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Enade Exame de 2003 - PROVAS - Matemática

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PROVA 1 Instru es 1- Voc est recebendo o seguinte material: a) este caderno com o enunciado das 40 (quarenta) quest es objetivas, das 6 (seis) quest es discursivas espec ficas para cada rea, das quais voc dever responder a 5 (cinco), sua escolha, da mesma rea, e das quest es relativas s suas impress es sobre a prova, assim distribu das: Partes A - Objetiva B - Discursiva espec fica de BACHARELADO C - Discursiva espec fica de LICENCIATURA Impress es sobre a prova Nos das Quest es Nos das pp. neste Caderno 1 a 40 7e8 7 a 12 41 a 49 Valor de cada parte 3a6 1a6 CADERNO DE QUEST ES 9 e 10 11 50% 50% MATEM TICA b) 01 Caderno de Respostas em cuja capa existe, na parte inferior, um cart o destinado s respostas das quest es objetivas e de impress es sobre a prova. O desenvolvimento e as respostas das quest es discursivas dever o ser feitos a caneta esferogr fica de tinta preta e dispostos nos espa os especificados nas p ginas do Caderno de Respostas. 2 - Verifique se este material est em ordem e se o seu nome no Cart o-Resposta est correto. Caso contr rio, notifique imediatamente a um dos Respons veis pela sala. 3 - A p s a confer ncia do seu nome no Cart o-Resposta, voc dever assin -lo no espa o pr prio, utilizando caneta esferogr fica de tinta preta e, imediatamente ap s, dever assinalar, tamb m no espa o pr prio, o n mero correspondente a sua prova ( 1 , 2 , 3 ou 4 ). Deixar de assinalar esse n mero implica anula o da parte objetiva da prova. 4 - No Cart o-Resposta, a marca o das letras correspondentes s respostas assinaladas por voc para as quest es objetivas (apenas uma resposta por quest o) deve ser feita cobrindo a letra e preenchendo todo o espa o compreendido pelo c rculo que a envolve com um tra o cont nuo e denso, a l pis preto n 2 ou a caneta esferogr fica de tinta preta. A leitora tica sens vel a marcas escuras, portanto, preencha os campos de marca o completamente, sem deixar claros. Exemplo: A B C D E 5 - Tenha cuidado com o Cart o-Resposta, para n o o dobrar, amassar ou manchar. Este Cart o somente poder ser substitu do caso esteja danificado em suas margens-superior e/ou inferior - barra de reconhecimento para leitura tica. 6 - Esta prova individual. Voc pode usar calculadora cient fica; entretanto s o vedadas qualquer comunica o e troca de material entre os presentes, consultas a material bibliogr fico, cadernos ou anota es de qualquer esp cie. 7 - Quando terminar, entregue a um dos Respons veis pela sala o Cart o-Resposta grampeado ao Caderno de Respostas e assine a Lista de Presen a. Cabe esclarecer que nenhum graduando dever retirar-se da sala antes de decorridos 90 (noventa) minutos do in cio do Exame. Ap s esse prazo, voc poder sair e levar este Caderno de Quest es. ATEN O: Voc poder retirar o boletim com seu desempenho individual pela Internet, mediante a utiliza o de uma senha pessoal e intransfer vel, a partir de novembro. A sua senha o n mero de c digo que aparece no lado superior direito do Cart o-Resposta. Guarde bem esse n mero, que lhe permitir conhecer o seu desempenho. Caso voc n o tenha condi es de acesso Internet, solicite o boletim ao INEP no endere o: Esplanada dos Minist rios, Bloco L, Anexo II, Sala 411 - Bras lia/DF - CEP 70047-900, juntando solicita o uma fotoc pia de seu documento de identidade. 8 - Voc ter 04 (quatro) horas para responder s quest es objetivas, discursivas e de impress es sobre a prova. OBRIGADO PELA PARTICIPA O! MEC INEP DAES Minist rio da Educa o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais "An sio Teixeira" Diretoria de Estat sticas e Avalia o da Educa o Superior ENC 2003 PROVA 1 Cons rcio Funda o Cesgranrio/Funda o Carlos Chagas 1 MATEM TICA MATEM TICA 2 PROVA 1 ENC 2003 PRIMEIRA PARTE QUEST ES OBJETIVAS ANTES DE MARCAR SUAS RESPOSTAS, ASSINALE, NO ESPA O PR PRIO DO CART O-RESPOSTA, O N MERO DO SEU GABARITO. 1 9 As probabilidades dos eventos X, Y e X Y s o iguais a 0,6; 0,5 e 0,1, respectivamente. Quanto vale a probabilidade do evento X Y ? (A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4 (E) 0,5 2 O conjunto das solu es reais da equa o 2x + 3 (x + 1) = x + 4 (A) (B) {0} (C) {2} (D) {4} (E) {2, 4} 10 Se a seq ncia {a } convergente, ent o n 3 Se o resto da divis o do inteiro N por 5 igual a 3, o resto da divis o de N2 por 5 , necessariamente, igual a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 4 A for a gravitacional com que o Sol atrai a Terra (A) menor que a for a com que a Terra atrai o Sol. (B) maior que a for a com que a Terra atrai o Sol. (C) igual for a com que a Terra atrai o Sol. (D) dobraria, se a dist ncia entre a Terra e o Sol se reduzisse metade. (E) dobraria, se as massas da Terra e do Sol dobrassem. 5 lim (a a ) n n+1 n (A) vale 0. (B) vale 1. (C) positivo e diferente de 1. (D) infinito. (E) pode n o existir. 11 Um tri ngulo de lados a, b e c cujas alturas s o h , h e h ab c tal que a > b > c. Ent o, necessariamente, (A) a maior altura h . a (B) a maior altura h . b (C) a maior altura h . c (D) a menor altura h . b (E) a menor altura h . c Toda seq ncia limitada de n meros reais (A) convergente. (B) divergente. (C) mon tona. (D) admite subseq ncia convergente. (E) tem apenas um n mero finito de termos distintos. 6 R A fun o F : 2 R definida por F(x, y) = (x 3)2 + (4y + 1)2 4 (A) n o tem m ximo nem m nimo. (B) tem m ximo e m nimo. (C) tem m ximo, mas n o tem m nimo. (D) tem m nimo, mas n o tem m ximo. (E) limitada. 7 Um quadrado de lado 2 gira em torno de um de seus lados, gerando um s lido de revolu o. O volume desse s lido igual a (A) 4 (C) 8 (D) 4 (E) 8 (B) 2 3 3 8 Num plano, o lugar geom trico dos pontos que eq idistam de uma reta fixa e de um ponto fixo que n o pertence reta uma (A) reta. (B) par bola. (C) elipse. (D) hip rbole. (E) circunfer ncia. ENC 2003 Os inteiros, com a adi o e a multiplica o usuais, constituem um exemplo de (A) corpo. (B) anel com unidade. (C) anel com divisores de zero. (D) grupo multiplicativo abeliano. (E) grupo multiplicativo n o abeliano. PROVA 1 12 O centro do c rculo circunscrito a um tri ngulo o ponto de encontro das (A) mediatrizes de seus lados. (B) suas medianas. (C) suas alturas. (D) suas bissetrizes internas. (E) suas bissetrizes externas. 13 Quantos s o os n meros complexos cujo cubo vale i? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) infinitos 14 Se P(x) um polin mio do segundo grau cujas ra zes s o 2 e 3, o polin mio [P(x)]2 admite (A) 2 e 3 como ra zes simples. (B) 2 e 3 como ra zes duplas. (C) 4 e 9 como ra zes simples. (D) 4 e 9 como ra zes duplas. (E) duas ra zes reais e duas n o reais. 15 O gr fico da fun o real f (x) = 3 x pode ser obtido do gr fico da fun o real g(x) = x3 por meio de uma (A) reflex o no eixo dos x. (B) reflex o no eixo dos y. (C) reflex o na bissetriz dos quadrantes mpares. (D) reflex o na bissetriz dos quadrantes pares. (E) simetria em rela o origem. MATEM TICA 3 21 16 Para calcular o ndice de discrimina o das quest es de m ltipla escolha, foi adotado o seguinte procedimento: calcularam-se as notas de cada graduando no conjunto das quest es objetivas. (...) A partir da , os 27% que tiveram as notas mais altas foram denominados de grupo superior de desempenho e os 27% com as notas mais baixas, grupo inferior de desempenho. Verificou-se, ent o, para cada quest o, o percentual dos integrantes de cada um desses grupos que acertaram a resposta. O ndice de discrimina o foi calculado pela diferen a entre essas duas raz es. Escalonando o sistema x 2 y + 4z = 1 2x + y 7z = 3 x 4 y + 10z = 3 , x 2z = 1 chegou-se a y 3z = 1 0 =0 (adaptado de MEC/INEP/DAES. R elat rio do Exame Nacional de Cursos 2002 - Matem tica) Ent o, os tr s planos dados pelas equa es do sistema inicial (A) s o paralelos. (B) t m apenas um ponto comum. (C) t m uma reta comum. (D) t m interse o vazia, porque dois deles s o paralelos. (E) t m interse o vazia, embora n o haja entre eles dois que sejam paralelos. Entre que valores pode variar o ndice de discrimina o? (A) e (B) 1 e 0 (C) 1 e 1 (D) 0 e 1 (E) 0 e 22 3 17 Se cos a = 0,6, ent o sen 2 2 R, Em a equa o xy = 1 representa uma a (A) reta. (A) vale 0,8. (B) circunfer ncia. (B) vale 0,6. (C) elipse. (C) vale 0,6. (D) par bola. (D) vale 0,8. (E) hip rbole. (E) s pode ser determinado com o conhecimento do quadrante de a. 18 Quanto vale 23 lim [ln2x lnx]? x A integral impr pria (A) 0 1 (B) ln 2 dx convergente se e somente se xp (A) p > 1 (B) p = 1 (C) p 1 (D) p < 1 (E) p > 0 (C) 1 (D) e (E) 19 24 n Se q um n mero real, a s rie 1 + q + q2 + ... + q + ... convergente se e somente se (A) q 1 (B) q 1 (C) q 1 (D) q < 1 (E) q > 1 Defina, no conjunto dos inteiros positivos, a opera o p or a b = m ximo divisor comum de a e b . Assinale, a respeito de , a afirmativa F ALSA . (A) comutativa. (B) associativa. (C) 1 elemento neutro. (D) a a = a, para todo a. (E) Para cada a, existe b tal que a b = 1. 25 20 O lugar geom trico dos pontos do espa o que eq idistam dos tr s planos coordenados (A) uma reta. (B) a uni o de 2 retas. (C) a uni o de 3 retas. (D) a uni o de 4 retas. (E) a uni o de 8 retas. MATEM TICA 4 Uma base do espa o vetorial das solu es da equa o diferencial y'' + y = 0 formada pelas fun es (A) f1(x) = senx e f2(x) = cosx (B) f1(x) = senx e f2(x) = 2senx (C) f1(x) = cosx e f2(x) = 2cosx (D) f1(x) = x e f2(x) = x 1 x (E) f1(x) = e x e f2(x) = e PROVA 1 ENC 2003 26 30 Se g : R R tem todas as derivadas cont nuas, g'(a) = g"(a) = 0 e g"'(a) = 2, ent o a fun o g possui, em x = a, um (A) m ximo relativo. (B) m ximo absoluto. (C) m nimo relativo. (D) m nimo absoluto. (E) ponto de inflex o. Considere uma piscina e, em cada ponto da gua, a press o hidrost tica no ponto. Em cada ponto, o gradiente de press o (A) horizontal. (B) vertical e aponta para cima. (C) vertical e aponta para baixo. (D) inclinado e aponta para cima. (E) inclinado e aponta para baixo. 27 31 Considere uma caixa d gua, inicialmente vazia, em forma de tronco de cone reto, cuja maior base a superior, e que est sendo enchida por uma torneira de vaz o constante. Em cada instante t, entre o momento em que a torneira foi aberta e aquele em que a caixa ficou cheia, seja h(t) a altura da gua na caixa. A respeito dos sinais de h'(t) e h"(t), pode-se afirmar que (A) h'(t) > 0 e h"(t) > 0 1 0 A matriz A = 0 0 , considerada como transforma o do plano, representa uma (A) proje o. (B) simetria central. (C) simetria axial. (D) homotetia. (E) rota o. (B) h'(t) > 0 e h"(t) < 0 32 (C) h'(t) > 0, mas o sinal de h"(t) varia. 3 R, Em os vetores (x, y, z) tais que x + y = 0 (A) formam um subespa o vetorial de dimens o 0. (D) h'(t) < 0 e h"(t) > 0 (E) h'(t) < 0 e h"(t) < 0 (B) formam um subespa o vetorial isomorfo a R . R (C) formam um subespa o vetorial isomorfo a 2 . R (D) formam um subespa o vetorial isomorfo a 3 . 28 Na figura, z e w s o n meros complexos. y (E) n o formam um subespa o vetorial. 33 w i A fun o real definida por f(x ) = 4 x 2, se x > 1, e f (x ) = k + x , se x 1, ser cont nua, se a constante k valer (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 z 1 0 x 34 Sejam M = 1, 11 1 , , ... , , ... e N = [1, 2[. O conjunto dos 23 n pontos de acumula o de M N (A) M N (B) [1, 2] (C) N (D) {0} [1, 2[ (E) {0} [1, 2] Ent o, w igual a (A) 1/z (B) 2/z (C) z2 (D) 2z 1 35 (E) 2z Se p i nteiro e positivo, a soma da s rie 1+ 1 lim x .sen x x 0 (A) vale 0. px + p( p 1) 2 + p( p 1)( p 2) 3 + ... x x vale (A) 29 1 1 px 1! (B) e (B) vale 1. px p (D) infinito. (D) (1 + x) (E) n o existe. (E) (1 + p) ENC 2003 PROVA 1 3! px (C) pe (C) vale e. 2! x MATEM TICA 5 36 40 Em um jogo de par-ou- mpar, cada um dos dois jogadores escolhe, ao acaso, um dos seis inteiros de 0 a 5. Verifica-se, ent o, se a soma dos n meros escolhidos par ou mpar. Qual dos gr ficos a seguir melhor representa a fun o que a cada n mero real x a ssocia a dist ncia de x a o n mero 1? Observando o jogo, Jos concluiu que era mais prov vel que a soma fosse par do que mpar, porque h onze valores poss veis para a soma, os inteiros de 0 a 10, e, entre eles, h seis n meros pares e apenas cinco n meros mpares. Assinale, a respeito da conclus o de Jos e da justificativa por ele apresentada, a afirmativa correta. (A) x (A) As probabilidades s o iguais; Jos errou quando considerou 0 como par. (B) As probabilidades s o iguais; Jos errou quando considerou igualmente prov veis as v rias somas poss veis. (C) A probabilidade de a soma ser par menor que a de ser mpar. (D) A probabilidade de a soma ser par maior do que a de ser mpar, mas n o pelo motivo apresentado por Jos . (E) A conclus o de Jos e sua justificativa est o corretas. (B) x 37 R2 Um vetor de que constitui com (1, 0) um par de vetores linearmente dependentes (A) ( 1, 1) (B) ( 1, 0) (C) (0, 1) (D) (1, 1) (C) (E) (2, 3) x 38 Sejam p e q inteiros positivos, relativamente primos (primos entre si), q 2, e seja D o conjunto dos fatores primos de q . O racional p admitir uma representa o decimal finita se e q somente se (A) D {2, 5} (D) (B) D = {2, 5} x (C) D {2, 5} (D) D {2, 5} = (E) D {2, 5} 39 3 R Em , a equa o x2 y2 z2 = 0 representa (E) (A) um elips ide. (B) um parabol ide. (C) um hiperbol ide de uma folha. (D) um hiperbol ide de duas folhas. x (E) uma superf cie c nica. MATEM TICA 6 PROVA 1 ENC 2003 SEGUNDA PARTE QUEST ES DISCURSIVAS ESPEC FICAS PARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO A seguir, s o apresentadas 6 (seis) quest es das quais voc dever responder a apenas 5 (cinco), sua escolha. Voc deve indicar as quest es escolhidas nos locais apropriados do Caderno de Respostas. Se voc responder a todas as quest es, ser o corrigidas apenas as 5 (cinco) primeiras respostas. 1 Seja I = 3 1 0 3 x 3 e y dydx. a) Esboce graficamente a regi o de integra o. (valor: 5,0 pontos) b) Inverta a ordem de integra o. (valor: 10,0 pontos) c) Calcule o valor de I. (valor: 5,0 pontos) 2 Seja Z18 o anel dos inteiros m dulo 18 e seja G o grupo multiplicativo dos elementos invert veis de Z18 . a) Escreva todos os elementos do grupo G. (valor: 10,0 pontos) b) Mostre que G c clico, calculando explicitamente um gerador, ou seja, mostre que existe g G t al que todos os elementos de G s o pot ncias de g . (valor: 10,0 pontos) 3 1 6 , escreva, em forma de polin mio f(x,y), a forma quadr tica definida por A, isto , calcule os 6 4 a) Dada a matriz sim trica A = coeficientes num ricos de x f(x,y) = vt A v , onde v = e vt significa v transposto . y (valor: 5,0 pontos) t b) Encontre uma matriz invert vel P tal que P A P = D, onde D uma matriz diagonal. Para isto, basta tomar como P uma matriz que tenha por colunas um par de autovetores ortonormais de A. (valor: 10,0 pontos) x t c) Na forma quadr tica f(x,y) = v A v, fa a uma transforma o de coordenadas v = P v , sendo v = ,obtendo a forma quadr tica y diagonalizada, isto , sem o termo em xy . (valor: 5,0 pontos) 4 n Seja p(x) = x + a n 1 xn 1 + ... + a1x + a0 , com n 1, um polin mio de coeficientes reais. Suponha que p'(x) divide p(x). a) Prove que o quociente q ( x ) = p(x ) da forma q( x) = 1 ( x x ) , x R. 0 0 n p'(x ) (valor: 5,0 pontos) b) Encontre todos os polin mios p(x) que satisfazem essa condi o, resolvendo a equa o diferencial q(x) p'(x) p(x) = 0. (valor: 15,0 pontos) ENC 2003 PROVA 1 MATEM TICA 7 5 3 3 Dado um conjunto aberto U R e um campo de vetores X = (X1 , X2 , X3 ) : U R diferenci vel, o divergente de X definido por div X = Para uma fun o de classe C 2 X 1 X 2 X 3 + + . x y z o , f : U R laplaciano de f definido por 2 2 2 f f f = f + 2 + 2 . 2 x y z a) Se f : U R diferenci vel e X : U R 3 um campo de vetores diferenci vel, mostre que div (f X) = f div X + f X , sendo f o gradiente de f e f X o produto interno entre f e X. (valor: 5,0 pontos) 2 b) Se f : U R de classe C 2, mostre que div ( f f) = f f + || f || , sendo || || a norma euclidiana. (valor: 5,0 pontos) 2 c) Se U = B = {x 3 : || x || < 1} e f : B R de classe C 3 tal que f(x) > 0 para qualquer x 0, div (f f) = 5f e || f || = 2f, calcule R f N dS , S onde B o fecho de B , S a fronteira de B, N a norma unit ria exterior a S, f a derivada direcional de f na dire o N (valor: 10,0 pontos) de N e dS o elemento de rea de S . 6 Considere a fun o real f definida, para x 0, por f(x) = 2x . a) Prove que se 0 < x < 2, ent o x < f(x) < 2. (valor: 5,0 pontos) b) Prove que convergente a seq ncia definida recursivamente por i) a1 = 2 ii) an+1 = f(an), para todo n 1 c) Calcule (valor: 5,0 pontos) (valor: 10,0 pontos) lim a n n MATEM TICA 8 PROVA 1 ENC 2003 TERCEIRA PARTE QUEST ES DISCURSIVAS ESPEC FICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA A seguir, s o apresentadas 6 (seis) quest es das quais voc dever responder a apenas 5 (cinco), sua escolha. Voc deve indicar as quest es escolhidas nos locais apropriados do Caderno de Respostas. Se voc responder a todas as quest es, ser o corrigidas apenas as 5 (cinco) primeiras. 7 Uma roda-gigante tem 30 metros de di metro, completa uma volta em 120 segundos e o embarque dos passageiros se d no carro situado no ponto mais baixo da roda-gigante, a 2 metros de altura a partir do solo. Considere, ainda, a roda como uma circunfer ncia num plano perpendicular ao plano do solo, o passageiro como um ponto dessa circunfer ncia, o movimento uniforme e o instante do in cio do movimento como t = 0. a) Encontre a altura m xima, em rela o ao solo, alcan ada pelo passageiro durante uma volta completa e a velocidade angular da roda, em radianos por segundo. (valor: 5,0 pontos) b) verdadeira a afirma o: Em quinze segundos, a altura alcan ada pelo passageiro um quarto da altura m xima que ele pode alcan ar ? Justifique sua resposta. (valor: 5,0 pontos) c) Encontre a altura em que o passageiro estar no instante t = 75s. (valor: 5,0 pontos) d) Determine h(t), altura (em rela o ao solo) em que se encontra o passageiro no instante t, e esboce o seu gr fico. (valor: 5,0 pontos) 8 O ensino de logaritmos apresenta algumas dificuldades metodol gicas. Uns preferem construir primeiramente a fun o exponencial e definir a fun o logaritmo como inversa da fun o exponencial, transferindo as dificuldades para a constru o da fun o exponencial. Outros preferem definir logaritmos como reas, ou seja, como integrais. Adotaremos, nesta quest o, a defini o de logaritmo neperiano (natural) pela f rmula ln x = x 1 dt , para x > 0. t Dados a e b positivos, prove que: a) a 1 dt = t ab b dt t (valor: 10,0 pontos) Sugest o: mudan a de vari veis b) ln(ab) = ln(a) + ln(b), usando a defini o acima. (valor: 10,0 pontos) 9 Em um livro texto para a segunda s rie do ensino m dio encontra-se, sem qualquer justificativa, a afirma o abaixo. PROPRIEDADES DOS POLIEDROS CONVEXOS Num poliedro convexo, a soma dos ngulos de todas as faces dada por S = (V 2).360 , onde V o n mero de v rtices. Em seguida, h um exemplo de aplica o dessa f rmula e s o propostos exerc cios. Entre estes, h um, classificado como de fixa o, que tem o seguinte enunciado: Qual a soma dos ngulos das faces de um poliedro convexo que tem 12 faces e 15 arestas? A resposta, dada no final do livro, : 1080 . a) Demonstre que, em um poliedro convexo com V v rtices, a soma dos ngulos internos de todas as faces , de fato, dada por (valor: 10,0 pontos) S = (V 2).360 . b) De acordo com o Teorema de Euler, se existisse um poliedro convexo com 12 faces e 15 arestas, quantos v rtices teria? (valor: 5,0 pontos) c) Prove que o poliedro descrito no item anterior n o pode existir. ENC 2003 PROVA 1 (valor: 5,0 pontos) MATEM TICA 9 10 Os Par metros Curriculares Nacionais (PCN) sugerem os jogos como uma atraente possibilidade para o ensino da Matem tica. Um professor dividiu seus alunos em duplas e prop s a cada dupla o jogo descrito a seguir. O primeiro jogador escolhe um n mero no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e o anuncia. O segundo jogador escolhe um n mero no mesmo conjunto (pode escolher o mesmo n mero escolhido pelo primeiro jogador), soma-o ao anunciado pelo primeiro jogador e anuncia a soma. O primeiro jogador escolhe um n mero no mesmo conjunto, soma-o soma anunciada por seu advers rio e anuncia essa nova soma, e assim por diante. Ganha quem conseguir anunciar a soma 40. Uma das partidas desenvolveu-se do modo seguinte (P = primeiro jogador, S = segundo jogador): P: 3 S: 3 + 6 = 9 P: 9 + 7 = 16 S: 16 + 4 = 20 P: 20 + 5 = 25 S: 25 + 7 = 32 P: perdi! a) Indique tr s fun es do uso dos jogos no ensino da Matem tica, de acordo com os PCN. (valor: 5,0 pontos) b) Mostre que realmente o primeiro jogador perdeu essa partida. (valor: 5,0 pontos) c) Que estrat gia deve ser usada por um dos jogadores para ganhar sempre? (valor: 5,0 pontos) d) Que conceito matem tico pode ser trabalhado a partir desse jogo? (valor: 5,0 pontos) 11 Uma tend ncia que se nota em alguns livros did ticos recentemente publicados a apresenta o da Geometria (na 5a s rie) com o estudo (descritivo) de s lidos e a explora o de conceitos como s lidos redondos (podem rolar, se empurrados) e n o redondos. As no es pelas quais se iniciavam Os Elementos (ponto, reta, plano) s o apresentadas posteriormente, por exemplo: o plano apresentado como um conceito abstrato, idealizado a partir de objetos concretos tais como o tampo de uma mesa na qual se ap iam os poliedros, ou as faces de um s lido n o redondo. Informe que seq ncia voc utilizaria para a apresenta o desse conte do e justifique sua escolha. 12 Uma nova linha no ensino de Geometria vem recebendo o nome de Geometria Din mica. Trata-se da utiliza o de softwares de constru es geom tricas que permitem a transforma o de figuras mantendo um certo n mero de suas propriedades. a) Indique o nome de um desses softwares, descrevendo duas de suas potencialidades. (valor: 10,0 pontos) b) Cite duas vantagens do uso de um desses softwares sobre a constru o com r gua e compasso em papel. (valor: 5,0 pontos) c) Apresente um exemplo de propriedade geom trica que possa ser mais bem estudada na Geometria Din mica do que no ensino sem o computador. (valor: 5,0 pontos) MATEM TICA 10 PROVA 1 ENC 2003 IMPRESS ES SOBRE A PROVA As quest es abaixo visam a levantar sua opini o sobre a qualidade e a adequa o da prova que voc acabou de realizar e tamb m sobre o seu desempenho na prova. Assinale, nos espa os pr prios (parte inferior) do Cart o-Resposta, as alternativas correspondentes sua opini o e raz o que explica o seu desempenho. Agradecemos sua colabora o. 41 Qual o ano de conclus o deste seu curso de gradua o? (A) 2003. (B) 2002. (C) 2001. (D) 2000. (E) Outro. 42 Qual o grau de dificuldade desta prova? (A) Muito f cil. (B) F cil. (C) M dio. (D) Dif cil. (E) Muito dif cil. 43 Quanto extens o, como voc considera a prova? (A) Muito longa. (B) Longa. (C) Adequada. (D) Curta. (E) Muito curta. 44 Para voc , como foi o tempo destinado resolu o da prova? (A) Excessivo. (B) Pouco mais que suficiente. (C) Suficiente. (D) Quase suficiente. (E) Insuficiente. ENC 2003 PROVA 1 45 A que horas voc concluiu a prova? (A) Antes das 14 h 30 min. (B) Aproximadamente s 14 h 30 min. (C) Entre 14 h 30 min e 15 h 30 min. (D) Entre 15 h 30 min e 16 h 30 min. (E) Entre 16 h 30 min e 17 h. 46 As quest es da prova apresentam enunciados claros e objetivos? (A) Sim, todas apresentam. (B) Sim, a maioria apresenta. (C) Sim, mas apenas cerca de metade apresenta. (D) N o, poucas apresentam. (E) N o, nenhuma apresenta. 47 Como voc considera as informa es fornecidas em cada quest o para a sua resolu o? (A) Sempre excessivas. (B) Sempre suficientes. (C) Suficientes na maioria das vezes. (D) Suficientes somente em alguns casos. (E) Sempre insuficientes. 48 Com que tipo de problema voc se deparou mais freq entemente ao responder a esta prova? (A) Desconhecimento do conte do. (B) Forma de abordagem do conte do diferente daquela a que estou habituado. (C) Falta de motiva o para fazer a prova. (D) Espa o insuficiente para responder s quest es. (E) N o tive qualquer tipo de dificuldade para responder prova. 49 Como voc explicaria o seu desempenho na prova, de um modo geral? (A) N o estudei durante o curso a maioria desses conte dos. (B) Estudei somente alguns desses conte dos durante o curso, mas n o os aprendi bem. (C) Estudei a maioria desses conte dos h muito tempo e j os esqueci. (D) Estudei muitos desses conte dos durante o curso, mas nem todos aprendi bem. (E) Estudei e conhe o bem todos esses conte dos. MATEM TICA 11 ENC 2003 MATEM TICA Quest o 1 Padr o de Resposta Esperado a) A regi o de integra o a regi o hachurada em: y 1 0 x 3 e x 3 y 1: y= x 3 3 b) I = 0 c) I = 1 1 e y dydx = 3 3 0 x 3 ey 1 3 y2 .x 0 |0 dy = 3 y2 (valor: 5,0 pontos) 3x 0 e y dxdy 3 (valor: 10,0 pontos) 0 1 3 y . e y dy = e y 2 3 0 3 1 |0 = e 1. (valor: 5,0 pontos) Quest o 2 Padr o de Resposta Esperado a) Os elementos do grupo G s o as classes a que pertencem os n meros primos com 18, ou seja: _ ___ _ _ G = { 1 ; 5 ;7 ;11;13 ;17}. (valor: 10,0 pontos) _ b) De fato, g = 5 , pois 50 = 1 1 (mod 18) ; 51 = 5 5 (mod 18) ; 52 = 25 7 (mod 18) ; 53 7 5 = 35 17 (mod 18); 54 5 17 = 85 13 (mod 18) e 55 5 13 = 65 11 (mod 18) (valor: 10,0 pontos) Quest o 3 Padr o de Resposta Esperado 1 a) f(x,y) = [x,y] 6 6 x x + 6y = = [x y ] 4 y 6 x 4 y x2 + 6xy + 6xy 4y2 , isto : f(x,y) = x2 + 12xy 4y2. (valor: 5,0 pontos) b) Para achar os autovalores de A, resolvemos a equa o det(A I) = x Para = 5, um autovetor satisfaz y 1 6 6 = 0 ou ( 5) ( + 8) = 0, obtendo = 5 e = 8. 4 x 4x + 6y = 0, ou seja, um m ltiplo de y x Para = 8, um autovetor satisfaz 9x + 6y = 0, ou seja, y x y 3 . 2 2 . 3 um m ltiplo de 1 ENC 2003 MATEM TICA Portanto, um par de autovetores ortonormais de A Basta, ent o, tomar P = 1 3 2 1 6 13 2 3 6 4 1 3 e 13 2 1 3 2 ; como P ortogonal, P 13 2 3 1 13 3 2 1 1 2 13 3 = P t. De fato: P 1 AP= 2 0 5 0 1 3 2 15 16 1 65 = = = 3 13 2 3 10 24 13 0 104 0 8 que uma matriz diagonal. (valor: 10,0 pontos) 1 3 1 3 2 c) Se [ x y ] = # 2 x 3 y # 5 0 t ent o f(x,y) = v A v = ( Pv)t APv = vt Pt APv = vt # ## # # #2 #2 v = 5x 8y . 0 8 (valor: 5,0 pontos) Observa o: O graduando n o obrigado a seguir a sugest o de usar autovetores ortonormais, podendo usar autovetores ortogonais; # # isso permitiria, no item c), respostas da forma k(5 x 2 8 y 2 ), k positivo. Quest o 4 Padr o de Resposta Esperado a) p(x) de grau n e p'(x) de grau n 1, logo q(x) deve ser do 1 grau, isto , da forma q(x) = ax + b. n Sendo x + a n 1 xn 1 + ... + a1 x + a0 = (ax + b) [nxn 1 + (n 1) an 1 xn 2 + ... + a1 ] , efetuando-se o produto e igualando-se os coeficientes n de x , obt m-se: a.n = 1, donde a = 1/n. Fazendo-se x0 = b.n, tem-se q(x) = 1 n (x x0). (valor: 5,0 pontos) b) Da equa o qp' p = 0 temos (x x0) p' np = 0, que uma equa o diferencial de vari veis separ veis. Nos pontos em que p 0 e x x0 poss vel separar as vari veis, fazendo a divis o por (x x 0) p: p' = n , cuja solu o : ln|p | = n ln |x x | + c ou | p(x) | = k . | x x |n para uma constante k positiva ou p(x) = k (x x )n para 0 0 0 p x x0 (valor: 15,0 pontos) uma constante real n o nula qualquer. Observa es: A solu o p 0 solu o dessa equa o, mas tem a derivada identicamente nula, n o satisfazendo, portanto, a condi o do problema dado. Nos outros casos, por continuidade ou verifica o direta, p(x) solu o da equa o mesmo no ponto x0 em que se n anula. Tem-se, ent o, que todos os polin mios da forma k (x x0) , com k 0, s o divis veis por sua derivada e, pelo racioc nio acima, s estes satisfazem essa propriedade. Quest o 5 Padr o de Resposta Esperado a) div ( fX ) = X ( f . X1) ( f . X2 ) ( f . X3 ) X2 X3 f X + f X + f X = f div X + f X + + = f 1+ + + x x y z y z x 1 y 2 z 3 b) div (f f ) = f div f + f f = f f x + x f y + y f z + || f ||2 = z f f +|| f ||2 . (valor: 5,0 pontos) (valor: 5,0 pontos) 2 ENC 2003 f MATEM TICA N dS = f c) N dS = S f N dS e, pelo Teorema de Gauss Ostrogradsky, segue S S div f dV , onde dV o elemento de volume de B . B 2 Substituindo, na f rmula no item b), as condi es do item c), tem-se 5 f = f div f + f f = f div f + || f || = f div f + 2 f. Daqui, sendo f n o nula, div f = 3. Donde: div f dV = 3 B 4 = 4 . dV = 3. (valor: 10,0 pontos) 3 B Quest o 6 Padr o de Resposta Esperado a) De fato, multiplicando 0 < x < 2 por x > 0, tem-se 0 < x2 < 2x. Multiplicando-se 0 < x < 2 por 2 tem-se 0 < 2x < 4, donde 0 < x2 < 2x < 4 e, considerando as ra zes quadradas 0 < x < f (x) < 2. (valor: 5,0 pontos) b) Mostremos que, pela defini o e pelo item a), a seq ncia a est bem definida e crescente e limitada superiormente. n Com efeito, a1 = 2 , ent o 0 < a1 < 2. Tem-se que a2 est bem definido e 0 < a1 < a2 < 2. Suponhamos que 0 < a1 < a2 < ... < a n 2 novamente, tem-se pelo item a) que a est bem definido e 0 < a n n 1 < an 1 < 2 ; < an < 2. Ou seja, a seq ncia dada crescente e limitada superiormente (2 cota superior), sendo, portanto, convergente. (valor: 5,0 pontos) c) O limite existe e pertence ao intervalo ] 2 , 2]. Al m disso, pela continuidade de f, obt m-se lim an+1 = lim f(an) = f(lim an) ou seja, lim a = f(lim a ). Assim, lim a uma solu o da equa o x = f(x), no intervalo ] 2 , 2]. Ora, as solu es de x = 2x s o as solu es n n n de x2 = 2x, que s o 0 e 2, logo a nica solu o no intervalo em quest o 2, donde lim a = 2. n (valor: 10,0 pontos) 2a alternativa de solu o: b) a 1 = 21/2 ; a 2 = (21/2+1)1/2 = 21/2(1+1/2) ; mostraremos por indu o que a seq ncia constitui-se de pot ncias com base 2 cujos expoentes s o as reduzidas (somas parciais) da s rie geom trica de raz o e 1 termo iguais a . Com efeito, supondo que an = 2 1 2 1 ) (1 + 1 + ... + 2 2 n 1 1 , teremos 1 (1 + 1 + ... + 1 + 1 ) 1+ 1 (1+ 1 + ... + 1 ) 2 2 2n 1 = 2 2 2n 1 2n . a n +1 = 2 2 2 Sendo convergente a s rie dos expoentes (s rie geom trica de raz o < 1), pela continuidade da exponencial de base 2, segue que a seq ncia a n convergente. c) Pela continuidade da exponencial, o limite em quest o : lim a = 2 n Como lim 1 (1 + 1 + ... + 1 + 1 ) n 2 2 2n 1 2 1 1 1 1 1 1 = 1, tem-se afinal: lim a = 2. 1 + + ... + n-1 + n + ... = . n 2 2 2 2 1 1 2 2 3 ENC 2003 MATEM TICA 3a alternativa de solu o: 1 , tem-se que f '(x) positiva e decrescente, ent o, 2x no intervalo em quest o, |f '(x)| f ' ( 2 ) < 0,6 < 1. Ou seja, f uma contra o do intervalo [ 2 , 2] nele mesmo e, pelo Teorema b) Pelo item a), a fun o f leva o intervalo [ 2 , 2] nele pr prio e, sendo f '(x) = do Ponto Fixo de Banach, qualquer seq ncia definida por a n+1 = f (an) com a1 [ 2 , 2] converge para o nico ponto fixo dessa contra o nesse intervalo. c) Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, esse limite o nico ponto fixo da contra o f no intervalo [ 2 , 2]. Calculando as solu es de x = 2x , tem-se que elas s o as solu es de x2 = 2x, que s o 0 e 2. O ponto fixo no intervalo em quest o , portanto, x = 2, donde lim a = 2. n Observa o: Uma 4a alternativa ser refazer a prova do Teorema do Ponto Fixo de Banach, para este caso especificamente, mostrando que a seq ncia dos a de Cauchy, usando um majorante menor que 1 para a derivada de f, que, no caso, pode ser 0,6. Prova-se que 0<a n+ p n n+p+2 a < (0,6 n n+p 3 + 0,6 n n 1 + ... + 0,6 + 0,6 ) (a2 a 1) e os demais resultados se seguem de racioc nios an logos. 5a alternativa de solu o: Provaremos diretamente que lim a = 2. n Primeiramente, observemos que a1 2 e que, se an 2 , ent o an+1 = 2an 2 2 2, o que prova, por indu o, que an 2 para todo n natural. a 2 a 2 an 1 2 = . an 2 = 2an 1 2 = 2 an 1 2 = 2 n 1 2 n 1 2 22 an 1 + 2 a 2 Da , 0 an 2 1n 1 para todo n natural, e, pelo teorema do confronto (sandu che), lim a = 2. n 2 4 ENC 2003 MATEM TICA Quest o 7 Padr o de Resposta Esperado a) A altura m xima ser igual a 2 + 30 = 32 metros. A velocidade angular ser de 2 rad/s. = 120 60 b) falsa porque a altura do passageiro para t = 15s ser igual a 2 + 15 15 cos 15 . (valor: 5,0 pontos) = 2 + 15 15 . 2 6,4 m < 8 m. 60 2 (valor: 5,0 pontos) c) Aos 75s a altura ser igual a 2 + 15 15 cos 75 . = 2 + 15 + 15 . 2 27,6 m. 60 2 (valor: 5,0 pontos) t d) h(t ) = 17 15 . cos , para t entre 0 e 120. 60 h 32 2 0 120 t (valor: 5,0 pontos) Quest o 8 Padr o de Resposta Esperado a) Fazendo u = bt, tem-se: dt = b) ln ( a b ) = ab 1 1 t dt = b 1 t 1 du ; u = b , se t = 1 ; u = ab, se t = a. Da , b ab dt + b 1 t dt = b 1 1 t dt + a 1 1 t a 1 1 t dt = ab ab ab b . du = 1 du = dt . bub bu bt d t = ln ( b ) + ln ( a ). (valor: 10,0 pontos) (valor: 10,0 pontos) Quest o 9 Padr o de Resposta Esperado a) Seja F o n mero de faces e A o n mero de arestas do poliedro em quest o. A soma dos ngulos internos de cada face igual a (n 2) . 180o , onde n o n mero de lados dessa face. A soma S de todos os ngulos internos de todas as faces do poliedro ser : F S= k =1 F (n 2) 180 . Mas k k =1 F (n 2) 180 = 180 . k nk F . 360 = 2A . 180 F . 360 = 360 . (A F ) porque cada aresta do poliedro k =1 lado de 2 de suas faces. A f rmula acima agora segue da aplica o da F rmula de Euler: V + F = A + 2, ou: A F = V 2. b) V = A + 2 F = 15 + 2 12 = 5. (valor: 10,0 pontos) (valor: 5,0 pontos) c) Ainda que fosse poss vel que cada par destes 5 v rtices fosse ligado por uma aresta, o n mero m ximo de arestas seria 2 C = (5.4)/2 = 10 <15. 5 (valor: 5,0 pontos) 5 ENC 2003 MATEM TICA Quest o 10 Padr o de Resposta Esperado a) De acordo com os PCN, os jogos 1) s o objetos socioculturais em que a Matem tica est presente; 2) s o atividades naturais no desenvolvimento dos processos psicol gicos b sicos; 3) exploram o fazer sem obriga o externa e imposta ; 4) podem ser usados, para crian as, como jogos de exerc cios para atenuar a dificuldade com a repeti o de atividades; 5) ajudam no trabalho com s mbolos, conven es e regras; 6) desenvolvem a percep o da depend ncia da jogada do outro, o que d lugar a um tipo de an lise mais profunda, com estudo de v rios casos; 7) representam uma conquista cognitiva, emocional, moral e social; 8) constituem um desafio genu no e provocante que gera interesse e prazer. (valor: 5,0 pontos) b) Se o primeiro jogador escolhe x, 1 x 7, a soma passar a ser 32 + x. Essa soma est compreendida entre 33 (inclusive) e 39 (inclusive). Bastar ao segundo jogador escolher 8 x, o que permitido porque 8 x est compreendido entre 1 (inclusive) e 7 (inclusive), e anunciar a soma 32 + x + 8 x = 40, ganhando o jogo. (valor: 5,0 pontos) c) 3 2 posi o ganhadora, conforme exposto no item anterior. Racioc nio an logo mostra que s o ganhadoras as posi es 24, 16, 8. O segundo jogador pode ganhar sempre, respondendo a cada escolha x do advers rio com a escolha 8 x. (valor: 5,0 pontos) d) Progress es aritm ticas. (valor: 5,0 pontos) Quest o 11 Padr o de Resposta Esperado Nessa quest o, espera-se que o formando escolha uma estrat gia e defenda coerentemente essa estrat gia. Por exemplo: Uma poss vel justificativa para o in cio do estudo da Geometria pelos objetos tridimensionais que estes s o parte integrante da realidade do aluno: ele lida com caixas, joga bola, usa latas, etc. A aprendizagem se torna mais f cil ao lidar com objetos concretos do que com abstra es, as quais n o devem preceder os exemplos concretos. A partir da s o introduzidas as figuras de dimens o menor como faces, arestas e v rtices de poliedros, etc. A ordem de Euclides permite mais facilmente um encadeamento l gico. Uma poss vel justificativa para a ordem de Euclides que o aluno tamb m lida com paredes, tampos de mesas, letras, etc. que servem como modelos concretos de conceitos abstratos. (valor: 20,0 pontos) Quest o 12 Padr o de Resposta Esperado a) Cabri (programa franc s Cabri G om tre), GEOPLAN, Geometer s Sketchpad, Cinderella, Geometric SuperSupposer, Geometry Inventor s o alguns deles. Em linhas gerais, cada um deles, de acordo com seus recursos, tra a figuras como se us ssemos r gua e compasso; permite a transforma o de figuras, mantendo propriedades selecionadas e fornece medidas. (valor: 10,0 pontos) b) Dever o ser indicadas duas vantagens, como por exemplo: seu car ter explorat rio; a facilidade de construir uma grande quantidade de exemplos, com escalas mais precisas; visualiza o do resultado da aplica o de transforma es. (valor: 5,0 pontos) c) Poder ser apresentado qualquer dos exemplos a seguir. Num tri ngulo is sceles, a altura, a mediana e a mediatriz relativas ao lado diferente coincidem. Em qualquer tri ngulo, as alturas relativas aos 3 lados se encontram num mesmo ponto . Propriedades an logas para bissetrizes, medianas e mediatrizes. Um quadril tero com 4 lados congruentes pode n o ter os 4 ngulos congruentes. Um tri ngulo com os 3 lados congruentes tem, necessariamente, os 3 ngulos congruentes. Num plano, o lugar geom trico dos pontos cuja soma da dist ncia a dois outros constante uma elipse. (valor: 5,0 pontos) 6

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