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FGV-RJ Vestibular de 2008 - Administração e Economia : Matemática Aplicada

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Matem tica Aplicada M dulo Discursivo Vestibular 2008 Administra o Economia | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 1 QUEST O Em um antigo reino, o rei mandou construir uma representa o em miniatura do pal cio real, que ficou perfeita. O que mais chamou a aten o na maquete foi a reprodu o do tapete que decorava o aposento real. O rei ficou t o encantado com essa miniatura que chamou ao pal cio o artes o que o tecera, com a inten o de encomendar-lhe um tapete id ntico quele, em tamanho real. O rei, famoso pela parcim nia nos gastos, antes de ordenar o servi o, quis saber o custo do tapete em miniatura. Duas moedas de ouro, respondeu-lhe o artes o. Uma pelo tapete e outra pelo bordado do contorno. Ent o, pensou o soberano, como as dimens es do meu aposento s o 60 vezes as da miniatura, o tapete, em tamanho real, deve custar 120 moedas de ouro. Mandou fazer. No entanto, na entrega da encomenda, o rei assustou-se com a conta apresentada. Quanto cobrou o artes o pelo tapete? 1 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 2 QUEST O Encontre a rea do tri ngulo ABC, cujos v rtices obedecem s seguintes propriedades: 1 2 3 4 est o sobre a par bola y = 2x 2 13 x + 18 . A e B est o sobre o eixo das abscissas. a abscissa do v rtice C o ponto de m nimo da par bola. as medidas dos lados est o em metros. 2 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 3 QUEST O Na figura ao lado, AB di metro da circunfer ncia de centro O ; M o ponto m dio do raio OB e B o centro da circunfer ncia menor, que passa por M e cujo raio r. Sendo P o ponto de intersec o das circunfer ncias, determine: A a medida de AP em fun o de r. B O cosseno do ngulo POB . 3 P A O M r B | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 4 QUEST O O pitagorismo, fundado pela lend ria figura de Pit goras de Samos (s c VI V a.C.), foi a primeira escola na Hist ria a reverenciar a import ncia do n mero, vislumbrando ser o conhecimento quantitativo mais completo e objetivo que o qualitativo. Disse Filolau, um membro da escola pitag rica: Todas as coisas t m um n mero e nada se pode compreender sem ele . Para dois n meros positivos a e b, os gregos antigos definiram tr s m dias importantes: aritm tica ( M ), geom trica ( G ) e harm nica ( H ), da seguinte forma: a G a M a a H a a = = = ; e M b a H b b G b G A Prove que a m dia harm nica entre dois n meros positivos o inverso da m dia aritm tica dos inversos desses n meros. B Encontre os n meros a e b, sabendo que a m dia aritm tica e a m dia harm nica entre 4 1 eles s o, respectivamente, e. 15 4 C Prove que, se os n meros positivos a, b e c, nessa ordem, s o tais que o inverso do termo m dio a m dia harm nica dos inversos dos extremos, ent o a seq ncia (a, b, c) uma progress o aritm tica. 4 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 5 QUEST O Um programa de TV tem um quadro em que o apresentador exibe uma caixa fechada que cont m um cheque preenchido. Ganhar a quantia equivalente, em dinheiro, o espectador que, por telefone, com um nico palpite, adivinhar o valor do cheque. Decorridos quinze minutos, n o havendo vencedor, o apresentador fornecer as seguintes informa es sobre o valor do cheque, em reais: um n mero inteiro, composto por algarismos distintos, par, n o divis vel por 10, maior que 30 mil e menor que 50 mil. A Conhecidas essas informa es, qual a probabilidade de um espectador ganhar a quantia prometida? B Se, ainda assim, n o houver vencedor, decorridos mais dez minutos de programa, o apresentador dir que aceitar duas tentativas e que o valor do cheque um n mero terminado em 04. Qual a probabilidade de um espectador acertar o valor do cheque na segunda tentativa? 5 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 6 QUEST O Um agricultor vende a um grande fazendeiro os tomates que cultiva, lucrando 20% sobre o custo. O fazendeiro, por sua vez, revende os tomates lucrando, tamb m, 20% sobre o pre o pago, a um intermedi rio que os vende a um grande supermercado e este, ao p blico consumidor, cada um desses dois ltimos lucrando, tamb m, 20% sobre o que pagaram. A Qual o percentual de aumento no pre o do tomate, desde a origem (agricultor) at o consumidor final? B Mantidas as margens de lucro das etapas anteriores, qual deveria ser o ganho percentual aproximado do supermercado, para que o pre o do tomate chegasse ao consumidor final com um aumento de 80% sobre o custo do agricultor? 6 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 7 QUEST O Tr s homens que t m juntos 18 pe as de ouro foram intimados a pagar uma taxa total de 7 pe as de ouro, do seguinte modo: o primeiro, que tem a maior quantia, paga metade dessa quantia; o terceiro, que tem a menor quantia, paga um quarto dessa quantia; e o segundo paga um ter o do que tem. Se juntarmos o triplo do que tem o primeiro com o que tem o segundo, s o 30 pe as de ouro. Qual a taxa que cada um deve pagar? Para resolver este problema, que faz parte da hist ria da Matem tica, proceda do seguinte modo: A Expresse o seu enunciado mediante um sistema de equa es. B D a solu o geral do sistema. C Encontre a solu o particular do problema. 7 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 8 QUEST O Os bi logos consideram que, ao chegar a 100 indiv duos, a extin o de uma esp cie animal inevit vel. A popula o de determinada esp cie animal, amea ada de extin o, diminui segundo a fun o f (t ) = K . a t , na qual K e a s o n meros reais e f(t) indica o n mero de indiv duos dessa esp cie no instante t (em anos). Atualmente (instante t = 0) existem 1 500 indiv duos da esp cie e estima-se que, daqui a 10 anos, haver 750. Caso nenhuma provid ncia seja tomada, mantido tal decrescimento exponencial, daqui a quantos anos ser atingido o n vel de popula o que os bi logos consideram como irrevers vel para a extin o? Para os c lculos, utilize, se necess rio, alguns dos valores da tabela abaixo: n 2 3 7 10 log n 0,30 0,47 0,85 1 8 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 9 QUEST O Considere as fun es reais f (x ) = x x 1 e g (x ) = 1 . x +1 A Represente a fun o composta (f o g ) (x ) = f ( g (x )) no plano cartesiano abaixo. B Determine os conjuntos Dom nio e Imagem dessa fun o. 9 | MATEM TICA APLICADA | GRADUA O | 04/11/2007 | 10 QUEST O Cada unidade de um brinquedo vendida pela ind stria que o fabrica por R$40,00 e a esse pre o s o vendidas, semanalmente, 500 unidades. Empiricamente sabe-se que, a cada R$1,00 de aumento no pre o unit rio do brinquedo, as vendas semanais diminuir o em 10 unidades. A Nessas condi es, qual o valor da receita semanal m xima dessa ind stria? B Se o custo m dio semanal de fabrica o de x unidades desse brinquedo dado pela 3 000 + 32 , determine o lucro semanal obtido pela ind stria na express o: C me (x ) = x condi o de receita m xima. (Entende-se por custo m dio a raz o entre o custo total de produ o e o n mero de unidades produzidas.) 10

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