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Enade Exame de 2008 - PROVAS - GRADUAÇÃO - Matemática

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FORMA O GERAL QUEST O 1 O escritor Machado de Assis (1839-1908), cujo centen rio de morte est sendo celebrado no presente ano, retratou na sua obra de fic o as grandes transforma es pol ticas que aconteceram no Brasil nas ltimas d cadas do s culo XIX. O fragmento do romance Esa e Jac , a seguir transcrito, reflete o clima pol tico-social vivido naquela poca. Podia ter sido mais turbulento. Conspira o houve, decerto, mas uma barricada n o faria mal. Seja como for, venceu-se a campanha. (...) Deodoro uma bela figura. (...) Enquanto a cabe a de Paulo ia formulando essas id ias, a de Pedro ia pensando o contr rio; chamava o movimento um crime. Um crime e um disparate, al m de ingratid o; o imperador devia ter pegado os principais cabe as e mand -los executar. ASSIS, Machado de. Esa e Jac . In : Obra completa. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1979. v. 1, cap. LXVII (Fragmento). Os personagens a seguir est o presentes no imagin rio brasileiro, como s mbolos da P tria. I II Dispon vel em: www.morcegolivre.vet.br ERMAKOFF, George. Rio de Janeiro, 1840-1900: Uma cr nica fotogr fica. Rio de Janeiro: G. Ermakoff Casa Editorial, 2006, p. 189. III ERMAKOFF, George. Rio de Janeiro, 1840-1900: Uma cr nica fotogr fica. Rio de Janeiro: G. Ermakoff Casa Editorial, 2006, p. 38. IV V LAGO, Pedro Corr a do; BANDEIRA, J lio. Debret e o Brasil: Obra completa 1816-1831. Rio de Janeiro: Capivara, 2007, p. 78. LAGO, Pedro Corr a do; BANDEIRA, J lio. Debret e o Brasil: Obra completa 1816-1831. Rio de Janeiro: Capivara, 2007, p. 93. Das imagens acima, as figuras referidas no fragmento do romance Esa e Jac s o A I e III. B I e V. C II e III. D II e IV. 1 MATEM TICA E II e V. QUEST O 2 Quando o homem n o trata bem a natureza, a natureza n o trata bem o homem. QUEST O 4 CIDAD S DE SEGUNDA CLASSE? Essa afirmativa reitera a necess ria intera o das diferentes esp cies, representadas na imagem a seguir. As melhores leis a favor das mulheres de cada pa s-membro da Uni o Europ ia est o sendo reunidas por especialistas. O objetivo compor uma legisla o continental capaz de contemplar temas que v o da contracep o eq idade salarial, da prostitui o aposentadoria. Contudo, uma legisla o que assegure a inclus o social das cidad s deve contemplar outros temas, al m dos citados. S o dois os temas mais espec ficos para essa legisla o: A B C D E aborto e viol ncia dom stica. cotas raciais e ass dio moral. educa o moral e trabalho. estupro e imigra o clandestina. liberdade de express o e div rcio. QUEST O 5 A foto a seguir, da americana Margaret Bourke-White (1904-71), apresenta desempregados na fila de alimentos durante a Grande Depress o, que se iniciou em 1929. Dispon vel em http://curiosidades.spaceblog.com.br. Acesso em 10 out. 2008. Depreende-se dessa imagem a A atua o do homem na clonagem de animais pr -hist ricos. B exclus o do homem na amea a efetiva sobreviv ncia do planeta. C inger ncia do homem na reprodu o de esp cies em cativeiro. D muta o das esp cies pela a o predat ria do homem. E responsabilidade do homem na manuten o da biodiversidade. QUEST O 3 A exposi o aos raios ultravioleta tipo B (UVB) causa queimaduras na pele, que podem ocasionar les es graves ao longo do tempo. Por essa raz o, recomenda-se a utiliza o de filtros solares, que deixam passar apenas certa fra o desses raios, indicada pelo Fator de Prote o Solar (FPS). Por exemplo, um protetor com FPS igual a 10 deixa passar apenas 1/10 (ou seja, ret m 90%) dos raios UVB. Um protetor que retenha 95% dos raios UVB possui um FPS igual a A B C D E STRICKLAND, Carol; BOSWELL, John. Arte Comentada: da pr hist ria ao p s-moderno. Rio de Janeiro: Ediouro [s.d.]. Al m da preocupa o com a perfeita composi o, a artista, nessa foto, revela A B C D E 95. 90. 50. 20. 5. 2 MATEM TICA a capacidade de organiza o do operariado. a esperan a de um futuro melhor para negros. a possibilidade de ascens o social universal. as contradi es da sociedade capitalista. o consumismo de determinadas classes sociais. QUEST O 6 CENTROS URBANOS MEMBROS DO GRUPO ENERGIA-CIDADES LE MONDE Diplomatique Brasil. Atlas do Meio Ambiente, 2008, p. 82. No mapa, registra-se uma pr tica exemplar para que as cidades se tornem sustent veis de fato, favorecendo as trocas horizontais, ou seja, associando e conectando territ rios entre si, evitando desperd cios no uso de energia. Essa pr tica exemplar ap ia-se, fundamentalmente, na A B C D E centraliza o de decis es pol ticas. atua o estrat gica em rede. fragmenta o de iniciativas institucionais. hierarquiza o de autonomias locais. unifica o regional de impostos. QUEST O 7 Apesar do progresso verificado nos ltimos anos, o Brasil continua sendo um pa s em que h uma grande desigualdade de renda entre os cidad os. Uma forma de se constatar este fato por meio da Curva de Lorenz, que fornece, para cada valor de x entre 0 e 100, o percentual da renda total do Pa s auferido pelos x% de brasileiros de menor renda. Por exemplo, na Curva de Lorenz para 2004, apresentada ao lado, constata-se que a renda total dos 60% de menor renda representou apenas 20% da renda total. De acordo com o mesmo gr fico, o percentual da renda total correspondente aos 20% de maior renda foi, aproximadamente, igual a Dispon vel em http://www.ipea.gov.br A B C D E 20%. 40%. 50%. 60%. 80%. 3 MATEM TICA QUEST O 8 O fil sofo alem o Friedrich Nietzsche (1844-1900), talvez o pensador moderno mais inc modo e provocativo, influenciou v rias gera es e movimentos art sticos. O Expressionismo, que teve forte influ ncia desse fil sofo, contribuiu para o pensamento contr rio ao racionalismo moderno e ao trabalho mec nico, atrav s do embate entre a raz o e a fantasia. As obras desse movimento deixam de priorizar o padr o de beleza tradicional para enfocar a instabilidade da vida, marcada por ang stia, dor, inadequa o do artista diante da realidade. Das obras a seguir, a que reflete esse enfoque art stico A B Homem idoso na poltrona Rembrandt van Rijn Louvre, Paris. Dispon vel em: http://www.allposters.com C Figura e borboleta Milton Dacosta Dispon vel em: http://www.unesp.br D E Menino mordido por um lagarto Michelangelo Merisi (Caravaggio) National Gallery, Londres Dispon vel em: http://vr.theatre.ntu.edu.tw Abaporu Tarsila do Amaral Dispon vel em: http://tarsiladoamaral.com.br 4 MATEM TICA O grito Edvard Munch Museu Munch, Oslo Dispon vel em: http://members.cox.net QUEST O 9 DISCURSIVA DIREITOS HUMANOS EM QUEST O O car ter universalizante dos direitos do homem (...) n o da ordem do saber te rico, mas do operat rio ou pr tico: eles s o invocados para agir, desde o princ pio, em qualquer situa o dada. Fran ois JULIEN, fil sofo e soci logo. Neste ano, em que s o comemorados os 60 anos da Declara o Universal dos Direitos Humanos, novas perspectivas e concep es incorporam-se agenda p blica brasileira. Uma das novas perspectivas em foco a vis o mais integrada dos direitos econ micos, sociais, civis, pol ticos e, mais recentemente, ambientais, ou seja, trata-se da integralidade ou indivisibilidade dos direitos humanos. Dentre as novas concep es de direitos, destacam-se: < a habita o como moradia digna e n o apenas como necessidade de abrigo e prote o; < a seguran a como bem-estar e n o apenas como necessidade de vigil ncia e puni o; < o trabalho como a o para a vida e n o apenas como necessidade de emprego e renda. Tendo em vista o exposto acima, selecione uma das concep es destacadas e esclare a por que ela representa um avan o para o exerc cio pleno da cidadania, na perspectiva da integralidade dos direitos humanos. Seu texto deve ter entre 8 e 10 linhas. (valor: 10,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 9 LE MONDE Diplomatique Brasil. Ano 2, n. 7, fev. 2008, p. 31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 MATEM TICA QUEST O 10 DISCURSIVA Alunos d o nota 7,1 para ensino m dio Apesar das v rias avalia es que mostram que o ensino m dio est muito aqu m do desejado, os alunos, ao analisarem a forma o que receberam, t m outro diagn stico. No question rio socioecon mico que responderam no Enem (Exame Nacional do Ensino M dio) do ano passado, eles deram para seus col gios nota m dia 7,1. Essa boa avalia o varia pouco conforme o desempenho do aluno. Entre os que foram mal no exame, a m dia de 7,2; entre aqueles que foram bem, ela fica em 7,1. GOIS, Antonio. Folha de S.Paulo, 11 jun. 2008 (Fragmento). Entre os piores tamb m em matem tica e leitura O Brasil teve o quarto pior desempenho, entre 57 pa ses e territ rios, no maior teste mundial de matem tica, o Programa Internacional de Avalia o de Alunos (Pisa) de 2006. Os estudantes brasileiros de escolas p blicas e particulares ficaram na 54.a posi o, frente apenas de Tun sia, Qatar e Quirguist o. Na prova de leitura, que mede a compreens o de textos, o pa s foi o oitavo pior, entre 56 na es. Os resultados completos do Pisa 2006, que avalia jovens de 15 anos, foram anunciados ontem pela Organiza o para a Coopera o e o Desenvolvimento (OCDE), entidade que re ne pa ses adeptos da economia de mercado, a maioria do mundo desenvolvido. Revista Veja, 20 ago. 2008, p. 72-3. WEBER, Dem trio. Jornal O Globo, 5 dez. 2007, p. 14 (Fragmento). Ensino fundamental atinge meta de 2009 O aumento das m dias dos alunos, especialmente em matem tica, e a diminui o da reprova o fizeram com que, de 2005 para 2007, o pa s melhorasse os indicadores de qualidade da educa o. O avan o foi mais vis vel no ensino fundamental. No ensino m dio, praticamente n o houve melhoria. Numa escala de zero a dez, o ensino fundamental em seus anos iniciais (da primeira quarta s rie) teve nota 4,2 em 2007. Em 2005, a nota fora 3,8. Nos anos finais (quinta a oitava), a alta foi de 3,5 para 3,8. No ensino m dio, de 3,4 para 3,5. Embora tenha comemorado o aumento da nota, ela ainda foi considerada pior do que regular pelo ministro da Educa o, Fernando Haddad. GOIS, Antonio; PINHO, Angela. Folha de S.Paulo, 12 jun. 2008 (Fragmento). A partir da leitura dos fragmentos motivadores reproduzidos, redija um texto dissertativo (fundamentado em pelo menos dois argumentos), sobre o seguinte tema: A contradi o entre os resultados de avalia es oficiais e a opini o emitida pelos professores, pais e alunos sobre a educa o brasileira. No desenvolvimento do tema proposto, utilize os conhecimentos adquiridos ao longo de sua forma o. Observa es Seu texto deve ser de cunho dissertativo-argumentativo (n o deve, portanto, ser escrito em forma de poema, de narra o etc.). Seu ponto de vista deve estar apoiado em pelo menos dois argumentos. O texto deve ter entre 8 e 10 linhas. O texto deve ser redigido na modalidade padr o da l ngua portuguesa. Seu texto n o deve conter fragmentos dos textos motivadores. (valor: 10,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 MATEM TICA COMPONENTE ESPEC FICO QUEST O 11 QUEST O 14 Em um jogo de futebol, um jogador ir bater uma falta diretamente para o gol. A falta batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajet ria da bola seja uma par bola, com ponto de m ximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do ch o, como ilustra a figura abaixo. Assinale a op o que cont m o sistema de inequa es que determina a regi o triangular PQR desenhada abaixo. y y 2 Q gol barreira R par bola 3 8 posi o da falta P O 12 R 1 x Sabendo-se que o gol est a 8 metros da barreira, a que altura est a bola ao atingir o gol? PO A B A C D B E C QUEST O 12 No plano cartesiano xOy, as equa es x2 + y2 + y = 0 e x2 ! y ! 1 = 0 representam uma circunfer ncia e uma par bola P, respectivamente. Nesse caso, D A a reta de equa o y = !1 tangente s curvas e P. B as curvas e P t m mais de um ponto em comum. C existe uma reta que passa pelo centro de e que n o intercepta a par bola P. D o raio da circunfer ncia igual a 1. E a par bola P tem concavidade voltada para baixo. E RASCUNHO QUEST O 13 H 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados? A B C D E 7 MATEM TICA Q 1 2 x QUEST O 15 Uma professora do ensino fundamental resolveu utilizar, em suas aulas, a constru o de um avi o de papel para explorar alguns conceitos e propriedades da geometria plana. Utilizando uma folha de papel retangular, os estudantes deveriam come ar fazendo as dobras na folha ao longo dos segmentos de reta indicados na figura ao lado. R MS A P B U Q QUEST O 18 No anel dos inteiros m dulo 12, R = Z /12Z , Z Z A B C T C D As seguintes condi es, segundo instru es da professora, devem ser satisfeitas: < a reta determinada por M e U a mediatriz do segmento AB; < AC, BD e AB s o segmentos congruentes; < PT e TQ s o segmentos congruentes; < PD e BD s o segmentos congruentes. D E n o h divisores de zero. todo elemento n o-nulo invers vel. o subconjunto dos elementos invers veis forma um subanel de R. a multiplica o n o comutativa. h exatamente 4 elementos invers veis. QUEST O 19 Considere g : 6 uma fun o com derivada cont nua e f a fun o definida por A partir da an lise da figura, um estudante afirmou o seguinte: para O tri ngulo PQD obtus ngulo todo x , . porque o tri ngulo PQT equil tero. Nessas condi es, avalie as afirma es que se seguem. Com rela o ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a op o correta. A As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira. B As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda n o uma justificativa correta da primeira. C A primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D A primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E Ambas as asser es s o proposi es falsas. QUEST O 16 Em qual intervalo essa fun o crescente? t 0 t > 10 t>1 0 t<1 QUEST O 17 No plano complexo, a rea do tri ngulo de v rtices A B C D E 8 MATEM TICA A fun o f integr vel em todo intervalo [a, b], a, b 0 , a < b. II A fun o f deriv vel e sua derivada a fun o g. III A fun o diferen a f ! g uma fun o constante. correto o que se afirma em A B C D E I, apenas. II, apenas. I e III, apenas. II e III, apenas. I, II e III. RASCUNHO A concentra o de certo f rmaco no sangue, t horas ap s sua administra o, dada pela f rmula: A B C D E I QUEST O 20 QUEST O 23 Para cada n mero real x, considere o conjunto Cx formado por todos os n meros obtidos somando-se a x um n mero racional, isto , Considere o sistema de equa es a seguir. . Sob essas condi es, conclui-se que Analise as asser es seguintes relativas resolu o desse sistema de equa es lineares. A o n mero B pertence ao conjunto C1 . O sistema n o tem solu o B o conjunto C4 1 C5 possui um nico elemento. porque C o n mero o determinante da matriz dos coeficientes igual a zero. pertence ao conjunto . D os conjuntos C3 e C1/3 s o iguais. E o n mero zero pertence ao conjunto A respeito dessa afirma o, assinale a op o correta. . QUEST O 21 Para que valores de k e m o polin mio P(x) = x3 3x2 + kx + m m ltiplo de Q(x) = x2 4? A k = !4 e m = 12 B k = !3 e m = !4 A As duas asser es s o proposi es verdadeiras e a segunda uma justificativa correta da primeira. B As duas asser es s o proposi es verdadeiras, mas a segunda n o uma justificativa correta da primeira. C A primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D A primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E Ambas as asser es s o proposi es falsas. RASCUNHO C k = !3 e m = !12 D k = !4 e m = !3 E k = !2 e m = 2 QUEST O 22 Uma transforma o linear T: 2 6 2 faz uma reflex o em rela o ao eixo horizontal, conforme mostrado na figura a seguir. y 2 u 2 0 2 6x T (u ) 2 Essa transforma o T A dada por T(x, y) = (!x, y). B tem autovetor (0, !1) com autovalor associado igual a 2. C tem autovetor (2, 0) com autovalor associado igual a 1. D tem autovalor de multiplicidade 2. E n o invers vel. 9 MATEM TICA QUEST O 24 QUEST O 26 Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumera o de todos os n meros racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada n mero inteiro i $ 1, Ii denote o intervalo aberto Analisando a fun o f(x, y) = x2(x ! 1) + y(2x ! y), definida no dom nio D = {(x, y) 0 2; !1 # x # 1, !1 # y # 1}, um estudante de c lculo diferencial escreveu o seguinte: , cujo comprimento li. Qual a soma da s rie A fun o f tem um ponto de m nimo global em D porque ? o ponto (0, 0) um ponto cr tico de f. A respeito da afirma o feita pelo estudante, assinale a op o correta. A B A As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira. B As duas asser es s o proposi es verdadeiras, mas a segunda n o uma justificativa correta da primeira. C A primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D A primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E Ambas as asser es s o proposi es falsas. C D E QUEST O 25 O projeto de constru o de uma pe a de artesanato foi realizado utilizando-se um software geom trico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A figura a seguir mostra o tetraedro RSTU e tr s pontos M, N e P do plano de interse o. R M QUEST O 27 Qual o resto da divis o de 2334 por 23? A B C D E RASCUNHO U N S P T Sabendo que M, N e P s o pontos m dios de SR, SU e ST, respectivamente, e que o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirma es. O volume da pir mide SMNP igual 1 . 2 II A interse o do plano a com o tetraedro um paralelogramo. III As retas que cont m as arestas MP e RU s o reversas. I correto o que se afirma em A B C D E I, apenas. III, apenas. I e II, apenas. II e III, apenas. I, II e III. 10 MATEM TICA 2 4 8 16 20 QUEST O 28 DISCURSIVA Os gr ficos abaixo mostram informa es a respeito da rea plantada e da produtividade das lavouras brasileiras de soja com rela o s safras de 2000 a 2007. 2.700 2.500 2.400 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2000 2001 2007 2.800 2.800 2.500 2.300 2.200 2002 2003 2004 2005 2006 2007 A prote na do campo. In: Veja, 23/7/2008, p. 79 e Minist rio da Agricultura, Pecu ria e Abastecimento (com adapta es). Com base nessas informa es, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. a) Considerando I = rea plantada (em milh es de ha), II = produtividade (em kg/ha) e III = produ o total de soja (em milh es de toneladas), preencha a tabela abaixo. (valor: 5,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 28 ITEM a ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 I II III b) Fa a o esbo o do gr fico de linhas que representa a quantidade de quilogramas de soja produzidos no Brasil, em milh es de toneladas, no per odo de 2000 a 2007. Nomeie as vari veis nos eixos de coordenadas e d um t tulo adequado para seu gr fico. (valor: 5,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 28 ITEM b T tulo: 11 MATEM TICA QUEST O 29 DISCURSIVA Considere a seq ncia num rica definida por , para n = 1, 2, 3, ... Usando o princ pio de indu o finita, mostre que an < a para todo n $ 1 e a $ 2. Para isso, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. (valor: 1,0 ponto) a) Escreva a hip tese e a tese da propriedade a ser demonstrada. Hip tese: Tese: (valor: 2,0 pontos) b) Prove que a(a ! 1) > 0 para a $ 2. c) Mostre que RASCUNHO QUEST O 29 ITEM b (valor: 2,0 pontos) , para todo a $ 2. d) Supondo que an < a, prove que an+1 < RASCUNHO QUEST O 29 ITEM a RASCUNHO QUEST O 29 ITEM c (valor: 2,0 pontos) . RASCUNHO QUEST O 29 ITEM d (valor: 2,0 pontos) e) Mostre que an+1 < a. RASCUNHO QUEST O 29 ITEM e f) A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indu o. RASCUNHO QUEST O 29 ITEM f (valor: 1,0 ponto) 12 MATEM TICA 1 A seguir ser o apresentadas quest es de M ltipla Escolha e Discursivas espec ficas para as modalidades dos cursos de Matem tica, assim distribu das: N mero das quest es M ltipla Escolha Discursiva 30 a 39 40 41 a 50 51 Modalidade Licenciatura Bacharelado 2 Deste conjunto, voc deve responder APENAS s quest es referentes modalidade do curso na qual voc est inscrito, ou seja, voc dever responder somente s quest es de Bacharelado ou somente s quest es de Licenciatura. 3 Observe atentamente os n meros das quest es correspondentes modalidade do curso na qual voc est inscrito para preencher corretamente o Caderno de Respostas. As quest es de 30 a 40, a seguir, s o espec ficas para os estudantes de LICENCIATURA QUEST O 30 QUEST O 31 As potencialidades pedag gicas da hist ria no ensino de matem tica t m sido bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da hist ria no ensino de matem tica, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investiga o. Considerando essa justificativa, um professor prop s uma atividade a partir da informa o hist rica de que o famoso matem tico Pierre Fermat [1601-1665], que se interessava por n meros primos, percebeu algumas rela es entre n meros primos mpares e quadrados perfeitos. Para que os alunos tamb m descobrissem essa rela o, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais n meros primos mpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Al m disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses n meros. Na discuss o relativa a fun es exponenciais, um professor prop s a seguinte quest o: 3 n o 5 1+4 sim 7 11 n o n o 13 4+9 sim 17 1+16 sim 19 23 29 A partir da atividade de investiga o proposta pelo professor, analise as afirma es seguintes. I Todo n mero primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. II Todo n mero primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. III Todo n mero primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. Est correto o que se afirma em A I, apenas. B II, apenas. C I e III, apenas. D II e III, apenas. E I, II e III. 13 MATEM TICA Para que valores n o-nulos de k e m a fun o f(x) = mekx uma fun o crescente? Como estrat gia de trabalho para que os alunos respondam quest o proposta, adequado e suficiente o professor sugerir que os alunos A considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletr nica para calcular valores da fun o f em muitos pontos e comparem os valores obtidos. B considerem m = 1 e k = 1, m = !1 e k = 1, esbocem os gr ficos da fun o f e, em seguida, comparem esses dois gr ficos. C formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve esbo ar o gr fico de uma das fun es , para m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os gr ficos encontrados. D esbocem os gr ficos das fun es y = ex e y = e!x e analisem o que acontece com esses gr ficos quando a vari vel e a fun o forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas. E construam uma tabela com os valores de f para x n mero inteiro variando de !5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados. RASCUNHO QUEST O 32 QUEST O 34 A Matem tica no ensino m dio tem papel formativo contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisi o de atitudes e car ter instrumental pode ser aplicada s diversas reas do conhecimento , mas deve ser vista tamb m como ci ncia, com suas caracter sticas estruturais espec ficas. Observe a seguinte atividade de constru es geom tricas. Construir um tri ngulo ABC qualquer. Tra ar a bissetriz do ngulo BAC e, em seguida, a bissetriz do ngulo ABC . Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes. OCNEM (com adapta es). Ao planejar o estudo de fun es no ensino m dio, o(a) professor(a) deve observar que A o objetivo do estudo de exponenciais encontrar os zeros dessas fun es. B as fun es logar tmicas podem ser usadas para transformar soma em produto. C as fun es trigonom tricas devem ser apresentadas ap s o estudo das fun es exponenciais. D a fun o quadr tica exemplo t pico de comportamento de fen menos de crescimento populacional. E o estudo de fun es polinomiais deve contemplar propriedades de polin mios e de equa es alg bricas. QUEST O 33 A professora Clara prop s a seus alunos que encontrassem a solu o da seguinte equa o do segundo grau: x2 !1 = (2x + 3)(x ! 1) Pedro e Jo o resolveram o exerc cio da seguinte maneira. Resolu o de Pedro: x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1) x2 ! 1 = 2x2 + x ! 3 2 ! x = x2 Como 1 solu o dessa equa o, ent o S = {1} O uso de um software de geometria din mica na execu o dessa atividade e de outras similares A B C D E pode mostrar que o estudo das constru es com r gua e compasso desnecess rio. dispensa a demonstra o dos resultados encontrados pelos alunos. prejudica o desenvolvimento do racioc nio l gico-dedutivo. dificulta o desenvolvimento do pensamento geom trico. pode contribuir para a elabora o de conjecturas pelos alunos. RASCUNHO Resolu o de Jo o: x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1) (x ! 1)(x + 1) = (2x + 3)(x ! 1) x + 1 = 2x + 3 x = !2 Portanto, S = {!2} Pedro e Jo o perguntaram professora por que encontraram solu es diferentes. A professora observou que outros alunos haviam apresentado solu es parecidas com as deles. Entre as estrat gias apresentadas nas op es a seguir, escolha a mais adequada a ser adotada por Clara visando aprendizagem significativa por parte dos alunos. A Indicar individualmente, para cada aluno que apresentou uma resolu o incorreta, onde est o erro e como corrigi-lo, a partir da estrat gia inicial escolhida pelo aluno. B Resolver individualmente o exerc cio para cada aluno, usando a f rmula da resolu o da equa o do 2. grau, mostrando que esse o m todo que fornece a resposta correta. C Pedir a Pedro e Jo o que apresentem classe suas solu es para discuss o e estimular os alunos a tentarem compreender onde est a falha nas solu es apresentadas e como devem fazer para corrigi-las. D Escrever a solu o do exerc cio no quadro, usando a f rmula da resolu o da equa o do 2. grau, para que os alunos percebam que esse o m todo que fornece a resposta correta. E Pedir que cada um deles comunique classe como resolveu o exerc cio e, em seguida, explicar no quadro para a turma onde est a falha na resolu o de cada um e como eles devem fazer para corrigi-la. 14 MATEM TICA Tra ar a bissetriz do ngulo ACB . O que voc observa? Ser que, se voc recome ar a constru o a partir de outro tri ngulo, chegar mesma observa o? QUEST O 35 QUEST O 36 Algumas civiliza es utilizavam diferentes m todos para multiplicar dois n meros inteiros positivos. Por volta de 1400 a.C., os eg pcios utilizavam uma estrat gia para multiplicar dois n meros que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para calcular 47 33, o m todo pode ser descrito do seguinte modo: A figura abaixo mostra alguns segmentos constru dos em dada pela professora. escolha um dos fatores; por exemplo, 47; na 1. linha de uma tabela, escreva o n mero 1 na 1. coluna e o fator escolhido, na 2. coluna; em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos n meros da linha anterior, at encontrar, na 1. coluna, o menor n mero cujo dobro seja maior ou igual ao outro fator, no caso, 33; 1 2 4 8 16 32 um geoplano por um estudante, de acordo com a orienta o 47 94 188 376 752 1.504 selecione os n meros da 1. coluna cuja soma seja igual a 33, conforme indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33; adicione os n meros correspondentes da 2. coluna, ou seja, 47 + 1.504 = 1.551; tome como resultado da multiplica o o valor 1.551. u Acerca do uso do geoplano retangular nessa atividade, Com base nessas informa es, analise as asser es a seguir. assinale a op o incorreta. Utilizando o m todo eg pcio, poss vel multiplicar quaisquer dois n meros inteiros positivos, A O geoplano auxilia na compreens o de que porque . todo n mero inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de pot ncias de 2. B O geoplano auxilia na compreens o de que . A respeito dessa afirma o, assinale a op o correta. C A As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira. B As duas asser es s o proposi es verdadeiras, mas a segunda n o uma justificativa correta da primeira. C A primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D A primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E Ambas as asser es s o proposi es falsas. RASCUNHO 15 MATEM TICA O geoplano auxilia na representa o geom trica de n meros irracionais da forma D . O geoplano auxilia na obten o da rela o entre o comprimento de uma circunfer ncia e seu di metro. E O geoplano auxilia na simplifica o de express es com irracionais alg bricos, como, por exemplo, . QUEST O 37 QUEST O 39 Segundo os par metros curriculares nacionais, todas as disciplinas escolares devem contribuir com a constru o da cidadania. Refletindo sobre esse tema, avalie as asser es a seguir. As quest es I e II abaixo fizeram parte das provas de Matem tica do Sistema de Avalia o da Educa o B sica (SAEB), em 2003, para participantes que terminaram, respectivamente, a 8. s rie do ensino fundamental e o 3. ano do ensino m dio. Na quest o I, 56% dos participantes escolheram como correta a op o C, enquanto, na quest o II, 61% dos participantes escolheram como correta a op o A. Uma forma de o ensino da Matem tica contribuir com a forma o do cidad o o professor propor situa es-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas solu es aos colegas e expliquem a estrat gia de resolu o utilizada, estimulando o debate entre eles, O n mero 0,25 pode ser representado pela fra o (A) 1 4 1 (B) 2 2 (C) 5 (D) 1 8 porque os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as diferentes estrat gias utilizadas, s o estimulados a justificar suas pr prias estrat gias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opini o do outro, caracter sticas fundamentais de um cidad o cr tico e consciente. A respeito dessa afirma o, assinale a op o correta. quest o I A As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira. B As duas asser es s o proposi es verdadeiras, mas a segunda n o uma justificativa correta da primeira. C A primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D A primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E Ambas as asser es s o proposi es falsas. quest o II QUEST O 38 Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de uma situa o-problema, est o sua tradu o para a linguagem matem tica e a resolu o do problema, utilizando-se conhecimentos matem ticos. Nessa perspectiva, um professor prop s a seguinte situa o-problema para seus alunos: Escolha o nome para uma empresa que possa ser lido da mesma forma de qualquer um dos lados de uma porta de vidro transparente. Analisando os dados apresentados, assinale a op o que n o justifica o erro que os estudantes cometeram ao escolher as suas respostas. A fra o B A solu o desse problema pressup e encontrar . Nas quest es I e II, a maioria dos respondentes considera que as fra es A letras do alfabeto que sejam sim tricas em rela o a um ponto. B letras do alfabeto que tenham simetria em rela o a um eixo horizontal. C letras do alfabeto que tenham simetria em rela o a um eixo vertical. D palavras que sejam sim tricas em rela o a um ponto. E palavras que sejam sim tricas em rela o a um eixo horizontal. RASCUNHO 16 MATEM TICA Na quest o I, a maioria dos respondentes considera que a representa o do n mero decimal 0,ab na forma de C s o equivalentes. Na quest o I, a maioria dos respondentes considera que 0,25 e D e s o representa es de n meros diferentes. Na quest o II, a maioria dos respondentes considera que e !0,4 s o representa es de n meros diferentes. E Na quest o II, a maioria dos respondentes considera que a representa o decimal da fra o a,b. A QUEST O 40 DISCURSIVA x I B x No ret ngulo ABCD ao lado, o lado AB mede 7 cm e o lado AD mede J 9 cm. Os pontos I, J, K e L foram marcados sobre os lados AB, BC, CD e DA, respectivamente, de modo que os segmentos AI, BJ, CK e DL s o L congruentes. x D K x C Com base nessa situa o, fa a o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. a) Demonstre que o quadril tero IJKL um paralelogramo. (valor: 3,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 40 ITEM a b) Escreva a fun o que fornece a rea do paralelogramo IJKL em fun o de x e determine, caso existam, seus pontos de m ximo e de m nimo (valor: 4,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 40 ITEM b c) Na resolu o desse problema, que conceitos matem ticos podem ser explorados com alunos do ensino fundamental e do ensino m dio? (valor: 3,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 40 ITEM c 17 MATEM TICA As quest es de 41 a 51, a seguir, s o espec ficas para os estudantes de BACHARELADO QUEST O 41 QUEST O 43 Considere o espa o vetorial V = ( 2, < , >1) munido do seguinte produto interno: <u, v>1 = x1x2 ! y1x2 !x1y2 + 4y1y2, em que v = (x1, y1) e u = (x2, y2) s o vetores de 2. Considere T : V 6 V o operador linear dado por . Com rela o ao produto interno < , >1 e ao operador T, assinale a op o correta. figura I figura II O cilindro e o caten ide, representados nas figuras I e II, s o superf cies regulares de rota o geradas, respectivamente, pelas curvas "1(t) = (1, 0, t) e "2(t) = (cosht, 0, t), com t 0 . Considerando essas informa es, conclui-se que A Os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) s o ortogonais em rela o ao produto interno < , >1. B O operador T preserva o produto interno, isto , <T(u), T(v) >1 = < u, v >1. C T(x, y) = T(y, x), para todo (x, y) de 2. D O vetor u = (2, 0) pertence ao n cleo de T. E Existe um vetor v = (x, y) 0 2 tal que x2 + y2 = 1 e <v, v>1 = 0. RASCUNHO A a curvatura gaussiana do caten ide negativa. B as duas superf cies s o localmente isom tricas. C as nicas geod sicas do cilindro s o as retas. D a curvatura gaussiana do cilindro constante e positiva. E as curvas "1(t) e "2(t) s o os paralelos das respectivas superf cies de rota o. QUEST O 42 Um dom nio de integridade um dom nio principal quando todo ideal principal, isto , pode ser gerado por um nico elemento. Com base nesse conceito, avalie as seguintes afirma es. I O anel Z [x] de polin mios sobre Z na vari vel x um Z Z dom nio principal, em que Z o anel dos inteiros. Z II Se K um corpo, K[x] o anel de polin mios sobre K na vari vel x um dom nio principal. III O anel dos inteiros gaussianos Z [i] um dom nio principal. Z correto o que se afirma em A I, apenas. B II, apenas. C I e III, apenas. D II e III, apenas. E I, II e III. 18 MATEM TICA QUEST O 44 RASCUNHO Para cada n mero real k, a equa o diferencial yO(x) + 2yN(x) + ky(x) = 0 possui uma nica solu o yk(x) que satisfaz s condi es iniciais . Considere o limite e analise as seguintes asser es a respeito desse limite. Para qualquer k 0 (0, 1), o valor de Lk zero porque a equa o diferencial dada n o-linear. A respeito dessa afirma o, assinale a op o correta. A As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira. B As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda n o uma justificativa correta da primeira. C A primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D A primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E Ambas as asser es s o proposi es falsas. QUEST O 45 Considere uma fun o f : que possui segunda derivada em todo ponto e que satisfaz seguinte propriedade: . Um estudante de c lculo diferencial, ao deparar-se com essa situa o, escreveu a afirma o seguinte. A segunda derivada f O(2) = 1 porque , qualquer que seja a fun o g. Com rela o ao afirmado pelo estudante, assinale a op o correta. A As duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda uma justificativa correta da primeira. B As duas asser es s o proposi es verdadeiras, mas a segunda n o uma justificativa correta da primeira. C A primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D A primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E Ambas as asser es s o proposi es falsas. 19 MATEM TICA QUEST O 46 RASCUNHO Considere as integrais complexas A soma I1 + I2 igual a A B C D E 4Bi. 2Bi. 0. !2Bi. !4Bi. QUEST O 47 Considere o grupo G das ra zes 6- simas da unidade, isto , o grupo formado pelos n meros complexos z, tais que z6 = 1. Com rela o ao grupo G, assinale a op o correta. A O grupo G c clico. B G um grupo de ordem 3. C O n mero complexo um elemento primitivo de G. D Existe um subgrupo de G que n o c clico. E Se z um elemento primitivo de G, ent o z2 tamb m um elemento primitivo de G. QUEST O 48 No plano 2, considere que o conjunto Q consiste dos lados de um quadrado de lado unit rio. Nesse conjunto, pode-se definir uma m trica d da seguinte maneira: dados dois pontos distintos, A, B 0 Q, d(A, B) definida como o comprimento euclidiano da menor poligonal contida em Q e com extremidades A e B, e d(A, B) = 0, se A = B, conforme ilustra a figura abaixo. B t d(A, B) = s + t A s O espa o m trico Q, munido da m trica d, A tem di metro igual a . B possui um par de pontos tais que d(x, y) d(y, x). C um subespa o m trico do plano 2 munido da m trica euclidiana. D coincide com uma bola aberta de centro em um dos v rtices de Q e de raio 3 na m trica d. E igual uni o de duas bolas abertas de centros em v rtices distintos de Q e de raio 1 na m trica d. 20 MATEM TICA QUEST O 49 RASCUNHO Quando uma part cula desloca-se ao longo de uma curva C parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t 0 [a, b], sob a a o de um campo de for a de C dado por em 3, o trabalho realizado pelo campo ao longo Se , em que f : uma fun o cont nua e = f(|r|) |r| = , ent o = grad(g(|r|)), em que g uma primitiva de f. Considerando essas informa es, conclui-se que o trabalho realizado pelo campo ao longo da h lice C dada por r(t) = (cos t, sen t, t), t 0 [0, 2B], A B . C . D . E . QUEST O 50 Efetuando-se o produto das s ries de Taylor, em torno da origem, das fun es reais e , obt m-se, para |x| < 1, o desenvolvimento em s rie de pot ncias da seguinte fun o: O coeficiente de xn na s rie de pot ncias de nN, a derivada de primeira ordem da fun o n, igual a A B C D E . . . . . 21 MATEM TICA QUEST O 51 DISCURSIVA Considere uma fun o deriv vel f : 6 que satisfaz seguinte condi o: Para qualquer n mero real k 0, a fun o definida por n o injetora. Com base nessa propriedade, fa a o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. a) Mostre que, se para algum k 0, ent o (valor: 3,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 51 ITEM a b) Mostre que, para cada k 0 n o-nulo, existem n meros "k e $k tais que gk("k) = gk($k). Al m disso, justifique que, para todo k 0 n o-nulo, existe um n mero 2k tal que (valor: 3,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 51 ITEM b c) Mostre que a fun o derivada de primeira ordem n o limitada. (valor: 4,0 pontos) RASCUNHO QUEST O 51 ITEM c 22 MATEM TICA QUESTION RIO DE PERCEP O SOBRE A PROVA As quest es abaixo visam levantar sua opini o sobre a qualidade e a adequa o da prova que voc acabou de realizar. QUEST O 5 Os enunciados das quest es da prova na parte de Componente Assinale as alternativas correspondentes sua opini o, nos espa os pr prios do Caderno de Respostas. Espec fico estavam claros e objetivos? A Sim, todos. Agradecemos sua colabora o. B Sim, a maioria. QUEST O 1 C Apenas cerca de metade. Qual o grau de dificuldade desta prova na parte de Forma o E N o, nenhum. D Poucos. Geral? QUEST O 6 A Muito f cil. B F cil. As informa es/instru es fornecidas para a resolu o das C M dio. quest es foram suficientes para resolv -las? D Dif cil. A Sim, at excessivas. E Muito dif cil. B Sim, em todas elas. C Sim, na maioria delas. QUEST O 2 D Sim, somente em algumas. Qual o grau de dificuldade desta prova na parte de Componente E N o, em nenhuma delas. Espec fico? QUEST O 7 A Muito f cil. Voc se deparou com alguma dificuldade ao responder prova. B F cil. Qual? C M dio. A Desconhecimento do conte do. D Dif cil. B Forma diferente de abordagem do conte do. E Muito dif cil. C Espa o insuficiente para responder s quest es. D Falta de motiva o para fazer a prova. QUEST O 3 E N o tive qualquer tipo de dificuldade para responder prova. Considerando a extens o da prova, em rela o ao tempo total, voc considera que a prova foi QUEST O 8 A muito longa. Considerando apenas as quest es objetivas da prova, voc B longa. percebeu que C adequada. A n o estudou ainda a maioria desses conte dos. D curta. B estudou alguns desses conte dos, mas n o os aprendeu. E muito curta. C estudou a maioria desses conte dos, mas n o os aprendeu. D estudou e aprendeu muitos desses conte dos. QUEST O 4 E estudou e aprendeu todos esses conte dos. Os enunciados das quest es da prova na parte de Forma o Geral estavam claros e objetivos? Qual foi o tempo gasto por voc para concluir a prova? A Sim, todos. A Menos de uma hora. B Sim, a maioria. B Entre uma e duas horas. C Apenas cerca da metade. C Entre duas e tr s horas. D Poucos. D Entre tr s e quatro horas. E N o, nenhum. E Quatro horas e n o consegui terminar. 23 MATEM TICA QUEST O 9 Enade 2008 Matem tica Quest o Gabarito 1C 2E 3D 4A 5D 6B 7D 8C 9 Discursiva 10 Discursiva 11 E 12 A 13 A 14 E 15 C 16 D 17 C 18 C 19 C 20 D 21 A 22 E 23 B 24 B 25 B 26 B 27 D 28 Discursiva 29 Discursiva 30 A 31 D 32 E 33 C 34 E 35 A 36 D 37 A 38 C 39 B 40 Discursiva 41 A 09/11/2008 42 D 43 B 44 C 45 C 46 B 47 A 48 D 49 E 50 C 51 Discursiva

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