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Enade Exame de 2005 - PROVAS - Matemática

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FORMA O GERAL Q U ES T O 1 Q U ES T O 3 Est em discuss o, na sociedade brasileira, a possibilidade de uma reforma pol tica e eleitoral. Fala-se, entre outras propostas, em financiamento p blico de campanhas, fidelidade partid ria, lista eleitoral fechada e voto distrital. Os dispositivos ligados As a es terroristas cada vez mais se propagam pelo mundo, havendo ataques em v rias cidades, em todos os continentes. Nesse contexto, analise a seguinte not cia: obrigatoriedade de os candidatos fazerem declara o p blica de bens e prestarem contas dos gastos devem ser aperfei oados, os rg os p blicos de fiscaliza o e controle podem ser equipados No dia 10 de mar o de 2005, o Presidente de Governo da Espanha, Jos Luis Rodriguez Zapatero, em confer ncia sobre o e refor ados. terrorismo, ocorrida em Madri para lembrar os atentados do dia Com base no exposto, mudan as na legisla o eleitoral poder o representar, como principal aspecto, um refor o da 11 de mar o de 2004, assinalou que os espanh is encheram as ruas em sinal de dor e solidariedade e, dois dias depois, encheram A pol tica, porque garantir o a sele o de pol ticos experientes as urnas, mostrando, assim, o nico caminho para derrotar o terrorismo: a democracia . Tamb m proclamou que n o existe e id neos. B economia, porque incentivar o gastos das empresas p blicas e privadas. C moralidade, porque inviabilizar o candidaturas despreparadas libi para o assassinato indiscriminado. Zapatero afirmou que n o h pol tica, nem ideologia, resist ncia ou luta no terror, s h o vazio da futilidade, a inf mia e a barb rie. Tamb m defendeu a intelectualmente. D tica, porque facilitar o o combate corrup o e o est mulo transpar ncia. E cidadania, porque permitir o a amplia o do n mero de cidad os com direito ao voto. comunidade isl mica, lembrando que n o se deve vincular esse fen meno com nenhuma civiliza o, cultura ou religi o. Por esse motivo, apostou na cria o pelas Na es Unidas de uma alian a de civiliza es, para que n o se continue ignorando a pobreza Q U ES T O 2 extrema, a exclus o social ou os Estados falidos, que constituem, Leia e relacione os textos a seguir. segundo ele, um terreno f rtil para o terrorismo . Isabel Mancebo. Madri fecha confer ncia sobre terrorismo e r e l e m b r a o s m o r t os d e 1 1- M . D isp o n ve l e m: ht t p ://w w w 2 . r nw . n l/ r n w /p t /a t u a lid a d e /e uro p a / a t 0 5 0 3 1 1 _ onzedemarco?Acesso em Set. 2005 (com adapta es). O Governo Federal deve promover a inclus o digital, pois a falta de acesso s tecnologias digitais acaba socialmente o por excluir cidad o, A principal raz o, indicada pelo governante espanhol, para que em haja tais iniciativas do terror est explicitada na seguinte especial a juventude. afirma o: Projeto Casa Brasil de inclus o digital come a em 2004. In: Mariana Mazza. JB online. A O desejo de vingan a desencadeia atos de barb rie dos Comparando a proposta acima com a charge, pode-se concluir que A o conhecimento da tecnologia digital est democratizado no B a preocupa o social preparar quadros para o dom nio da inform tica. C o apelo inclus o digital atrai os jovens para o universo da C A desigualdade social existente em alguns pa ses alimenta o terrorismo. D O choque de civiliza es aprofunda os abismos culturais computa o. D o acesso tecnologia digital est perdido para as comunidades carentes. E a dificuldade de acesso ao mundo digital torna o cidad o um ENADE 2005 B A democracia permite que as organiza es terroristas se desenvolvam. Brasil. exclu do social. terroristas. entre os pa ses. E A intoler ncia gera medo e inseguran a criando condi es para o terrorismo. rea: MATEM TICA 1 Q U ES T O 4 Laerte. O c ondom nio . Laerte. O c ondom nio . Internet: <http://www2.uol.com.br/laerte/tiras/index-condom nio.html>. As duas charges de Laerte s o cr ticas a dois problemas atuais da sociedade brasileira, que podem ser identificados A B C D E pela pela pela pela pela crise crise crise crise crise na sa de e na seguran a p blica. na assist ncia social e na habita o. na educa o b sica e na comunica o. na previd ncia social e pelo desemprego. nos hospitais e pelas epidemias urbanas. Q U ES T O 5 Leia trechos da carta-resposta de um cacique ind gena sugest o, feita pelo governo do estado da Virg nia (EUA), de que uma tribo de ndios enviasse alguns jovens para estudar nas escolas dos brancos. (...) N s estamos convencidos, portanto, de que os senhores desejam o nosso bem e agradecemos de todo o cora o. Mas aqueles que s o s bios reconhecem que diferentes na es t m concep es diferentes das coisas e, sendo assim, os senhores n o ficar o ofendidos ao saber que a vossa id ia de educa o n o a mesma que a nossa. (...) Muitos dos nossos bravos guerreiros foram formados nas escolas do Norte e aprenderam toda a vossa ci ncia. Mas, quando eles voltaram para n s, eram maus corredores, ignorantes da vida da floresta e incapazes de suportar o frio e a fome. N o sabiam ca ar o veado, matar o inimigo ou construir uma cabana e falavam nossa l ngua muito mal. Eles eram, portanto, in teis. (...) Ficamos extremamente agradecidos pela vossa oferta e, embora n o possamos aceit -la, para mostrar a nossa gratid o, concordamos que os nobres senhores de Virg nia nos enviem alguns de seus jovens, que lhes ensinaremos tudo que sabemos e faremos deles homens. Carlos Rodrigues Brand o. O que educa o. S o Paulo: Brasiliense, 1984. A rela o entre os dois principais temas do texto da carta e a forma de abordagem da educa o privilegiada pelo cacique est representada por: A B C D E sabedoria e pol tica / educa o difusa. identidade e hist ria / educa o formal. ideologia e filosofia / educa o superior. ci ncia e escolaridade / educa o t cnica. educa o e cultura / educa o assistem tica. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 2 Q U ES T O 6 Q U ES T O 7 La Vanguardia, 4/12/2004. O referendo popular uma pr tica democr tica que vem sendo exercida em alguns pa ses, como exemplificado, na charge, pelo Colec o Roberto Marinho. Seis d cadas da arte moderna brasileira. Lisboa: Funda o Calouste Gulbenkian, 1989. p. 53. caso espanhol, por ocasi o da vota o sobre a aprova o ou n o da Constitui o Europ ia. Na charge, pergunta-se com A cidade retratada na pintura de Alberto da Veiga Guignard est tematizada nos versos destaque: Voc aprova o tratado da Constitui o Europ ia? , A sendo apresentadas v rias op es, al m de haver a possibilidade de dupla marca o. Por entre o Beberibe, e o oceano Em uma areia s fia, e lagadi a Jaz o Recife povoa o mesti a, Que o belga edificou mpio tirano. Greg rio de Matos. Obra po tica. Ed. James Amado. Rio de Janeiro: Record, v. II, 1990. p. 1.191. B A c r tica c ontida na charge indica que a pr tica do referendo deve Repousemos na pedra de Ouro Preto, Repousemos no centro de Ouro Preto: S o Francisco de Assis! igreja ilustre, acolhe, tua sombra irm , meus membros lassos. Murilo Mendes. Poesia completa e prosa. Org. Luciana Stegagno Picchio. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1994, p. 460. C A ser recomendada nas situa es em que o plebiscito j tenha ocorrido. B apresentar uma vasta gama de op es para garantir seu car ter democr tico. Bembelel m Viva Bel m! Bel m do Par porto moderno integrado na equatorial Beleza eterna da paisagem Bembelel m Viva Bel m! Manuel Bandeira. Poesia e prosa. Rio de Janeiro: Aguilar, v. I, 1958, p. 196. D C ser precedida de um amplo debate pr vio para o esclarecimento da popula o. Bahia, ao inv s de arranha-c us, cruzes e cruzes De bra os estendidos para os c us, E na entrada do porto, Antes do Farol da Barra, O primeiro Cristo Redentor do Brasil! Jorge de Lima. Poesia completa. Org. Alexei Bueno. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1997. p. 211. D significar um tipo de consulta que possa inviabilizar os E rumos pol ticos de uma na o. E ser entendida como uma estrat gia dos governos para No cimento de Bras lia se resguardam maneiras de casa antiga de fazenda, de copiar, de casa-grande de engenho, enfim, das casaronas de alma f mea. Jo o Cabral Melo Neto. Obra completa. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1994, p. 343. manter o exerc cio da soberania. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 3 Q U ES T O 8 D IS C U R S IV A Agora vero. Deu na imprensa internacional, com base cient fica e fotos de sat lite: a continuar o ritmo atual da devasta o e a incompet ncia pol tica secular do Governo e do povo brasileiro em cont -las, a Amaz nia desaparecer em menos de 200 anos. A ltima grande floresta tropical e refrigerador natural do nico mundo onde vivemos ir virar deserto. Internacionaliza o j ! Ou n o seremos mais nada. Nem brasileiros, nem terr queos. Apenas uma lembran a vaga e infeliz de vida breve, vida louca, daqui a dois s culos. A quem possa interessar e ouvir, assinam essa declara o: todos os rios, os c us, as plantas, os animais, e os povos ndios, caboclos e universais da Floresta Amaz nica. Dia cinco de junho de 2005. Dia Mundial do Meio Ambiente e Dia Mundial da Esperan a. A ltima. Felis Concolor. Amaz nia? Internacionaliza o j ! In: JB ecol gico. Ano 4, n. 41, jun./2005, p. 14-5 (com adapta es). JB Ecol gico. JB, Ano 4, n. 41, jun./2005, p.21. A tese da internacionaliza o, ainda que circunstancialmente possa at ser mencionada por pessoas preocupadas com a regi o, longe est de ser solu o para qualquer dos nossos problemas. Assim, escolher a Amaz nia para demonstrar preocupa o com o futuro da humanidade louv vel se assumido tamb m, com todas as suas conseq ncias, que o inaceit vel processo de destrui o das nossas florestas o mesmo que produz e reproduz diariamente a pobreza e a desigualdade por todo o mundo. Se assim n o for, e a prevalecer mera motiva o da propriedade , ent o seria justific vel tamb m propor devaneios como a internacionaliza o do Museu do Louvre ou, quem sabe, dos po os de petr leo ou ainda, e neste caso n o totalmente desprovido de raz o, do sistema financeiro mundial. Sim o Jatene. Preconceito e pretens o. In: JB ecol gico. Ano 4, n. 42, jul./2005, p. 46-7 (com adapta es). A partir das id ias presentes nos textos acima, expresse a sua opini o, fundamentada em dois argumentos, sobre a melhor maneira de se preservar a maior floresta equatorial do planeta. (valor: 10,0 pontos) RASCUNHO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ENADE 2005 rea: MATEM TICA 4 Q U ES T O 9 D IS C U R S IV A Nos dias atuais, as novas tecnologias se desenvolvem de forma acelerada e a Internet ganha papel importante na din mica do cotidiano das pessoas e da economia mundial. No entanto, as conquistas tecnol gicas, ainda que representem avan os, promovem conseq ncias amea adoras. Leia os gr ficos e a situa o-problema expressa por meio de um di logo entre uma mulher desempregada, procura de uma vaga no mercado de trabalho, e um empregador. Situa o-problema < m ulher : Tenho 43 anos, n o tenho curso superior completo, mas tenho certificado de conclus o de secretariado e de estenografia. < e mpregador : Qual a abrang ncia de seu conhecimento sobre o uso de computadores? Quais as linguagens que voc domina? Voc sabe fazer uso da Internet? < m ulher : N o sei direito usar o computador. Sou de fam lia pobre e, como preciso participar ativamente da despesa familiar, com dois filhos e uma m e doente, n o sobra dinheiro para comprar um. < e mpregador : Muito bem, posso, quando houver uma vaga, oferecer um trabalho de recepcionista. Para trabalho imediato, posso oferecer uma vaga de copeira para servir cafezinho aos funcion rios mais graduados. Acesso Internet Apresente uma conclus o que pode ser extra da da an lise a) dos dois gr ficos; ( valor: 5,0 pontos) b) da situa o-problema, em rela o aos gr ficos. ( valor: 5,0 pontos) RASCUNHO item a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ENADE 2005 rea: MATEM TICA 5 RASCUNHO item b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q U E S T O 1 0 D IS C U R S IV A Vilarejos que afundam devido ao derretimento da camada congelada do subsolo, uma explos o na quantidade de insetos, n meros recorde de inc ndios florestais e cada vez menos gelo esses s o alguns dos sinais mais bvios e assustadores de que o Alasca est ficando mais quente devido s mudan as clim ticas, disseram cientistas. As temperaturas atmosf ricas no estado norte-americano aumentaram entre 2 oC e 3 oC nas ltimas cinco d cadas, segundo a Avalia o do Impacto do Clima no rtico, um estudo amplo realizado por pesquisadores de oito pa ses. Folha de S. Paulo, 28/9/2005. O aquecimento global um fen meno cada vez mais evidente devido a in meros acontecimentos que, como os descritos no texto, t m afetado toda a humanidade. Apresente duas sugest es de provid ncias a serem tomadas pelos governos que tenham como objetivo minimizar o processo de aquecimento global. ( valor: 10,0 pontos) RASCUNHO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ENADE 2005 rea: MATEM TICA 6 COMPONENTE ESPEC FICO Q U EST O 1 1 Q U EST O 1 2 Um restaurante do tipo s elf-service o ferece 3 op es de entrada, 5 de prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor sua refei o com exatamente 1 entrada, 2 pratos principais e 2 sobremesas. De quantas maneiras diferentes esse cliente poder compor a sua refei o? A B C D E 4. 5. 12. 60. 180. Q U EST O 1 3 Considere a progress o geom trica 1, , , ... , , ..., e denote por S n a soma de seus n p rimeiros termos. Ao se levar em conta A transposi o do rio S o Francisco um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente popula o beneficiada e quantidade de gua a ser retirada o que poderia prejudicar a vaz o do rio, que hoje de 1.850 m 3/s. Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matem tica prop s a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Minist rio da Integra o Nacional. Considere que o projeto prev a retirada de x m 3/s de gua. que, para x 1 , , conclui-se que o maior n mero inteiro positivo n p ara o qual *S n ! 2 * > A B C D E i gual a 3. 4. 5. 6. 7. Q U EST O 1 4 Considere P ( x ) = (m 4 )( m 2 + 4 ) x 5 + x 2 + k x + 1 u m polin mio na vari vel x , em que m e k s o constantes reais. Assinale a op o que apresenta condi es a serem satisfeitas pelas constantes m e k p ara que P ( x ) n o admita raiz real. Denote por y o c usto total estimado da obra, em bilh es de reais, e por z o n mero, em milh es, de habitantes que ser o beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obt m-se o sistema de equa es lineares AX = B, em que A B C D E m m m m m = = = = = 4 e !2 < k < 2 !4 e k > 2 !2 e !2 < k < 2 4ek<2 !2 e k > !2 R A SC U N H O , e . Com base nessas informa es, assinale a op o correta. A O sistema linear proposto pelo professor indeterminado, uma vez que det(A) = 0. B A transposi o proposta vai beneficiar menos de 11 milh es de habitantes. C Mais de 2% da vaz o do rio S o Francisco ser o retirados com a transposi o, o que pode provocar s rios danos ambientais. D O custo total estimado da obra superior a 4 bilh es de reais. E A matriz linha reduzida forma escalonada, que linha equivalente matriz A, possui uma coluna nula. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 7 Q U EST O 1 5 Q U EST O 1 7 Um professor prop s a seguinte situa o-problema em sala de Considere a pir mide OABCD de aula: altura OA e paralelogramo cuja ABCD. base o Considere tamb m o prisma apoiado sobre a base da pir mide e cujos v rtices superiores s o os pontos m dios das arestas concorrentes no v rtice O. Represente por V 1 o volume da Considere que a figura acima represente um terreno pir mide OABCD e por V 2 o volume do prisma. A respeito dessa retangular MOVT e que R e Q sejam, respectivamente, os situa o, um estudante do ensino m dio escreveu o seguinte: pontos m dios dos lados MT e OV. Estabele a as condi es A raz o necess rias e suficientes para que o terreno esteja dividido independe de a base da pir mide OABCD ser em quatro reas iguais. um ret ngulo ou um paralelogramo qualquer Q ual das op es abaixo responde corretamente indaga o do porque professor? OAB um tri ngulo ret ngulo. A Os segmentos NP e SU s o paralelos. B MN = UV. Com rela o ao que foi escrito pelo estudante, correto afirmar C MN = RS = PQ e NP e SU s o paralelos. que D NPUS um paralelogramo e RS = PQ. A as duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda E M = N; P = Q; U = V e R = S. uma justificativa correta da primeira. Q U EST O 1 6 B as duas asser es s o proposi es verdadeiras, mas a segunda n o uma justificativa da primeira. C a primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D a primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E ambas as asser es s o proposi es falsas. Considere o ret ngulo Q 0, ilustrado acima e a partir dele, construa a seq ncia de quadril teros Q 1, Q 2, Q 3, ..., de tal modo que, para R A SC U N H O i $ 1 , os v rtices de Q i s o os pontos m dios dos lados de Q i ! 1. Representando por a ( Q i) a rea do quadril tero Q i, julgue os itens que se seguem. I A subseq ncia de quadril teros Q 1, Q 3, Q 5, ..., correspondente aos ndices mpares, formada somente por paralelogramos. II O quadril tero Q 6 u m ret ngulo. III Para i $ 1 , A ssinale a op o correta. A Apenas um item est certo. B Apenas os itens I e II est o certos. C Apenas os itens I e III est o certos. D Apenas os itens II e III est o certos. E Todos os itens est o certos. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 8 Q U EST O 1 8 Q U EST O 2 2 As equa es x 2 + y 2 + 4 x 4 y + 4 = 0 e x 2 + y 2 2 x + 2 y + 1 = 0 representam, no plano cartesiano x O y , as circunfer ncias C 1 e C 2, respectivamente. Nesse caso, as duas circunfer ncias t m exatamente 2 pontos em comum. a equa o da reta que passa pelos centros de C 1 e C 2 expressa por y = !x + 1 . C os eixos coordenados s o tangentes comuns s duas circunfer ncias. D o raio da circunfer ncia C 1 o t riplo do raio da circunfer ncia C 2. E as duas circunfer ncias est o contidas no primeiro quadrante do plano cartesiano x O y . A B Q U EST O 1 9 O mandato do reitor de uma universidade come ar no dia 15 de novembro de 2005 e ter dura o de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Nessa situa o, conclui-se que o ltimo dia do mandato desse reitor ser no(a) A B C D E sexta-feira. s bado. domingo. segunda-feira. ter a-feira. No espa o R 3, considere os planos P 1 e P 2 d e equa es P 1: 5 x + y + 4 z = 2 e P 2: 15 x + 3 y + 1 2 z = 7 . Um estudante de c lculo, ao deparar-se com essa situa o, escreveu o seguinte: Os planos A1 e A2 s o paralelos porque o vetor de coordenadas (10, 2, 8) um vetor n o-nulo e normal a ambos os planos. Com rela o ao que foi escrito pelo estudante, correto afirmar que A as duas asser es s o proposi es verdadeiras, e a segunda uma justificativa da primeira. B as duas asser es s o proposi es verdadeiras, mas a segunda n o uma justificativa da primeira. C a primeira asser o uma proposi o verdadeira, e a segunda falsa. D a primeira asser o uma proposi o falsa, e a segunda verdadeira. E ambas as asser es s o proposi es falsas. R A SC U N H O Leia o texto a seguir para responder s quest es 20 e 21 . Desenha-se no plano complexo o tri ngulo T c om v rtices nos pontos correspondentes aos n meros complexos z 1, z 2 e z 3, que s o ra zes c bicas da unidade. Desenha-se tamb m o tri ngulo S , com v rtices nos pontos correspondentes aos n meros complexos w 1, w 2 e w 3, que s o ra zes c bicas complexas de 8. Q U EST O 2 0 Com base no texto acima, assinale a op o correta. u m dos v rtices do tri ngulo T . A B u m dos v rtices do tri ngulo S . C w 1z 1 r aiz da equa o x 6 1 = 0 . D Se w 1 = 2 , ent o . E Se z 1 = 1 , ent o z 2 o c onjugado complexo de z 3. Q U EST O 2 1 Na situa o descrita no texto, se a a rea de T e s e a N a rea de S , ent o A aN = 8a. B a N = 6 a. C aN = 4a. D aN = . E aN = 2a. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 9 Q U EST O 2 3 Q U EST O 2 6 A respeito da solu o de equa es em estruturas alg bricas, assinale a op o incorreta . Considere f : [ 0, 4) R u ma fun o cujo gr fico est representado na figura a seguir. A Em um grupo ( G , ), a equa o a X = b tem solu o para quaisquer a e b p ertencentes a G . B Em um anel ( A , +, ), a equa o a + X = b tem solu o para quaisquer a e b p ertencentes a A . C Em um anel ( A , +, ), a equa o a X = b tem solu o para quaisquer a e b p ertencentes a A . D Em um corpo ( K , +, ), a equa o a X = b tem solu o para quaisquer a e b p ertencentes a K , a 0 . E Em um corpo ( K , +, ), a equa o a X + b = c tem solu o para quaisquer a , b e c p ertencentes a K , a 0 . Assinale a op o que melhor representa o gr fico da fun o Q U EST O 2 4 Observe as figuras abaixo. . A B C Podem ser imagem da figura A por alguma transforma o linear T : R 2 R 2 a penas as figuras A B C D E I, III e IV. III, IV e VI. I, II, IV e V. I, II, V e VI. II, III, V e VI. D Q U EST O 2 5 A respeito da fun o f( x ) = x 3 ! 2 x 2 + 5 x + 1 6, correto afirmar que A B C D E existe um n mero real M tal que f( x ) $ M p ara todo n mero real x . existe um n mero real N tal que f( x ) # N p ara todo n mero real x . existe um n mero real x 0 < 0 t al que f( x 0) = 0. existe um n mero real y tal que f( x ) y p ara todo n mero real x . existem 3 n meros reais x p ara os quais f( !x ) = f( x ). ENADE 2005 E rea: MATEM TICA 10 R A SC U N H O Q U EST O 2 7 Considere em R 3 u ma bola de centro na origem e raio 4. Em cada ponto ( x , y , z ) dessa bola, a temperatura T uma fun o do ponto, expressa por . N essa situa o, partindo-se de um ponto ( x 0, y 0, z 0) da fronteira da bola e caminhando-se em linha reta na dire o do ponto ( !x 0, !y 0, !z 0), observa-se que a temperatura A B C D E ser m xima nos pontos da fronteira da bola. estar sempre aumentando durante todo o percurso. estar sempre diminuindo durante todo o percurso. atingir o seu maior valor no centro da bola. assumir o seu maior valor em 4 pontos distintos. Q U EST O 2 8 A figura acima ilustra parte do gr fico da fun o definida para (x, y) ent o I 0 2 R. Sabendo que , se a > 0, , julgue os itens a seguir. Os conjuntos C k = { ( x , y ) 0 R 2 : f( x , y ) = k , 0 < k < 1 }, que representam curvas de n vel da fun o f, s o circunfer ncias de centro na origem. II III A fun o f limitada superiormente, mas n o limitada inferiormente. IV . Est o certos apenas os itens A B C D E I e III. II e IV. III e IV. I, II e III. I, II e IV. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 11 Q U E S T O 2 9 D IS C U R S IV A Em um paralelogramo ABCD, considere M o ponto da base AB tal que e E o ponto de interse o do segmento CM com a diagonal BD, conforme figura a seguir. Prove, detalhadamente e de forma organizada, que a rea do tri ngulo BME igual a da rea do paralelogramo ABCD. N o desenvolvimento de sua demonstra o, utilize os seguintes fatos, justificando-os: < os tri ngulos BME e DCE s o semelhantes; < a altura do tri ngulo BM E, relativa base BM , igual a da altura do tri ngulo DCE relativa base DC. ( valor: 10,0 pontos ) RASCUNHO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ENADE 2005 rea: MATEM TICA 12 Q U E S T O 3 0 D IS C U R S IV A Considere f : R R u ma fun o deriv vel at a ordem 2, pelo menos, tal que f( !2) = 0, f( !1) = !1, f(0) = !2, f(1) = 1 e f(2) = 2. O gr fico da derivada de primeira ordem, f N, tem o aspecto apresentado abaixo. Com base nos valores dados para a fun o f e n o gr fico de sua derivada f N, fa a o que se pede nos itens a seguir. a) Na reta abaixo, represente com setas ( valor: 2 ,0 pontos ) b) Calcule: = _ ou ` os intervalos em que a fun o f crescente ou descrescente, respectivamente. = ( valor: 1,0 ponto ) c) Quais s o os pontos de m ximo e de m nimo relativos (locais) de f ? ( valor: 2,0 pontos ) d) Quais s o os pontos de inflex o de f ? (valor: 1,0 ponto ) e) No sistema de eixos coordenados abaixo, fa a um esbo o do gr fico da fun o f. ( valor: 4,0 pontos ) ENADE 2005 rea: MATEM TICA 13 1. A seguir s o apresentadas quest es objetivas e discursivas distribu das do seguinte modo: CURSO N MERO DAS QUEST ES OBJETIVAS DISCURSIVAS LICENCIATURA 31 a 39 40 BACHARELADO 41 a 49 50 2. Voc deve responder apenas s 10 quest es 9 objetivas e 1 discursiva referentes ao curso para o qual voc est inscrito (licenciatura ou bacharelado). As quest es de 31 a 40, a seguir, s o espec ficas para os estudantes de LICENCIATURA Q U EST O 3 1 Q U EST O 3 2 Uma das fontes da hist ria da matem tica eg pcia o papiro Rhind, ou papiro Ahmes (1650 a.C.). Constam desse documento os problemas a seguir. Na aprendizagem da equa o quadr tica, a escola b sica tende a trabalhar exclusivamente com a f rmula conhecida no Brasil como f rmula de Bhaskara. Entretanto, existem outras formula es desde a antiguidade, quando j se podiam identificar Problema 1: Comparar a rea de um c rculo com a rea de um quadrado a ele circunscrito. A seguinte figura faz parte problemas e propostas de solu es para tais tipos de equa o. H da resolu o desse problema. mais de 4.000 anos, na Babil nia, adotavam-se procedimentos que hoje equivalem a expressar uma solu o de x 2 ! b x = c c omo . Euclides (s c. I a.C.), no livro X de sua obra O s Elementos , j propunha uma resolu o geom trica que permite resolver uma equa o quadr tica do tipo a x ! x 2 = b , Problema 2: Exemplo de um corpo redondo de utilizando exclusivamente compasso e r gua n o-graduada. di metro 9. Qual a rea? A respeito de uma proposta de ensino de resolu o de equa o A solu o apresentada pelo escriba pode ser descrita como: quadr tica com o enfoque em procedimentos historicamente < remover constru dos, assinale a op o correta. do di metro; o restante 8; < multiplicar 8 por 8; perfaz 64. Portanto, a rea 64; A Tal proposta desvia a aten o da aprendizagem do foco central do conte do, fazendo que o aluno confunda as O procedimento do escriba permite calcular a rea A de um c rculo de di metro d aplicando a f rmula formula es, . e, por conseq ncia, n o desenvolva compet ncias na resolu o de equa es quadr ticas. B adequada a inser o dessa perspectiva, associada manipula o de recorte e colagem pela complementa o de Com base nessas informa es, julgue os itens a seguir. quadrados, buscando sempre alternativas para as situa es I A figura do problema 1 sugere aproximar a rea de um c rculo rea de um oct gono. que esse procedimento n o consegue resolver. C mais adequado trabalhar o desenvolvimento da resolu o de II O procedimento, no problema 2, fornece uma aproxima o para B, por excesso, correta at a 2.a casa decimal. III De acordo com o procedimento, no problema 2, a rea do c rculo de di metro d igual de um quadrado de lado . equa es incompletas e, posteriormente, por meio da formula o de Bhaskara, manipular as equa es completas, para somente no ensino m dio ampliar tal conhecimento com o enfoque hist rico. Assinale a op o correta. D adequado utilizar tal proposta no ensino, uma vez que ela permite explicar a resolu o de qualquer tipo de equa o A Apenas um item est certo. B Apenas os itens I e II est o certos. C Apenas os itens I e III est o certos. quadr tica. E Tal proposta inexeq vel pelo tempo excessivo que exige do D Apenas os itens II e III est o certos. professor e por retardar a aprendizagem de alunos com E Todos os itens est o certos. dificuldades tanto em lgebra quanto em geometria. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 15 Q U EST O 3 3 Q U EST O 3 4 N o se pode negar que, embora bastante presentes em problemas envolvendo valores monet rios e medidas, os n meros decimais constituem uma dificuldade no processo da aprendizagem matem tica nas escolas. Uma das causas desse problema est na estrutura do curr culo da matem tica na escola b sica. Julgue os itens a seguir, acerca do ensino dos n meros Com o objetivo de chamar a aten o para o desperd cio de gua, um professor prop s a seguinte tarefa para seus alunos da 6. s rie do ensino fundamental: Sabe-se que, em m dia, um banho de 15 minutos consome 136 L de gua, o consumo de gua de uma m quina de lavar roupas de 75 L em uma lavagem completa e uma torneira pingando consome 46 L de gua por dia. Considerando o n mero de banhos e o uso da m quina de lavar, compare a quantidade de gua consumida por sua fam lia durante uma semana com a quantidade de gua que desperdi ada por 2 torneiras pingando nesse per odo. Analise decimais no curr culo da educa o b sica. e comente os resultados. I Os n meros decimais representam uma expans o do sistema de numera o decimal enquanto base decimal e, No que se refere ao trabalho do aluno na resolu o do problema proposto, assinale a op o incorreta . por isso, seu conceito e representa o no curr culo precisam vir articulados expans o da estrutura do sistema A Elabora modelos matem ticos para resolver problemas. decimal. B Analisa criticamente a situa o-problema levando em conta II O ensino dos n meros decimais deve preceder o ensino do quest es sociais. C Pode representar os resultados graficamente. sistema monet rio, uma vez que o conhecimento dos D Aciona estrat gias de resolu o de problemas. decimais no curr culo da educa o b sica um pr - E Examina conseq ncias do uso de diferentes defini es. requisito para a aprendizagem desse conte do. Q U EST O 3 5 III O curr culo de matem tica da escola b sica deve propor, inicialmente, o ensino das fra es com qualquer denominador, para ent o tratar das fra es decimais como um caso espec fico, introduzindo, ent o, os n meros Em uma classe da 6. s rie do ensino fundamental, o professor de matem tica prop s aos alunos a descoberta de planifica es para o cubo, que fossem diferentes daquelas trazidas tradicionalmente nos livros did ticos. Um grupo de alunos produziu a seguinte proposta de planifica o. decimais. IV A a o do aluno em contextos de significado envolvendo valores monet rios e medidas fonte geradora de aprendizagem dos n meros decimais e, portanto, de ensino na escola, em um processo de resgate dos conhecimentos Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso n o era poss vel. Muitas justificativas foram dadas pelos participantes e pr vios dos alunos. est o listadas nas op es abaixo. Assinale aquela que tem fundamento matem tico. S o reflex es apropriadas para a supera o da problem tica da baixa aprendizagem dos n meros decimais na escola apenas as contidas nos itens A N o se podem alinhar tr s quadrados. B Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos quadrados alinhados. A I e II. B I e III. C I e IV. D II e III. E II, III e IV. ENADE 2005 C Quando tr s quadrados est o alinhados, n o se pode mais ter os outros tr s tamb m alinhados. D Cada ponto que corresponder a um v rtice dever ser o encontro de, no m ximo, tr s segmentos, que ser o as arestas do cubo. E Tem de haver quatro quadrados alinhados, e n o importa a posi o de justaposi o dos outros dois quadrados. rea: MATEM TICA 16 Q U EST O 3 6 Q U EST O 3 8 Julgue os itens a seguir, relativos ao ensino e aprendizagem de porcentagens. I O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural como motiva o de aprendizagem. II O primeiro contato dos estudantes com o c lculo percentual deve ocorrer quando se estudam juros compostos. III O ensino de fra es centesimais e o de fra es de quantidade devem ser articulados com o ensino de porcentagens. IV O conte do de porcentagens favorece um trabalho integrado entre diferentes blocos de conte dos, tais como n meros, medidas, geometria e tratamento da informa o. 1. 2. 3. 4. tecla tecla tecla tecla 3 / = Os alunos ficaram surpresos com o n mero que apareceu no visor: 2.9999999996 e resolveram questionar o professor sobre o acontecido. Afinal, a resposta n o deveria ser 3? Assinale a op o que mais adequadamente descreve um procedimento a ser adotado pelo professor. Est o certos apenas os itens A B C D E Um grupo de alunos de 7. s rie resolveu brincar de fazer c lculos utilizando uma calculadora n o-cient fica. Em determinado momento, eles realizaram a seguinte seq ncia de procedimentos: I e II. II e III. III e IV. I, II e III. I, III e IV. Q U EST O 3 7 comum alunos do ensino m dio conhecerem a demonstra o do teorema de Pit goras feita no livro I de O s Elementos d e Euclides. Nela, usa-se o fato de que todo tri ngulo ret ngulo ABC, de catetos a e b e h ipotenusa c , est inscrito em um semic rculo. Demonstra-se que as proje es m e n d e AB e AC sobre a hipotenusa satisfazem rela o m n = h 2, em que h a a ltura do tri ngulo. Por meio das rela es de proporcionalidade entre os lados dos tri ngulos ABD, CAD e CBA, prova-se que a 2 + b 2 = c 2. A Confrontar a resposta obtida com a de uma calculadora cient fica, discutindo a diferen a entre os conceitos de n meros racionais, aproxima es e n meros irracionais. B Dizer que a calculadora n o-cient fica comete erros, por isso, n o deve ser utilizada na escola, mas apenas no com rcio, para se fazer conta simples, que n o envolva c lculos aproximados. C Montar a express o num rica que representa a situa o, mostrando que, na verdade, h erros procedimentais por parte dos alunos ao operarem com a calculadora. D Provar que, se a calculadora n o-cient fica tivesse o dobro de casas decimais, ao final, ela arredondaria para 3, dando a resposta esperada. E Dizer que a calculadora cient fica faz os devidos arredondamentos para que a resposta seja algebricamente correta; por isso, considerada cient fica . Q U EST O 3 9 Um aluno de 5. s rie, ao fazer a opera o 63787 3 na resolu o de um problema, foi considerado em situa o de dificuldade , ao apresentar o seguinte registro: Al m de demonstrar o teorema de Pit goras, o professor pode, ainda, com essa estrat gia, demonstrar que I poss vel construir, com r gua e compasso, a m dia geom trica entre dois n meros reais m e n . II poss vel construir, com r gua e compasso, um quadrado de mesma rea que a de um ret ngulo de lados m e n . III todos os tri ngulos ret ngulos que aparecem na figura s o semelhantes. Assinale a op o correta. A B C D E Apenas um item est certo. Apenas os itens I e II est o certos. Apenas os itens I e III est o certos. Apenas os itens II e III est o certos. Todos os itens est o certos. ENADE 2005 A an lise do procedimento desse aluno revela que A ele n o sabe o algoritmo da divis o, o que indica problemas de aprendizagem oriundos das s ries iniciais. B o procedimento aplicado n o traz contribui es para o desenvolvimento matem tico do aluno, uma vez que ele n o poder realiz -lo em outras situa es matem ticas. C o aluno ter dificuldade de compreender os processos operat rios dos colegas e os feitos pelo professor ou apresentados no livro did tico. D o aluno compreendeu tanto a estrutura do n mero quanto o conceito da opera o de divis o. E dever ser incentivada a utiliza o de tal procedimento somente em produ es individualizadas, como em atividades para casa. rea: MATEM TICA 17 Q U E S T O 4 0 D IS C U R S IV A Em uma avalia o de matem tica de 5. s rie, a situa o proposta exigia que fosse calculado o quociente entre 8 e 7. O professor observou que uma aluna registrou o seguinte. A partir da an lise dessa situa o, responda s seguintes quest es. a) Qual o erro da aluna na sua produ o matem tica? ( valor: 2,0 pontos ) b) Que fatores pedag gicos fazem com que tal erro seja gerado? ( valor: 4,0 pontos ) c) Que tipo de interven o pode realizar o professor para que essa aluna reflita sobre o erro cometido e supere tal dificuldade? ( valor: 4,0 pontos ) RASCUNHO item a) 1 2 3 4 5 RASCUNHO item b) 1 2 3 4 5 RASCUNHO item c) 1 2 3 4 5 ENADE 2005 rea: MATEM TICA 18 As quest es de 41 a 50, a seguir, s o espec ficas para os estudantes do BACHARELADO Q U EST O 4 1 Q U EST O 4 4 Considerando p ( x ) = x 5 + 2 x 2 + 2 x + 2 , q ( x ) = x 4 1 6 e definindo os an is quocientes A 1 = Q [ x ] / < p ( x )> e A 2 = Q [ x ] / < q ( x )>, em que Q[ x ] denota o anel de polin mios sobre Q na vari vel x e < f( x )> representa o ideal de Q[ x ] gerado pelo polin mio f( x ), O que correto afirmar a respeito de um operador linear T : R 3 R 3 q ue possua os n meros 2 e 3 como nicos autovalores? A Pode existir uma base de R 3 n a qual a matriz desse operador da forma . assinale a op o correta. B Existe base de R 3 n a qual a matriz desse operador tem uma A De acordo com o crit rio de Eisenstein, os polin mios p ( x ) e q ( x ) s o irredut veis. B O ideal < q ( x )>, gerado pelo polin mio q ( x ), maximal. linha nula. C Existe uma base de R 3 n a qual a matriz desse operador da forma . C Os an is quocientes A 1 e A 2 s o corpos. D Somente o anel quociente A 1 c orpo. D poss vel que o auto-espa o associado a algum dos autovalores de T tenha dimens o 2. E O polin mio caracter stico de T igual a (8!2) ( 8!3). E O anel quociente A 1 a dmite divisores de zero. Q U EST O 4 2 R A SC U N H O Considere a e b d ois n meros inteiros positivos primos entre si e f : Z Z /aZ Z /bZ x K ( x 1, x 2), em que x 1 / x ( mod a ) e x 2 / x ( mod b ). Com rela o a essa fun o, assinale a op o incorreta . A f u m homomorfismo de an is. B f u ma fun o sobrejetora. C O n cleo de f o ideal de Z g erado por a b . D f u m isomorfismo de an is. E f induz um isomorfismo entre Z /abZ e Z /aZ Z /bZ . Q U EST O 4 3 Se G u m grupo multiplicativo de ordem n e H u m subgrupo de G , de ordem m , ent o A mdc( m , n ) = 1. B H tem um gerador de ordem m . C o ndice de H e m G igual a m n . D m d ivisor de n . E o grupo quociente G /H a beliano. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 19 Q U EST O 4 5 R A SC U N H O Uma fun o f : R R c hamada homog nea de grau k s e f ( tx ) = tk f ( x ), para todo n mero real t e p ara todo vetor x d e R n. Se uma fun o diferenci vel f h omog nea de grau k , ent o poss vel mostrar que n kf ( x ) = Lf ( x ) @ x , x 0 R n. Essa igualdade chamada identidade de Euler. Sabendo que, em cada ponto da superf cie da esfera unit ria, o vetor normal unit rio exterior o pr prio vetor posi o, analise os seguintes p asso s utiliz ad o s na o b te n o d a in te gra l d e superf cie passo I: . A integral de superf cie pode ser reescrita como . passo II: A integral obtida no passo I igual a passo III: . Calculando-se essa ltima integral, obt m-se 4 B c omo resultado. Assinale a op o correta acerca desses procedimentos. A No passo I, utilizou-se a identidade de Euler indevidamente, j que a fun o que se quer integrar n o homog nea. B No passo II, o integrando o produto interno do gradiente da fun o f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + x y c om um vetor unit rio pertencente ao plano tangente superf cie da esfera unit ria. C Na passagem de I para II, utilizou-se o teorema de Stokes, e, para isso, n = (x , y , z ) foi tomado como vetor normal superf cie da esfera unit ria. D Para se obter a express o do passo II, utilizou-se a rela o L@Lf = )f, isto , o divergente do gradiente de uma fun o o laplaciano dessa fun o. E No passo III, considerou-se que a integral tripla do passo II igual rea da superf cie da esfera unit ria. Q U EST O 4 6 Analise as proposi es abaixo a respeito de duas fun es anal ticas f e g : C C. I Se , para todo n mero natural n , ent o f ( z ) = 0, para todo n mero complexo z . II Se g ( z ) = 0 para todo n mero complexo z e m algum subconjunto de C que possui ponto de acumula o, ent o g ( z ) = 0, para todo n mero complexo z . Nesse caso, A as proposi es I e II s o verdadeiras, sendo que a segunda pode ser usada para justificar a primeira. B as proposi es I e II s o verdadeiras, mas a segunda n o pode ser usada para justificar a primeira. C a proposi o I verdadeira, e a proposi o II falsa. D a proposi o I falsa, e a proposi o II verdadeira. E as proposi es I e II s o falsas. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 20 Q U EST O 4 7 Q U EST O 4 8 Considere um circuito el trico composto por uma fonte com tens o constante de E v olts em s rie com um resistor de resist ncia igual a R o hms e uma bobina de indut ncia de valor L henrys. O comportamento do sistema pode ser descrito pela seguinte equa o diferencial: , em que i( t) a corrente do circuito em fun o do tempo t. Nessas condi es, sabendo que i(0) = 0, assinale a op o que melhor esbo a o comportamento da corrente i( t). Figura I A B Figura II C Figura III As figuras I, II e III ilustram, respectivamente, os gr ficos das D fun es f ( x , y ) = x 2 y 2, g ( x , y ) = x 2 + y 2 e h ( x , y ) = (com ( x , y ) ( 0, 0)). Para as superf cies regulares S 1, S 2 e S 3 determinadas pelos gr ficos de f, g e h , respectivamente, correto afirmar que A S 1 tem curvatura gaussiana nula em p = ( 0, 0, 0). E B S 2 tem um ponto em que a curvatura gaussiana negativa. C S 3 tem curvatura gaussiana nula em todos os pontos. D S 1 tem curvatura gaussiana constante negativa. E S 2 tem curvatura gaussiana constante positiva. ENADE 2005 rea: MATEM TICA 21 Q U EST O 4 9 A figura ao lado representa, no plano cartesiano x O y , uma conjunto fechado R , limitado por uma curva fechada. A figura sim trica em rela o aos eixos O x e O y . Acerca desse conjunto, assinale a op o incorreta . A O conjunto R c onexo por caminhos. B R e st contido no conjunto M 1 = { ( x , y ) R 2; max [ *x *, *y *] # 3 }. C O conjunto dos pontos de acumula o de R u m subconjunto de R . D R s implesmente conexo. E O conjunto M = { ( x , y ) R 2; *x * + *y * # 3 } um subconjunto de R . Q U E S T O 5 0 D IS C U R S IV A A respeito de fun es de vari vel complexa, resolva os itens que se seguem. a) Escreva a fun o complexa f ( z ) = f ( x + i y ) = z 2 !3 z + 5 n a forma f( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) e verifique as equa es de CauchyRiemann para essa fun o. ( valor: 4,0 pontos ) b) Sabendo que , calcule a integral complexa: . ( valor: 6,0 pontos ) RASCUNHO item a item b ENADE 2005 rea: MATEM TICA 22 Q UESTION RIO DE PERCEP O SOBRE A PROVA As quest es a seguir visam obter a sua opini o a respeito da qualidade e da adequa o da prova que voc acabou de realizar. Escolha, em cada um a delas, a op o que m elhor reflete a sua opini o. Use os espa os reservados na folha de respostas para as suas m arca es. Agradecem os a sua colabora o. 1 Qual o grau de dificuldade da prova na parte de 6 form a o geral? As inform a es/instru es fornecidas nos enunciados das quest es foram suficientes para resolv -las? A Muito f cil. A Sim, at excessivamente. B F cil. B Sim, em todas elas. C M dio. D Dif cil. C Sim, na maioria delas. E Muito dif cil. D Sim, somente em algumas. E N o, em nenhuma delas. 2 Qual o grau de dificuldade da prova na parte de form a o espec fica? A Muito f cil. 7 Qual a m aior dificuldade com que voc se deparou ao B F cil. responder a prova? C M dio. A Desconhecimento do conte do. D Dif cil. B Forma diferente de abordagem do conte do. E Muito dif cil. C Espa o insuficiente para responder s quest es. 3 D Falta de motiva o para fazer a prova. Quanto extens o, em rela o ao tem po destinado resolu o, com o voc considera a prova? E N o tive dificuldade para responder prova. A Muito longa. B Longa. C Adequada. 8 Considerando apenas as quest es objetivas da prova, D Curta. voc percebeu que E Muito curta. A n o estudou ainda a maioria dos conte dos avaliados. B estudou apenas alguns dos conte dos avaliados, mas n o 4 Os enunciados das quest es da prova na parte de os aprendeu. form a o geral estavam claros e objetivos? C estudou a maioria dos conte dos avaliados, mas n o os A Sim, todos. aprendeu. B Sim, a maioria. C Apenas cerca da metade. D estudou e aprendeu muitos dos conte dos avaliados. D Poucos. E estudou e aprendeu todos os conte dos avaliados. E N o, nenhum. 5 O s enunciados das quest es da prova na parte de form a o espec fica estavam claros e objetivos? A Sim, todos. 9 Em quanto tem po voc concluiu a prova? A Menos de uma hora. B Entre uma e duas horas. B Sim, a maioria. C Apenas cerca da metade. C Entre duas e tr s horas. D Poucos. D Entre tr s e quatro horas. E N o, nenhum. E Usei as quatro horas e n o consegui terminar. MATEM TICA LICENCIATURA D E C A E C B 1 2 3 4 5 6 7 BACHARELADO D E C A E C B 1 2 3 4 5 6 7 8, 9 e 10 8, 9 e 10 14 D E E A 14 D E E A 15 ANULADA 15 ANULADA 16 E B C B E C B C D C D D E 16 E B C B E C B C D C D D E 11 12 13 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 11 12 13 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 e 30 29 e 30 C B C E D E E A D 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D E D D D A E C E 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

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