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FGV-RJ Vestibular de 2011 : Administração - Matemática Aplicada

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1 O gr fico no plano cartesiano expressa a alta dos pre os m dios de televisores de tela plana e alta defini o, do modelo LCD, full HD, 32 polegadas , antes da Copa do Mundo na frica do Sul e sua queda ap s o in cio. Os pontos A, A e C s o colineares. Demonstre que o pre o m dio desse modelo em agosto de 2010 foi 8,3 % menor, aproximadamente, que o pre o m dio do mesmo modelo em maio de 2010. 1 2 Nos ltimos anos, o sal rio m nimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta b sica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da popula o. O gr fico abaixo ilustra o crescimento do sal rio m nimo e do valor da cesta b sica na regi o Nordeste, a partir de 2005. Suponha que, a partir de 2005, as evolu es anuais dos valores do sal rio m nimo e dos pre os da cesta b sica, na regi o Nordeste, possam ser aproximados mediante fun es polinomiais do 1 grau, f ( x) = ax + b , em que x representa o n mero de anos transcorridos ap s 2005. A Determine as fun es que expressam os crescimentos anuais dos valores do sal rio m nimo e dos pre os da cesta b sica, na regi o Nordeste. B Em que ano, aproximadamente, um sal rio m nimo poder adquirir cerca de tr s cestas b sicas, na regi o Nordeste? D a resposta aproximando o n mero de anos, ap s 2005, ao inteiro mais pr ximo. 2 3 A Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolvia equa es como x + 0,5 x = 30 , por meio de uma regra de tr s, que chamava de regra do falso . Atribu a um valor falso vari vel, por exemplo, x = 10 , 10 + 0,5.10 = 15 e montava a regra de tr s: Valor falso Valor verdadeiro 10 x 15 30 10 x = x = 20 15 30 Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo m todo acima: Uma quantidade, sua metade, seus dois ter os, todos juntos somam 26. Qual a quantidade? B O matem tico italiano Leonardo de Pisa (1170-1240), mais conhecido hoje como Fibonacci, propunha e resolvia, pela regra do falso, interessantes problemas como este: Um le o cai em um po o de 50 1 p s de profundidade. P uma unidade de medida de 7 comprimento. Ele sobe um s timo de um p durante o dia e cai um nono de um p durante a noite. Quanto tempo levar para conseguir sair do po o? Resolva o problema pela regra do falso ou do modo que julgar mais conveniente. Observe que, quando o le o chegar a um s timo de p da boca do po o, no dia seguinte ele consegue sair. 3 4 Ao tentar encontrar a intersec o do gr fico de uma fun o quadr tica com o eixo x , um aluno encontrou as solu es: 2 + i e 2 i . Quais s o as coordenadas do v rtice da par bola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0,5). 4 5 Considere tr s trabalhadores. O segundo e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 10 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem faz -lo em 12 dias, enquanto o primeiro e o segundo, juntos, podem faz -lo em 15 dias. Em quantos dias, os tr s juntos podem fazer o trabalho? 5 6 A Em um laborat rio, uma caixa cont m pequenas pe as de mesma forma, tamanho e massa. As pe as s o numeradas, e seus n meros formam uma progress o aritm tica: 5, 10, 15, ...,500 Se retirarmos ao acaso uma pe a da caixa, qual a probabilidade, expressa em porcentagem, de obtermos um n mero maior que 101? B Explique por que podemos afirmar que 101! + 19 n o um n mero primo. 6 7 O servi o de compras via internet tem aumentado cada vez mais. O gr fico ilustra a venda anual de ebooks, livros digitais, em milh es de d lares nos Estados Unidos. Suponha que as vendas anuais em US$ milh es, possa ser estimada por uma fun o como y = a.e kx , em que x = 0 representa o ano 2002, x = 1 , o ano 2003, e assim por diante; e o n mero de Euler. Assim, por exemplo, em 2002 a venda foi de 7 milh es de d lares. A partir de que ano a venda de livros digitais nos Estados Unidos vai superar 840 milh es de d lares? Use as seguintes aproxima es para estes logaritmos neperianos: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1; ln 5 = 1,6 7 8 A Determine o quarto termo da sequ ncia (a1 , a2 , a3 ,...an ...) dada por: an = 2an 1 + 1 e a1 = 1 , com n > 1. B O jogo A torre de Han i tem sido jogado desde o s culo dezenove. formado por tr s hastes de pl stico, metal ou madeira, diversos an is de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: 1 Somente um anel pode ser movido de cada vez. 2 Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois an is, o menor n mero de movimentos necess rios para transferi-la 3. Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 an is no menor n mero poss vel de movimentos. 8 C O menor n mero de movimentos a n para transferir uma torre de n an is, n > 1, satisfaz a rela o: an + 1 = 2(an 1 + 1). Qual o menor n mero de movimentos necess rios para transferir uma torre com 6 an is? 9 9 A Demonstre que as duas equa es abaixo s o identidades. 1 ( x + y ) 2 2 xy = x 2 + y 2 2 ( x + y ).[( x + y ) 2 3 xy ] = x 3 + y 3 B Um cavalheiro, tentando p r prova a intelig ncia de um aritm tico muito falante, prop s-lhe o seguinte problema: Eu tenho, em ambas as m os, 8 moedas no total. Mas, se eu conto o que tenho em cada m o, os quadrados do que tenho em cada m o, os cubos do que tenho em cada m o, a soma disso tudo o n mero 194. Quantas moedas tenho em cada m o? Mesmo que voc resolva o problema por substitui o e tentativa, fa a o que pedido no item C. C Expresse o problema mediante um sistema de duas equa es com duas vari veis. Resolva o sistema de equa es usando, se julgar conveniente, as identidades do item A. 10 10 A Calcule a rea do losango ABCD cujos v rtices s o os afixos dos n meros complexos: 3, 6 i , -3 e 6 i , respectivamente. B Quais s o as coordenadas dos v rtices do losango A B C D que se obt m girando 90 o losango ABCD, em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-hor rio? C Por qual n mero devemos multiplicar o n mero complexo cujo afixo o ponto B para obter o n mero complexo cujo afixo o ponto B ? Fim da Prova de Matem tica Aplicada 11

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