 5 chamada, das 9h00 s 12h00 horas, no campus de Campinas para todos os candidatos (na Diretoria Acad mica - DAC), com exce o dos ingressantes aos cursos da Farmerp, que dever o fazer matr cula no Setor de Vida Escolar, Pavilh o da Secretaria Geral, na sede da Famerp em S o Jos do Rio Preto. 6 chamada 15/03/2006 - at s 24h00 horas. Divulga o da lista de convocados em 6 chamada e lista de candidatos remanejados. Matr cula da 6 chamada 21/03/2006 - Matr cula dos convocados em 6 chamada, das 9h00 s 12h00 horas, no campus de Campinas para todos os candidatos (na Diretoria Acad mica - DAC), com exce o dos ingressantes aos cursos da Farmerp, que dever o fazer matr cula no Setor de Vida Escolar, Pavilh o da Secretaria Geral, na sede da Famerp em S o Jos do Rio Preto ltima chamada 21/03/2006 - at s 24h00 horas. Divulga o da lista de convocados em ltima chamada, lista de candidatos remanejados e lista de espera. Para a lista de espera da ltima chamada n o haver necessidade de declara o de interesse, j que caso sobrem vagas, ser o matriculados os candidatos da lista de espera que estiverem presentes no local de matr cula, de acordo com a ordem de classi ca o nessa lista. Os candidatos da lista de espera que tenham interesse nas vagas decorrentes de desist ncias devem comparecer ao local de matr cula munidos dos documentos exigidos para efetiva o da mesma. Matr cula da ltima chamada 24/03/2006 - Matr cula dos convocados em ltima chamada, das 9h00 s 12h00 horas, no campus de Campinas para todos os candidatos (na Diretoria Acad mica - DAC), com exce o dos ingressantes aos cursos da Farmerp, que dever o fazer matr cula no Setor de Vida Escolar, Pavilh o da Secretaria Geral, na sede da Famerp em S o Jos do Rio Preto. A partir das 14h00 horas, caso sobrem vagas, haver a matr cula dos candidatos da lista de espera que estejam presentes nos locais da matr cula. A matr cula obedecer a ordem de classi ca o da lista de espera e ser realizada no Setor de Vida Escolar para ingressantes aos cursos da Famerp e na DAC, no campus de Campinas para os demais ingressantes. Importante: s ser o matriculados candidatos da lista de espera que estejam presentes no local de matr cula, desde que existam vagas dispon veis, ou seja, a simples presen a n o garante a vaga; preciso que haja desist ncias. Se houver necessidade ser o divulgadas novas listas de espera juntamente com as 2 , 3 , 4 , 5 e 6 chamadas. 12 LISTA DE ESPERA Candidatos da lista de espera Juntamente com as listas de convocados, podem ser divulgadas listas de espera com a rela o dos candidatos que poder o ser matriculados em decorr ncia de desist ncias de candidatos convocados para matr cula. Todos os candidatos relacionados na lista de espera devem obrigatoriamente declarar interesse por uma vaga na p gina da Comvest na internet (www.comvest.unicamp.br) at s 18h00 do dia que antecede a matr cula referente quela lista. Os que n o o zerem estar o autom tica e de nitivamente exclu dos do processo de sele o. A Comvest vai disponibilizar micros com acesso a internet em seu pr dio para os candidatos que desejarem fazer a declara o de interesse (Av. rico Ver ssimo, 1280, Unicamp, Campinas-SP - dias teis, das 8h30 s 17h30). Para a lista de espera da ltima chamada, no entanto, n o haver necessidade de declara o de interesse, j que caso sobrem vagas, ser o matriculados os candidatos da lista de espera que estiverem presentes no local de matr cula, de acordo com a ordem de classi ca o da lista de espera. Ser o matriculados os candidatos da lista de espera at o limite das vagas dispon veis, obedecida rigorosamente a ordem de classi ca o. Os candidatos que declararam interesse pela vaga dever o car atentos s pr ximas listas de chamada. O n o comparecimento em quaisquer dos casos, no local, dia e hor rios determinados, leva autom tica e de nitiva exclus o do candidato. A declara o de interesse refere-se a uma vaga em qualquer uma das op es de curso do candidato no Vestibular. Por isso, mesmo o candidato que estiver na lista de espera para um curso de op o n o preferencial, precisa declarar interesse por eventuais vagas na Unicamp. DOCUMENTA O PARA A MATR CULA A matr cula s efetivada ap s a apresenta o de todos os documentos exigidos. Veja a documenta o necess ria (p ginas 23 e 24 do Manual do Candidato/2006 e na p gina www.comvest.unicamp.br) e providencie-a com anteced ncia, pois a matr cula deve ser efetuada logo depois da publica o das listas. ATEN O! 02/03/2006 - Con rma o de matr cula* 06/03/2006 - In cio das aulas nos respectivos campi *As matr culas N O CONFIRMADAS estar o autom tica e de nitivamente CANCELADAS. 13 Matem tica | Ingl s RESPOSTAS ESPERADAS Quest o 1 a) Se o motor do carro tem um rendimento de 1,6 km/l e o tanque comporta 60 litros, ent o poss vel percorrer 60x1,6 = 96 km com o volume de combust vel de um tanque cheio. Para obter o n mero m ximo de voltas que o carro pode percorrer, devemos dividir esse valor pelo comprimento da pista, ou seja, calcular, 96/4,4 = 21,81. Como esse valor n o inteiro, conclu mos que o carro poder percorrer 21 voltas completas. Resposta: o carro poder percorrer 21 voltas completas antes de reabastecer. b) Ao final das 70 voltas, o carro ter percorrido 70x4,4 = 308 km. Dividindo esse valor pelo rendimento de 1,6 km/l, obtemos 308/1,6 = 192,5 litros, o volume total de combust vel gasto na corrida. Resposta: o carro ir gastar 192,5 litros de combust vel na corrida. T picos: modelagem de problemas, opera es com n meros reais, regra de tr s. Quest o 2 a) O n mero de funcion rios com mais de 30 anos igual a 5000x0,48 = 2400, de modo que 5000 2400 = 2600 funcion rios t m at 30 anos. O n mero de funcion rios especializados igual a 5000x0,36 = 1800. Como 1400 funcion rios t m mais de 30 anos e s o especializados, temos 1800 1400 = 400 funcion rios com at 30 anos e especializados. Assim, o n mero de funcion rios com at 30 anos e n o especializados igual a 2600 400 = 2200. Resposta: a empresa possui 2200 funcion rios n o especializados com at 30 anos. a ) O n mero de funcion rios com mais de 30 anos igual a 5000x0,48 = 2400. O n mero de funcion rios especializados igual a 5000x0,36 = 1800, de modo que 5000 1800 = 3200 funcion rios n o s o especializados. Como dos 2400 funcion rios com mais de 30 anos, 1400 s o especializados, temos 2400 1400 = 1000 funcion rios com mais de 30 anos e n o especializados. Assim, o n mero de funcion rios com at 30 anos e n o especializados igual a 3200 1000 = 2200. Resposta: a empresa possui 2200 funcion rios n o especializados com at 30 anos. b) Dos 1800 funcion rios especializados, 1400 possuem mais de 30 anos, de modo que 1800 1400 = 400 funcion rios t m at 30 anos e s o especializados. Assim, a probabilidade de que um funcion rio escolhido ao acaso tenha at 30 anos e seja especializado de 400/5000 = 0,08, ou 8%. Resposta: a probabilidade de 0,08, ou 8%. T picos: modelagem de problemas, porcentagem, probabilidade. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 3 a) Observamos que 56 cm = 4x140 mm e que 39 cm = 6x65 mm, de modo que se pode guardar o dinheiro em camadas de exatamente 6x4 = 24 notas. O n mero de camadas igual a 10/0,02 = 500. Assim, podemos guardar na mala 24x500 = 12000 notas, ou seja, 12000xR$50,00 = R$600.000,00. Resposta: pode-se colocar, no m ximo, R$600.000,00 na mala. b) O dinheiro ocupa todo o volume interno da mala, que corresponde a 56x39x10 = 21.840 cm3. O peso do dinheiro dado por 21.840 cm3 x 0,75 g/cm3 = 16.380 g, ou 16,38 kg. Somando-se, a esse valor, o peso da mala, obtemos 16,38+2,6 = 18,98 kg. Resposta: a mala cheia pesa 18,98 kg. b ) Cada nota tem um volume de 14x6,5x0,02 = 1,82 cm3. Assim, as 12000 notas t m, somadas, 21.840 cm3. O peso do dinheiro dado por 21.840 cm3 x 0,75 g/cm3 = 16.380 g, ou 16,38 kg. Somando-se, a esse valor, o peso da mala, obtemos 16,38+2,6 = 18,98 kg. Resposta: a mala cheia pesa 18,98 kg. T picos: modelagem de problemas, geometria espacial, convers o de unidades, fatora o de n meros inteiros. Quest o 4 a) Para ser divis vel por 15, um n mero deve ser divis vel por 3 e por 5. Um n mero divis vel por 5 somente quando seu ltimo algarismo 0 ou 5. Como os n meros que cont m o algarismo 5 n o pertencem ao conjunto S, conclu mos que o ltimo algarismo de x s pode ser 0. Para que x seja divis vel por 3, preciso que a soma dos seus algarismos seja divis vel por 3. A soma dos 9 algarismos conhecidos igual a 16. O quociente da divis o de 16 por 3 5, e o resto igual a 1. Assim, a soma do pen ltimo algarismo de x com 1 deve fornecer um n mero m ltiplo de 3. Dos algarismos dispon veis, apenas o 2 satisfaz essa exig ncia, de modo que os dois ltimos algarismos de x s o 2 e 0, respectivamente. Como cada um desses dois algarismos poderia ser igual a 0, 1, 2, 3 ou 4, temos 5x5 = 25 pares poss veis, dois quais apenas o 20 torna x divis vel por 15. Assim, a probabilidade de 1/25. Resposta: a probabilidade de 1/25, ou 0,04, ou, ainda, 4%. b) Os n meros menores que 1.000.000.000 t m, no m ximo, 9 algarismos. Para descobrir se um n mero pertencente a S divis vel por quatro, basta analisar seus dois ltimos algarismos, de modo que os sete primeiros algarismos podem assumir qualquer valor de 0 a 4. J os dois ltimos s podem ser 00, 04, 12, 20, 24, 32, 40 ou 44. Assim, temos 57x8 = 625.000 n meros m ltiplos de 4. Resposta: O conjunto S possui 625.000 n meros m ltiplos de 4. T picos: contagem, divisibilidade, probabilidade. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 5 a) A figura ao lado ilustra as duas situa es mencionadas no texto. Como a escada faz um ngulo de 45 com a horizontal na posi o final, d2 = h2. Al m disso, sabemos que h1 = 14 e que d 2 = d 1 + 1 . Deste modo, usando o Teorema de Pit goras, chegamos ao sistema c2 = ( 14 ) 2 2 + d1 c 2 = 2(d 1 + 1) 2 . Subtraindo a primeira equa o da segunda, temos 2 d 1 + 4d 1 12 = 0 . Resolvendo essa equa o, descobrimos que d 1 = 6 ou d 1 = 2 . Desprezando a raiz negativa, conclu mos que d 2 = d 1 + 1 = 3 . Resposta: a parede da casa est a 3 metros do muro. h1 h2 c c 45o d1 1 d2 2 b) Como c 2 = 2d 2 = 18 , temos c = 3 2 . Resposta: a escada possui 3 2 metros. T picos: modelagem de problemas, geometria plana, trigonometria. Quest o 6 a) Como a taxa anual de crescimento da concentra o de CO2 de 0,5%, a cada ano que passa, a concentra o multiplicada por 1,005. Assim, a cada t anos, a concentra o multiplicada por 1,005 t. Chamando de C0 a concentra o inicial de CO2, a concentra o ap s t anos dada pela fun o exponencial t C (t ) = C 0 (1,005) . Como, no ano de 2004, t nhamos C0 = 377,4 ppm, a fun o desejada C (t ) = 377,4 (1,005)t . Resposta: a fun o C(t) = 377,4.(1,005)t. b) Suponhamos que em t anos, contados a partir de 2004, a concentra o ser 50% maior. Neste caso, 3 3 teremos C 0 = C 0 (1,005) t , ou simplesmente = (1,005) t . Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois 2 2 lados dessa equa o, obtemos log(3 / 2) = t log(1,005) . Assim, t = [log(3) log(2)] / log(1,005) . Como n o conhecemos o logaritmo de 1,005, usamos t = [log(3) log(2)] / log(2,01 / 2) = [log(3) log(2)] / [log(2,01) log(2)] . Com base nos valores de log(2) , log( 2,01) e log(3) fornecidos, obtemos t = [0,4771 0,3010] / [0,3032 0,3010] 80,05 . Resposta: a concentra o de CO2 na atmosfera ser 50% superior quela observada em 2004 por volta do ano de 2084. T picos: modelagem de problemas, fun es exponenciais e logaritmos. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 7 a) O tecido utilizado para cobrir o abajur tem a forma de um setor de uma coroa circular, como indicado na figura. O arco interno tem comprimento igual ao comprimento da circunfer ncia da base menor do tronco de cone, ou seja, r = 25 . O 50 arco externo tem comprimento igual ao comprimento da circunfer ncia da base maior do tronco de cone, ou seja, ( r + 30) = 50 . Assim, 25 temos 25 + 30 = 50 , ou = 5 / 6 . Logo, o comprimento do raio do arco interno igual a r = 25 /(5 / 6) = 30cm , e o raio externo vale 30 r R = r + 30 = 60cm . Resposta: o raio interno tem 30 cm e o raio externo tem 60 cm. a ) Um corte vertical do cone fornece o tri ngulo is sceles ao lado. Observando o tri ngulo ret ngulo cuja base igual ao raio da abertura maior do abajur, constatamos que este semelhante ao tri ngulo ret ngulo cuja base igual ao raio da abertura menor. Dada a semelhan a dos tri ngulos, podemos escrever 25 r + 30 = . 12,5 r Assim, 12,5r = 12,5.30, ou r = 30 cm. Logo, R = r + 30 = 60cm . Resposta: o raio interno tem 30 cm e o raio externo tem 60 cm. r 12,5 30 25 b) A rea de tecido igual diferen a entre as reas dos setores circulares. O setor maior tem rea igual a R 2 / 2 = (5 / 6) 60 2 / 2 = 1500 cm2, enquanto a rea do setor menor r 2 / 2 = (5 / 6) 30 2 / 2 = 375 cm2. Logo, a rea de tecido igual a (1500 375) = 1125 cm 2 . Resposta: a rea de tecido necess ria para cobrir o abajur igual a 1125 cm2. b ) A rea lateral do cone maior dada por AG = R B G , onde G a geratriz do cone e RB o raio da base. Assim, AG = .25.60 = 1500 cm2. Da mesma forma, para o cone menor temos 2 AP = rB g = .12,5.30 = 375 cm . Logo, a rea de tecido igual a AG AP = (1500 375) = 1125 cm 2 . Resposta: a rea de tecido necess ria para cobrir o abajur igual a 1125 cm2. T picos: modelagem de problemas, geometria espacial e plana. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 8 a) Definamos d como a dist ncia horizontal entre o teodolito e a r gua, e h como a diferen a entre a altura da escarpa e a altura do teodolito, que de 1,6m. Observando a figura ao lado, constatamos que tan(15 ) = h / d e tan(30 ) = ( h + 2) / d . tan( 45 ) tan(30 ) tan(15 ) = tan( 45 30 ) = = 2 3 , Como 1 + tan( 45 ) tan(30 ) 2 chegamos ao sistema 2+ h = d 33 h = (2 3 )d Subtraindo a segunda linha 2 = ( 3 3 2 + 3 )d , ou d = 3 + 2 3 . da . 60o primeira, 15o 15o obtemos h d Resposta: a r gua est a uma dist ncia horizontal de 3 + 2 3 6,46 metros do teodolito. b) Como h = (2 3 )d , temos h = (2 3 )(3 + 2 3 ) = 3 . Assim, a escarpa est a uma altura de 1,6 + 3 3,33 m. Resposta: a escarpa est a uma altura de 1,6 + 3 3,33 metros. 30o 60o b ) Definamos d como a dist ncia horizontal entre o teodolito e a r gua, e h como a diferen a entre a altura da escarpa e a altura do teodolito, que de 1,6m. Observando a figura ao lado, constatamos que sen(60 ) = h / 2 , de modo que h = 2sen(60 ) = 3 . 60o Resposta: a escarpa est a uma altura de 1,6 + 3 3,33 metros. a ) Com base na figura, tamb m constatamos 2 h h 15o 15o d que tan(60 ) = d /(2 + h) . Assim, d = (2 + h) tan(60 ) = (2 + 3 ) 3 = 3 + 2 3 Resposta: a r gua est a uma dist ncia horizontal de 3 + 2 3 6,46 metros do teodolito. b ) Seja dada a figura ao lado. Pelo teorema da bissetriz interna, temos dh d = cos(30 ) , obtemos h = 2 cos(30 ) = 3 . Assim, a = . Como a2 a 2 a altura da escarpa igual a 1,6 + 3 3,33 m. Resposta: a escarpa est a uma altura de 1,6 + 3 3,33 metros. 60o 15o 15o h d T picos: formula o de problemas, trigonometria, geometria plana. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 9 a) det( A) = 2( x 1) + 2( x 1) + ( x 1) ( x 1) 2( x 1) + 2( x 1) = 4( x 1) 4( x 1) . Assim, temos a 2 2 2 2 2 equa o 4( x 1)( x 2) = 0 , cujas ra zes s o x1 = 1 e x2 = 2. Resposta: as solu es da equa o s o x1 = 1 e x2 = 2. b) A maior raiz 2, de modo que o sistema desejado tem a forma + y3 = m y1 + y 2 y 1 + y 2 + 2y 3 = 3 . y 1 + y 2 2y 3 = 5 Para escalonar o sistema, multiplicamos a primeira linha por 1 e a somamos s demais linhas, obtendo + y3 = y1 + y 2 m y3 = 3 m . 3y 3 = 5 m Para que esse sistema tenha solu o, preciso que as duas ltimas equa es sejam compat veis, ou seja, y3 = 3 m e 3y3 = 5 m. Assim, temos 3(3 m) = 5 m , ou 4m = 14 , ou ainda m = 7 / 2 . Neste caso, teremos um sistema com tr s inc gnitas, mas apenas duas equa es linearmente independentes, de modo que haver infinitas solu es. Resposta: para que o sistema tenha infinitas solu es, preciso que m = 7/2. b ) A maior raiz 2, de modo que o sistema desejado tem a forma + y3 = m y1 + y 2 y 1 + y 2 + 2y 3 = 3 y 1 + y 2 2y 3 = 5 Isolando o termo y 1 + y 2 nas tr s equa es, chegamos conclus o que m y 3 = 3 2 y 3 = 5 + 2 y 3 . Para que o sistema tenha solu o, preciso que 3 2 y 3 = 5 + 2 y 3 , de modo que y 3 = 1 / 2 . Da mesma forma, necess rio que m y 3 = 3 2 y 3 , donde se obt m m = 7 / 2 . Como a nica exig ncia sobre y1 e y2 que essas vari veis satisfa am y 1 + y 2 = 4 , haver infinitas solu es. Resposta: para que o sistema tenha infinitas solu es, preciso que m = 7/2. Assunto: sistemas lineares e determinantes, polin mios com coeficientes reais. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 10 a) Conforme ilustrado na figura abaixo, os gr ficos da reta e da fun o |x| se interceptam em um ponto A com abscissa negativa, e em um ponto B com abscissa positiva. As coordenadas do ponto A podem ser obtidas resolvendo-se o sistema y = x 2 2 . mx + 2 = x x= y= y = mx + 2 m +1 m +1 Como x < 0 e y > 0, devemos ter m + 1 > 0, de modo que m > 1. J as coordenadas do ponto B s o obtidas a partir do sistema B 2 y=x 2 2 . mx + 2 = x x= y= A y = mx + 2 1 m 1 m O Uma vez que, nesse caso, x > 0 e y > 0, devemos ter 1 m > 0, ou m < 1. Resposta: Para que haja interse o em dois pontos distintos, preciso que 1 < m < 1. b) Como se observa, o tri ngulo AOB ret ngulo, de modo que sua rea dada por S = d (O, A) d (O, B ) 2 . 22 22 22 ( 2) 2 22 8 22 + = = + = , temos e d (O, B ) = 2 2 2 2 2 1 m 1+ m (1 m) (1 m) ( m + 1) ( m + 1) ( m + 1) 4 4 S= = . Assim, para que S seja m nima, preciso que 1 m2 assuma seu valor ( m + 1) (1 m) 1 m 2 m ximo, o que acontece quando m = 0. Resposta: a rea do tri ngulo ser m nima para m = 0. Como d (O, A) = b ) Dadas as coordenadas dos tr s v rtices do triangulo AOB, a rea deste pode ser obtida a partir de 0 S= 1 det 2 2 m +1 2 1 m 0 1 2 1 m +1 2 1 1 m = 4 4 = . ( m + 1) (1 m) 1 m 2 Assim, para que S seja m nima, preciso que 1 m2 assuma seu valor m ximo, o que acontece quando m = 0. Resposta: a rea do tri ngulo ser m nima para m = 0. T picos: fun es e gr ficos, geometria anal tica. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 11 a) A figura ao lado ilustra o tri ngulo, a circunfer ncia a ele circunscrita e os quadrados. Uma vez que o tri ngulo ret ngulo, o ponto O o ponto m dio da hipotenusa BC . Como D o centro do quadrado de lado BC , temos DO = CO = BC/2 = 5 cm. Como os tri ngulos ABC e GOC s o semelhantes e CO = BC/2, devemos ter GO = AB/2 = 4. Al m disso, como E o centro do quadrado de aresta AC , temos EG = AC/2 = 3. Assim, EO = EG + GO = 7 cm. Repetindo o racioc nio para o tri ngulo OHB e o quadrado de aresta AB , obtemos OH = AC/2 = 3 e HF = AB/2 = 4, de modo que FO = OH + HF = 7 cm. Resposta: DO = 5 cm, EO = 7 cm e FO = 7 cm. b) Como o tri ngulo EOF ret ngulo e is sceles, temos FE = EO 2 = 7 2 cm . Para calcular DF e DE, usamos a lei dos cossenos: DE 2 = 7 2 + 5 2 2.7.5. cos( + 90 ) D C G E O A H B F = 74 + 70 sen( ) = 74 + 70.6 / 10 = 116 = 4.29 DF 2 = 7 2 + 5 2 2.7.5. cos( + 90 ) = 74 + 70 sen( ) = 74 + 70.8 / 10 = 130 Resposta: FE = 7 2 cm, DE = 2 29 cm e DF = 130 cm. Quest o 12 a) Como as ra zes x1, x2 e x3 formam uma progress o aritm tica, podemos escrever x1 = x2 r e x3 = x2 + r. Para determinar q, vamos usar a rela o de Girard x 1 + x 2 + x 3 = 3 . Nesse caso, temos x 2 r + x 2 + x 2 + r = 3 x 2 = 3 , de forma que x2 = 1. Substituindo essa raiz na equa o, obtemos 13 3.12 + 12.1 q = 0, de modo que q = 10. Resposta: q = 10. b) Levando em conta que x2 = 1 e q = 10, podemos escrever a equa o na forma (x-1)(x2 2x + 10) = 0. Assim, para encontrar as ra zes que faltam, basta resolver a equa o x2 2x + 10 = 0. As ra zes s o, portanto, x1 = 1 3i e x3 = 1 + 3i. Resposta: as ra zes s o x1 = 1 3i, x2 = 1 e x3 = 1 + 3i. b ) Como as ra zes x1, x2 e x3 formam uma progress o aritm tica, podemos escrever x1 = x2 r e x3 = x2 + r. Para determinar as ra zes, vamos usar as rela es de Girard x 1 + x 2 + x 3 = 3 e x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = 12 . Da primeira, obtemos x2 = 1. Da segunda, conclu mos que r 2 = 9 , de modo que r = 3i . Adotando r = 3i, obtemos x1 = 1 3i e x3 = 1 + 3i. Resposta: as ra zes s o x1 = 1 3i, x2 = 1 e x3 = 1 + 3i. a ) Para determinar q, vamos usar a terceira rela o de Girard x 1 x 2 x 3 = q . Assim, q = (1 3i )(1 + 3i ) = 10 . Resposta: q = 10. T picos: polin mios com coeficientes reais, progress o aritm tica. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 13 a) A den ncia que a popula o da grande Indianapolis est sendo usada (como cobaia) para testar um novo cigarro com (aparentemente) menos toxina. b) O alerta que cigarros com pouca toxina tamb m matam. Quest o 14 a) Ellen professora. A escola para ela era um lugar deprimente (triste) e vazio. b) Ela descobriu que os desgostos, as m goas das crian as, machucam mais, mas s o mais simples. Quest o 15 a) O Katrina fez com que a velocidade dos ventos chegasse a 140 milhas por hora, as ondas subissem a 20 p s e o petr leo subisse para $70 d lares o barril. b) As pessoas s se incomodam com as trag dias que acometem a humanidade quando podem ser por elas afetadas financeiramente. Quest o 16 Uma gravidez na adolesc ncia pode induzir anemia e press o alta. Adolescentes com menos de 15 anos t m mais do que o dobro de possibilidade de morrer por complica es na gravidez (do que m es com idade entre 20 e 24 anos). Quest o 17 Eles podem desenvolver problemas pulmonares cr nicos, sangramento (hemorragia) cerebral, cegueira e s rios problemas intestinais porque seus rg os ainda n o est o totalmente desenvolvidos. Quest o 18 Essas adolescentes podem n o desenvolver habilidades profissionais, o que faz com que tenham dificuldade para encontrar e manter um emprego. Elas podem se tornar financeiramente dependentes da fam lia ou do sistema p blico de bem estar social /da previd ncia social. Quest o 19 30% indica a queda no n mero de adolescentes que deram luz (entre 1991 e 2001). 17% indica o n mero de m es adolescentes que t m o segundo filho at 3 anos depois do nascimento do primeiro. 9,6% indica o n mero de m es adolescentes que tiveram um beb de baixo peso. Respostas Esperadas 2 Fase Quest o 20 a) O adesivo n mero 3 / O adesivo que diz que uma mulher sem um homem como um peixe sem uma bicicleta. Como peixes n o precisam de bicicletas, logo mulheres n o precisam de homens. b) O adesivo n mero 4 . Quest o 21 O que provocou tal expans o foi a pol tica deliberada desenvolvida pelos pa ses de l ngua inglesa para proteger e promover seus interesses econ micos e pol ticos . Quest o 22 A l ngua inglesa funciona como uma barreira que impede o acesso a posi es de riqueza e prest gio no interior das na es e entre as na es. Quest o 23 a) Vendendo tecidos em sua jornada para o oeste (para a Calif rnia). b) Para mineiros, porque suas cal as se desgastavam rapidamente em seu trabalho nas minas. Quest o 24 Strauss passou a chamar suas cal as de jeans porque come ou a usar um tecido fabricado em G nova (It lia) e que, por isso, era denominado genes (pelos tecel es locais). O primeiro nome de Strauss era Levi, assim o nome Levi s registra a cal a como cria o sua / uma alus o cal a do Levi . Respostas Esperadas 2 Fase

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