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Unicamp Vestibular de 2010 - PROVA 2ª FASE - Matemática e Inglês

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Matem tica Ingl s Instru es para a realiza o da prova Nesta prova voc dever responder a doze quest es de Matem tica (numeradas de 1 a 12) e a doze quest es de Ingl s (numeradas de 13 a 24). A prova deve ser feita a caneta, azul ou preta. Utilize apenas o espa o reservado (pautado) para a resolu o das quest es. Cada quest o vale 4 pontos. Logo, a prova de cada uma das disciplinas vale 48 pontos no total. Ser eliminado o candidato com zero em qualquer uma das provas da 2 fase. Aten o: n o basta escrever apenas o resultado final. necess rio mostrar os c lculos ou o racioc nio utilizado para responder s quest es. A dura o total da prova de quatro horas. ATEN O Os rascunhos n o ser o considerados. ORDEM NOME VESTIBULAR 2010 2 FASE MATEM TICA INGL S ASSINATURA DO CANDIDATO INSCRI O ESCOLA SALA LUGAR NA SALA 1. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de a car e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de a car e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria disp e de 10 kg de a car e 6 kg de farinha, responda s quest es abaixo. a) Ser que poss vel produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o a car de que disp e? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 1 2. Uma pe a esf rica de madeira maci a foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que, na escava o, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esf rica. Sabe-se que uma calota esf rica tem volume h2 3R h , em que h a altura da calota e R o 3 raio da esfera. Al m disso, a rea da superf cie da calota esf rica (excluindo a por o plana da base) dada por A cal 2 Rh . Vcal Aten o: n o use um valor aproximado para . a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em fun o de R. b) Depois de escavada, a pe a de madeira receber uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2, determine a rea sobre a qual o verniz ser aplicado. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 2 3. Um artes o precisa recortar um ret ngulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro dispon veis para a obten o dessa tira s o mostrados nas figuras abaixo. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obten o da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obten o da tira? Justifique. a) Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 3 4. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que ter que ser vencida e a bicicleta de Laura. 0,99 . Suponha, a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ngulo de inclina o , tal que cos( ) tamb m, que cada pedalada fa a a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com rela o ao ponto de partida) que ser atingida por Laura ap s dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura est destacado na figura direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 4 5. O valor presente, Vp , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, dado pela f rmula abaixo, em que r o percentual mensal de juros (0 r 100) e p o valor da parcela. p Vp 1 r 100 n a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 m s). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp , supondo uma taxa de juros de 1% ao m s. b) Imagine que outra mercadoria, de pre o 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 m s) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp , e o percentual m nimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar vista. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 5 6. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam m sicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento apresentado na tabela ao lado. Modelo Pre o (R$) Aparelhos vendidos (milhares) A 150 78 a) Em face dos timos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu B 180 70 sortear um pr mio entre seus clientes. Cada propriet rio de um aparelho C 250 52 da empresa receber um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, D 320 36 n o sendo poss vel receber uma fra o de cupom. Supondo que cada propriet rio adquiriu apenas um aparelho e que todos os propriet rios resgataram seus cupons, calcule o n mero total de cupons e a probabilidade de que o pr mio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com pre o superior a R$ 300,00. b) A empresa pretende lan ar um novo modelo de aparelho. Ap s uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o n mero de aparelhos a serem vendidos anualmente e o pre o do novo modelo est o relacionados pela fun o n(p) = 115 0,25p, em que n o n mero de aparelhos (em milhares) e p o pre o de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que dada por n p. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 6 7. Sejam dadas as fun es f( x ) 8 / 4 2x e g( x ) 4x . a) Represente a curva y = f(x) no gr fico abaixo, em que o eixo vertical fornece log2(y). b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equa es f( z ) f( y ) / g( z) g( y ) 1 Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 7 8. O papagaio (tamb m conhecido como pipa, pandorga ou arraia) um brinquedo muito comum no Brasil. A figura ao lado mostra as dimens es de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadril tero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um peda o de linha. Uma das varetas reta e liga os v rtices A e C da folha de papel. A outra, que liga os v rtices B e D, tem o formato de um arco de circunfer ncia e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente. a) Calcule a rea do quadril tero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 8 A a13 a 23 , cujos coeficientes s o n meros reais. a31 a32 9. Considere a matriz a11 a12 a21 a22 a 33 a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz s o iguais a zero. Supondo tamb m que n o h nenhuma informa o adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz n o seja nulo. b) Suponha, agora, que aij j 0 para todo elemento em que j > i, e que aij i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A 1 i j 1 para os elementos em que . Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 9 10. Suponha que f : IR IR seja uma fun o mpar (isto , f( x) = f(x)) e peri dica, com per odo 10 (isto , f(x) = f(x+10)). O gr fico da fun o no intervalo [0, 5] apresentado abaixo. a) Complete o gr fico, mostrando a fun o no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99). 2 b) Dadas as fun es g(y) = y 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a express o de h(x) para 2,5 Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 10 x 5. 11. No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C s o perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B o ponto (2, 0), resolva as quest es abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em fun o de a. b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equa o da circunfer ncia com centro em A e tangente ao eixo x. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 11 12. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o n mero de integrantes usando estrat gias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um per odo de uma semana e dobrar o n mero de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrar o 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que j tem 2200 membros, acredita que conseguir mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentar o n mero de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrar o no site B na primeira semana, 200 entrar o na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar marca dos 10000 membros? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 12 13. (Adaptado de http://cityroom.blogs.nytimes.com/2008/09/17/a-new-license-for-more-than-just-driving/. Acessado em 02/10/2009.) a) O texto acima corresponde ao modelo de um documento. De que documento se trata? Qual seria a cor dos olhos da sua pretensa portadora? b) Em que m s a pretensa portadora do documento teria nascido e a que se refere a data expressa pela sequ ncia num rica 09-30-08 ? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 13 14. (http://leloveimage.blogspot.com Acessado em 19/09/2009.) a) O que, segundo o texto acima, inevit vel que aconte a? b) Isso que inevit vel pode, de acordo com o texto, ser apenas uma situa o tempor ria ou pode se manter para o resto da vida. Em que outras circunst ncias essa situa o pode acontecer? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 14 15. O excerto abaixo foi adaptado do conto True Love de Isaac Asimov. My name is Joe. That is what my colleague, Milton Davidson, calls me. He is a programmer and I am a computer. I am Milton s experimental model. His Joe. Milton has never married, though he is nearly 40 years old. He has never found the right woman, he told me. One day he said, I ll find her yet, Joe. I m going to find the best. I m going to have true love and you re going to help me. I m tired of improving you in order to solve the problems of the world. Solve my problem. Find me true love. (T. Kral (org.), Being People An Anthology. Washington, D.C.: USIA, s/d, p. 183.) a) Do que Milton Davidson est cansado? b) Por que Milton Davidson n o se casou e o que ele espera que Joe fa a por ele? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 15 16. (http://icanread.tumblr.com/post/160718206/by-unbeingdead Acessado em 21/09/2009.) a) O texto faz refer ncia a uma expectativa derivada de um fato ocorrido no passado. Que fato foi esse e qual era a expectativa? b) No caso relatado no texto, essa expectativa se concretizou? Justifique sua resposta. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 16 17. Global Handwashing Day October 15, 2009 Although people around the world wash their hands with water, very few wash their hands with soap at critical moments. Global Handwashing Day will be the centerpiece of a week of activities that will mobilize millions of people across five continents to turn handwashing with soap before eating and after using the toilet into an ingrained habit. This could save more lives than any single vaccine or medical intervention, cutting deaths from diarrhea by almost half and deaths from acute respiratory infections by about a quarter. (Adaptado de http://www.globalhandwashingday.org/Global_Handwashing_Day_2nd_Edition.pdf. Acessado em 16/07/2009.) a) Que h bito a campanha descrita no texto pretende incentivar? b) Segundo o texto, em quanto esse h bito pode reduzir as taxas de mortalidade? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 17 18. Economics and Software Piracy If software were less expensive, would people pirate less? Research conducted to answer this question suggests that many people pirate programs regardless of their price tag. The economic factor provides the pirate with a means to justify his or her actions, but it isn't a real motivator. A common justification for this kind of behavior is that software companies are enormous and make billions of dollars; making one single unauthorized copy of the software wouldn't hurt them. (Adaptado de http://computer.howstuffworks.com/pirate-software1.htm. Acessado em 10/11/2009.) a) Segundo o texto, o que o resultado da pesquisa relacionada pirataria de software sugere? b) Por que, de acordo com o texto, as pessoas acham que moralmente justific vel piratear programas de computadores produzidos por grandes empresas? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 18 19. (Adaptado de http://www.post-gazette.com/robrogers/Default.asp?m=5&d=31&y=2005. Acessado em 21/09/2009.) a) A terceiriza o de empregos fonte de preocupa o de um dos personagens do cartum. Identifique dois outros problemas do mundo real apontados pelos personagens. b) Na quarta fala, a palavra real utilizada como um adv rbio para enfatizar a rea o do personagem face aos problemas apontados. Qual essa rea o? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 19 20. A CT I V E DU T Y PERSON N EL, 1 99 8 Marines 12% Navy 27% Arm y 35% Army 35% Air Force 26% Navy Air Force 26% Marines 27% 12% Pie charts should rarely be used. It is more difficult for the eye to discern the relative size of pie slices than it is to assess relative bar length. In the example above, it is difficult to figure out from the pie chart whether the Navy or Air Force is larger whereas from the bar chart it is obvious. (Adaptado de http://lilt.ilstu.edu/gmklass/pos138/datadisplay/badchart.htm. Acessado em 21/09/2009.) a) A que se referem as porcentagens informadas nos gr ficos? b) Por que, segundo o texto, os gr ficos de barra s o considerados mais eficazes do que gr ficos de setores circulares (popularmente denominados gr ficos de pizza )? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 20 21. Cocooning Cocooning describes a phenomenon whereby people will want to stay inside the safety and comfort of their homes in gated communities. This is partially due to the constant circulation of frightening images in the mass media. Thus, people will do more from their homes; they will spend more money to make their homes comfortable and complete. As a result, jobs related to home entertainment systems and home remodeling will abound. (Adaptado de http://www.careerplanner.com/Career-Articles/Hot_Jobs.cfm#HotJobs. Acessado em 18/10/2009.) a) A que fen meno se refere o termo cocooning ? b) A que se deve esse fen meno, segundo o autor do texto? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 21 22. This playful satire is the third novel by Brazilian singer and composer Buarque. The plot revolves around Jose Costa, a Brazilian writer who ends up in Budapest, where he becomes absorbed by the Hungarian language. As he scans a Hungarian grammar book, he meets a woman named Krista, who offers to teach him the language and later becomes his lover. Although its plot is fanciful, Buarque s novel raises serious questions about recreating one's life in a foreign language as exotic as Hungarian, said to be the only one on earth respected by the devil. Recommended for readers of imaginative fiction and the linguistically curious -- Jack Shreve. (Adaptado de http://www.hclib.org/pub/bookspace/discuss/?bib=1055640&Tab=Reviews. Acessado em 12/09/2009.) a) Para o autor da resenha acima, o romance Budapeste, apesar de ser uma s tira divertida, levanta quest es s rias. Sobre o que seriam essas quest es? b) Como a l ngua h ngara qualificada por Jack Shreve e o que, segundo esse autor, costumam dizer sobre essa l ngua? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 22 23. Stefan Zweig was a celebrated European intellectual and writer. Because he was Jewish, in 1934 he was forced by the Nazis to flee his country of birth, Austria, and became stateless. He wrote about being stateless in his autobiography The World of Yesterday: The fall of Austria brought with it a change in my personal life: my Austrian passport became void and I had to request an emergency white paper from the English authorities, a passport for the stateless... Every foreign visa on this travel paper had, after that, to be specially pleaded for, because all countries were suspicious of the 'sort' of people of whom I had suddenly become one: a man without a country. Since the day when I had to depend upon identity papers or passports that were indeed alien, I ceased to feel as if I quite belonged to myself. (Adaptado de C. Pouilly, Stateless Achievers, em Refugees Magazine, 147, n. 3, 2007, p. 19.) a) O que o escritor Stefan Zweig teve que fazer em 1934? Por qu ? b) Que tipo de passaporte Zweig teve que obter depois de 1934? Esse novo passaporte o fez se sentir como? Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 23 24. THE SLOW FOOD REVOLT The slow food movement is a revolt against the fast pace forced on us by industrial civilization, specifically fast-food culture. This frenetic pace results from the notion that productivity outweighs all else. To counteract the ill effects of frenzied living, the movement proposes replacing industrial agriculture with organic agriculture, nurturing more discriminating palates and promoting fair financial reward for conscientious food producers. (Adaptado de https://www.adbusters.org/magazine/slow-food-revolt.html. Acessado em 16/07/2009.) a) Que tipo de vida o movimento tratado no texto tenta combater? Que id ia, segundo o texto, orienta esse tipo de vida? b) Indique duas propostas concretas do movimento descrito no texto para melhorar a qualidade de vida das pessoas. Resolu o (ser considerado apenas o que estiver dentro deste espa o). RASCUNHO 24 N o destacar esta folha RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 1 a) Para produzir 7 kg de bolo do tipo A preciso ter 7x0,4 = 2,8 kg de a car e 7x0,2 = 1,4 kg de farinha. J os 18 kg de bolo do tipo B exigem 18x0,2 = 3,6 kg de a car e 18x0,3 = 5,4 kg de farinha. Assim, s o consumidos 2,8 + 3,6 = 6,4 kg de a car e 1,4 + 5,4 = 6,8 kg de farinha. Como a confeitaria s disp e de 6 kg de farinha e precisaria de 6,8 kg, n o poss vel produzir a quantidade desejada dos bolos. Resposta: A confeitaria n o capaz de produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B. b) Digamos que a vari vel x represente a quantidade (em kg) produzida do bolo A e y represente a quantidade (tamb m em kg) produzida do bolo B. Supondo que a confeitaria gastar todo o a car e toda a farinha dispon veis, o consumo de a car com a produ o dos dois tipos de bolo dado pela equa o 0,4x + 0,2y = 10, e o consumo de farinha dado por 0,2x + 0,3y = 6. Resolvendo o sistema linear formado por essas duas equa es, obtemos x = 22,5 kg e y = 5 kg. Resposta: Devem ser produzidos 22,5 kg de bolo do tipo A e 5 kg de bolo do tipo B. Quest o 2 a) O volume do anel dado por Va = Ve 2Vcal Vcil , em que o volume da esfera Ve = 4 R3/3, o volume do cilindro Vcil = r2(2R 2h) e o volume da calota, Vcal , dado no enunciado da quest o. Da figura Vcil ao 2 lado, (3R / 4 ) (2R conclu mos 2R / 2) 4 R3 3 5 R3 12 r2 R2 (R / 2) 2 3R 2 / 4 . Assim, 3 3 R /4. (R / 2) 2 3R 3 J a calota tem volume Vcal Logo, Va que 3 R3 4 2 R3 12 R 2 5 R3 . 24 R3 . 6 Resposta: O anel tem volume igual a R3/6. b) A rea da superf cie do anel dada por Aa = Ae 2Acal + Acil, em que Ae = 4 R2, Acil = 2 r(2R 2h) e Acal dada no enunciado da quest o. Como r Al m disso, Acal = R2. Logo, A a R 3 / 2 e h = R/2, temos A cil 4 R2 2 R2 R2 3 Resposta: A rea da superf cie do anel igual a (2 Respostas Esperadas 2 Fase (2 R2 3 . 3) R2 . 3) R2 . RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 3 a) Suponhamos que o centro da base do retalho semicircular esteja sobre a origem dos eixos coordenados, como mostra a figura ao lado. Nesse caso, o retalho conter a tira de couro se as coordenadas do ponto extremo superior direito do ret ngulo satisfizerem a desigualdade x2 + y2 62. Fazendo o centro da base do ret ngulo tamb m coincidir com a origem, obtemos x = 10/2 = 5 e y = 2,5. Logo, x2 + y2 = 25 + 6,25 = 31,25 36. Deste modo, a tira cabe no retalho. Resposta: O retalho semicircular pode ser usado para a obten o da tira. a ) Suponhamos que o centro da base do retalho semicircular esteja sobre a origem dos eixos coordenados, como mostra a figura ao lado. Como a metade da base do retalho mede 5 cm, a altura m xima do retalho, que denominamos y, dada pela equa o 52 + y2 = 62. Assim, y 36 25 11 . Como 11 9 3 2,5 , a tira cabe no retalho. Resposta: O retalho semicircular pode ser usado para a obten o da tira. b) Dada a simetria do tri ngulo is sceles e do ret ngulo, trabalharemos apenas com a metade direita do retalho e da tira de couro, como mostra a figura ao lado. Vejamos, ent o, qual a altura do maior ret ngulo de base 10/2 = 5 que pode ser inscrito no tri ngulo ret ngulo de catetos 8 e 6. 6x x Usando a regra de tr s , obtemos 5x = 3(6 x), ou 8x = 18, ou ainda x = 5 3 18/8 = 2,25 cm. Como esse valor menor que 2,5 cm, a tira de couro n o cabe no retalho triangular. Resposta: O retalho triangular n o pode ser usado para a obten o da tira. b ) Dada a simetria do tri ngulo is sceles e do ret ngulo, trabalharemos apenas com a metade direita do retalho e da tira de couro, como mostra a figura ao lado. Vejamos, ent o, qual a largura do maior ret ngulo de altura 2,5 que pode ser inscrito no tri ngulo ret ngulo de catetos 8 e 6. 6 2,5 Usando a regra de tr s , obtemos 6.8 6x = 2,5.8, ou 6x = 28, donde x = 8 8x 28/6 = 14/3 cm. Como esse valor menor que 5 cm, a tira de couro n o cabe no retalho triangular. Resposta: O retalho triangular n o pode ser usado para a obten o da tira. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 4 a) Se cada pedalada desloca a bicicleta em 3,15 m, as 100 pedaladas fazem-na percorrer 315 m. Essa dist ncia corresponde ao comprimento da hipotenusa do tri ngulo ret ngulo que representa a rampa. A altura h desse tri ngulo dada por 315sen( ). Como cos( ) sen( ) 1 0,99 0,99 e sen 2 ( ) cos 2 ( ) 1 , temos sen 2 ( ) 0,99 1 , ou 0,1 . Logo, h = 315x0,1 = 31,5 m. 0,01 Resposta: As 100 pedaladas far o Laura subir 31,5 m. a ) Se cada pedalada desloca a bicicleta em 3,15 m, as 100 pedaladas fazem-na percorrer 315 m. Essa dist ncia corresponde ao comprimento da hipotenusa do tri ngulo ret ngulo que representa a rampa. A base desse tri ngulo dada por (315 0,99 ) 2 h2 315 cos( ) 315 0,99 . Usando, ent o, o teorema de Pit goras, obtemos 315 2 . Logo, h = 315 (1 0,99) = 315 0,01, de modo que h = 315 0,1 = 31,5 m. 2 2 2 Resposta: As 100 pedaladas far o Laura subir 31,5 m. b) A soma dos ngulos internos de um tri ngulo 180 . Assim, o terceiro ngulo do tri ngulo direito do quadro da bicicleta mede 180 24 77 = 79 . Somando esse valor ao ngulo de 26 , conclu mos que o ngulo superior do tri ngulo esquerdo do quadro da bicicleta igual a 180 26 79 = 75 . Assim, o outro ngulo desse tri ngulo mede 180 75 30 = 75 , de modo que o tri ngulo is sceles. Nesse caso, o comprimento b dado por a/[2.sen(15 )]. Como sen(15 ) b sen( 45 22 26 30 ) 44 2 /4 6 2 sen( 45 ) cos(30 ) 2 2 sen(30 ) cos( 45 ) 3 2 1 2 2 2 6 6 2 2 cm. 4 , temos cm. Resposta: A barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais mede 44 b ) A soma dos ngulos internos de um tri ngulo 180 . Assim, o terceiro ngulo do tri ngulo direito do quadro da bicicleta mede 180 24 77 = 79 . Somando esse valor ao ngulo de 26 , conclu mos que o ngulo superior do tri ngulo esquerdo do quadro da bicicleta igual a 180 26 79 = 75 . Assim, o outro ngulo desse tri ngulo mede 180 75 30 = 75 , de modo que o tri ngulo is sceles. Aplicando a lei dos senos a esse tri ngulo, sen(30 ) sen(75 ) . Assim, o comprimento b dado por a.sen(75 )/sen(30 ). Como obtemos a b sen(75 ) b sen( 45 22 6 2 /4 (1 / 2) 30 ) sen( 45 ) cos(30 ) 11 6 sen(30 ) cos( 45 ) 2 2 3 2 1 2 6 2 4 2 cm. Resposta: A barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais mede 11 6 Respostas Esperadas 2 Fase 2 2 2 cm. , chegamos a RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA b ) A soma dos ngulos internos de um tri ngulo 180 . Assim, o terceiro ngulo do tri ngulo direito do quadro da bicicleta mede 180 24 77 = 79 . Somando esse valor ao ngulo de 26 , conclu mos que o ngulo superior do tri ngulo esquerdo do quadro da bicicleta igual a 180 26 79 = 75 . Assim, o outro ngulo desse tri ngulo mede 180 75 30 = 75 , de modo que o tri ngulo is sceles. Usando a lei dos cossenos, escrevemos a 2 b a 2 3 22 2 b2 b2 2b 2 2.b.b. cos(30 ) 2b 2 3 / 2 (2 3 )b 2 . Assim, 3 cm. Resposta: A barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais mede 22 3 cm. 2 Quest o 5 a) 1 1 200 / 1,01 , que corresponde, 100 aproximadamente, a R$ 198,02. Somando esse valor primeira parcela, obtemos 200,00 + 198,02 = R$398,02, que o valor presente da mercadoria. O valor presente da segunda parcela dado por Vp 200 1 Resposta: O valor presente da mercadoria R$ 398,02. b) 1 Se n o h entrada, o valor presente da primeira mercadoria Vp da Vp segunda 1 Vp 2 Vp mercadoria p / 1,01 p / 1,012 2 Vp p 1 1 100 p 1 1 100 1 p / 1,01 . J o valor presente 2 p / 1,012 . Somando esses dois termos, (2,01 / 1,012 )p , que equivale a, aproximadamente, 1,97p. Considerando que a mercadoria custa 2p, deve-se dar um desconto de, ao menos, (2 1,97)/2 = 0,015, ou 1,5%. Resposta: O desconto n o deve ser inferior a 1,5%. Respostas Esperadas 2 Fase obtemos RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 6 a) O n mero total de cupons igual a 78000 + 70000 + 2x52000 + 3x36000 = 360000. Desses, 3x36000 = 108000 foram dados a propriet rios de aparelhos com pre o maior que R$ 300,00. Logo, a probabilidade pedida igual a 3x36/360 = 0,3. Resposta: Foram distribu dos 360000 cupons. A probabilidade de que o pr mio seja entregue a uma pessoa que comprou um aparelho com custo superior a R$ 300,00 igual a 0.3, ou 30%. b) A receita bruta da empresa dada por r(p) = p x n(p) = p(115 0,25p). Essa fun o tem como ra zes p = 0 e p = 115/0,25 = 460. Como o coeficiente que multiplica o termo quadr tico de r(p) negativo, essa fun o assume seu valor m ximo em p = (0 + 460)/2 = 230. Resposta: O valor de p que maximiza a receita bruta R$ 230,00. b ) A receita bruta da empresa dada por r(p) = p x n(p) = 115p 0,25p2. Como o coeficiente que multiplica o termo quadr tico dessa fun o negativo, o valor m ximo ocorre em p = b/2a = 115/[2 ( 0,25)] = 230. Resposta: O valor de p que maximiza a receita bruta R$ 230,00. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 7 a) Aplicando o logaritmo na base 2 aos dois lados da equa o y = f(x), obtemos log2(y) = log2(8) log2(42x), ou simplesmente log2(y) = 3 4x. O gr fico desejado mostrado ao lado. Resposta: A curva desejada representada no gr fico ao lado. b) O sistema fornecido equivalente a 8 / 4 2z 8 /( 4 2y 4 z ) 4y 1. Aplicando o logaritmo na base 2 aos dois lados das duas equa es acima, obtemos log 2 (8) log 2 ( 4 2z ) log 2 ( 4 y ) log 2 (8) log 2 ( 4 2y ) log 2 ( 4 z ) log 2 (1), ou seja, 3 4z 3 4y 2y 0. 2z Esse sistema equivale a 2y 4y 4z 2z 3 3, cuja solu o dada por y = 1/2 e z = 1/2. Resposta: y = 1/2 e z = 1/2. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 8 a) A rea do quadril tero a soma das reas do tri ngulo equil tero BCD e do tri ngulo ret ngulo ABD. O 50 2 tri ngulo BCD tem base igual a 50 cm e altura h A BCD 50 25 3 / 2 rea A ABD 25 2 25 3 cm, de modo que sua rea 625 3 cm2. J o tri ngulo ABD tem 50 cm de base e 25 cm de altura, de modo que sua 50 25 / 2 625 cm2. Logo, A ABCD 625 3 625 Resposta: O quadril tero de papel tem rea igual a 625(1 625(1 2 3 ) cm . 2 3 ) cm . a ) Opcionalmente, podemos definir hBCD 50 cos(30 ) 50 3/2 25 3 cm, o que nos leva ao mesmo resultado apresentado acima. Resposta: O quadril tero de papel tem rea igual a 625(1 3 ) cm2. b) Como o arco de circunfer ncia que define a vareta curva de bambu tangencia as arestas AB e AD, o segmento OD que liga o centro da circunfer ncia ao ponto D faz um ngulo de 90 com a aresta AD. Da mesma forma, os segmentos OB e AB s o perpendiculares. Assim, como o ngulo D B reto, o arco corresponde a 1/4 da circunfer ncia. Uma vez que o segmento BD tem 50 cm, o comprimento do raio da circunfer ncia 2 r/4 25 r 25 2 25 2 25 2 cm. Assim, a vareta mede 2 / 2 cm. Resposta: A vareta de bambu que liga os pontos B e D mede 25 2 / 2 cm. b ) Opcionalmente, podemos definir r apresentado acima. Respostas Esperadas 2 Fase (50 / 2) / sen( 45 ) 25 /( 2 / 2) 25 2 cm, obtendo o mesmo resultado RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 9 a) O determinante de A a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 a13a23a31 a12a21a33 a23a32a11. Como A tem apenas tr s elementos diferentes de zero, para que det(A) 0, preciso que um desses produtos seja n o nulo. Temos, portanto, 6 possibilidades de obter uma matriz como a desejada. Por outro lado, o n mero total de matrizes com seis elementos nulos e tr s diferentes de zero dado por 9! 9. 8 . 7 C9,3 84 . Logo, a probabilidade de que det(A) 0 igual a 6/84 = 1/14. 3!6! 3.2.1 Resposta: A probabilidade de que o determinante n o seja nulo igual a 1/14. b) 100 Nesse caso, a matriz A 2 1 0 . A inversa dessa matriz pode ser obtida aplicando-se opera es elementares 321 sobre suas linhas, como se mostra abaixo. 100100 2 210010 321001 2 3 3 1 Resposta: A 1 0 0 2 1 1 0. 21 Respostas Esperadas 2 Fase 2 3 1 1 100 010 021 1 00 210 301 100 3 3 2 2 1 0 010 001 2 1 1 0. 21 0 RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 10 a) O gr fico ao lado mostra a fun o no intervalo [ 10, 10]. Como a fun o tem per odo 10, temos f(99) = f(9). Al m disso, como f(7,5) = -5 e f(10) = 0, e a fun o linear no intervalo [7,5; 10], temos tamb m f(9) f(7,5) 9 7,5 f(10) f(7,5) . 10 7,5 Logo, f(9) 5 [0 ( 5)]x1,5 2,5 53 2. Resposta: O gr fico da fun o mostrado ao lado. Al m disso, f(99) = 2. b) Como f(2,5) = 5 e f(5) = 0, temos f(x) = 10 2x no intervalo [2,5; 5]. Assim, f(3) = 4 e g(f(3)) = g(4) = 42 4.4 = 0. Nesse mesmo intervalo, a composi o das fun es fornece h(x) = (10 2x)2 4(10 2x) = 4x2 32x + 60. Resposta: Como f(3) = 4, temos h(3) = 0. De forma geral, h(x) = 4x2 32x + 60 no intervalo [2,5; 5]. Quest o 11 a) Uma vez que as retas s o perpendiculares, o coeficiente angular da reta que passa por B e C 1/a. Como essa reta passa pelo ponto (2, 0), temos 0 = ( 1/a).2 + b, de modo que b = 2/a, e a reta y = x/a + 2/a. Logo, C = (0, 2/a). Resposta: O ponto C tem coordenadas (0, 2/a). b) Se a = 3, o ponto A a interse o das retas y = 3x e y = x/3 + 2/3. Logo, 3x = x/3 + 2/3, ou seja, x = 1/5. Assim, y = 3/5. A circunfer ncia de centro em A e tangente ao eixo x dada por (x 1/5)2 + (y 3/5)2 = 9/25. Resposta: O ponto A tem coordenadas (1/5, 3/5). Logo, a circunfer ncia de centro em A e tangente ao eixo x dada por (x 1/5)2 + (y 3/5)2 = 9/25. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS MATEM TICA Quest o 12 a) O n mero de membros novos, an, que o site A admitir na semana n o n- simo termo de uma progress o geom trica com raz o r = 2 e primeiro termo a1 = 100. Assim, an = 100.2n 1. Como n = 6, temos a6 = 100.25 = 3200. J o n mero de membros que o site A ter em seis semanas igual soma do n mero atual de associados com o somat rio dos seis primeiros termos da progress o geom trica, S6. Como S n temos S 6 100 1 26 12 100 63 a1 1 rn , 1r 6300 . Logo, o site ter TA = 6300 + 150 = 6450 membros. Resposta: Daqui a seis semanas, o site A admitir 3200 novos membros, atingindo a marca de 6450 participantes. b) O n mero de membros que ser o admitidos no site B daqui a n semanas dado pela progress o aritm tica com termo geral an = a1 + (n 1).r, em que r = 100 e a1 = 100. Logo, an = 100n. O n mero total de associados desse n site ap s n semanas dado por TB = 2200 + Sn, em que S n (a1 an ) a soma dos termos da progress o 2 aritm tica. Assim, TB = 2200 + n(100 +100n)/2 = 2200 + 50n + 50n2. O site ter 10000 membros quando TB = 2200 + 50n + 50n2 = 10000, ou 50n2 + 50n 7800 = 0, ou ainda, n2 + n 156 = 0. Usando a f rmula de 12 4 156 2 raiz negativa, conclu mos que n = 12. Bh skara, obtemos n 1 1 625 2 Resposta: O site B ter 10000 membros em 12 semanas. Respostas Esperadas 2 Fase 1 25 . Logo, n = 12 ou n = 13. Desprezando a 2 RESPOSTAS ESPERADAS INGL S Quest o 13 a) Trata-se de uma carteira de motorista. Os olhos da pretensa portadora seriam castanhos. b) Ela teria nascido do m s de junho. A sequ ncia num rica indicada se refere data de expedi o do documento. Quest o 14 a) inevit vel que um rapaz e uma garota que sejam amigos terminem por se apaixonar. b) Essa situa o pode acontecer no momento errado ou tarde demais. Quest o 15 a) Milton est cansado de aprimorar Joe, seu computador, para que este resolva os problemas do mundo. b) Milton n o se casou porque nunca encontrou a mulher certa. Milton quer que Joe o ajude a encontrar um amor verdadeiro. Quest o 16 a) O fato ocorrido foi que uma garota engravidou aos 19 anos. A expectativa era que essa gravidez iria arruinar a sua vida. b) A expectativa n o se concretizou porque a crian a que nasceu salvou a vida da jovem, em vez de arruin -la. Quest o 17 a) A campanha pretende incentivar as pessoas a lavarem as m os com sab o antes de comer e depois de usar o banheiro. b) Esse h bito pode reduzir o n mero de mortes por diarreia em quase metade e o n mero de infec es respirat rias agudas em cerca de um quarto. Quest o 18 a) O resultado da pesquisa sugere que muitas pessoas ir o piratear programas de computadores, independentemente do seu pre o. b) Como as empresas que produzem software t m muito lucro, as pessoas acham que uma nica c pia n o autorizada de software n o prejudica essas empresas. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS INGL S Quest o 19 a) O candidato deve mencionar dois dos itens abaixo como problemas do mundo real apontados pelos personagens: o alto custo da moradia; o alto custo da assist ncia m dica; a diminui o das aposentadorias / pens es. b) O personagem fica muito tentado a continuar na escola para n o ter que enfrentar os problemas da vida real. Quest o 20 a) As porcentagens indicadas se referem ao n mero de militares em atividade no ano de 1998. b) Segundo o texto, mais f cil para o olho avaliar as diferen as de comprimento entre barras do que as diferen as de tamanho entre setores. Quest o 21 a) O termo se refere ao fato de que as pessoas ir o preferir ficar na seguran a e no conforto de suas casas, em comunidades fechadas. b) Esse fen meno se deve, parcialmente, constante circula o de imagens assustadoras nos meios de comunica o de massa. Quest o 22 a) O romance levanta quest es s rias sobre a reconstru o da vida de uma pessoa em uma l ngua estrangeira. b) A l ngua h ngara considerada ex tica. Costuma-se dizer que ela a nica l ngua do mundo respeitada pelo diabo. Quest o 23 a) O escritor foi for ado pelos nazistas a deixar seu pa s de nascimento, a ustria, porque era judeu. b) Zweig teve que obter um passaporte especial para ap tridas. Esse novo passaporte o fez se sentir como se tivesse deixado de pertencer a si pr prio. Respostas Esperadas 2 Fase RESPOSTAS ESPERADAS INGL S Quest o 24 a) O movimento tenta combater o ritmo de vida fren tico imposto pela sociedade industrial, especialmente no que se refere cultura do fast-food. A ideia que orienta esse tipo de vida que a produtividade tem mais peso do que tudo. b) O candidato dever indicar dois dentre os itens abaixo: substituir a agricultura industrial pela agricultura org nica; cultivar paladares mais seletivos; promover recompensas financeiras justas para produtores de alimento conscienciosos. Respostas Esperadas 2 Fase

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