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UFBA Vestibular de 2010 - PROVAS 2ª FASE - Matemática

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Matem tica QUEST ES de 01 a 06 LEIA CUIDADOSAMENTE O ENUNCIADO DE CADA QUEST O, FORMULE SUAS RESPOSTAS COM OBJETIVIDADE E CORRE O DE LINGUAGEM E, EM SEGUIDA, TRANSCREVA COMPLETAMENTE CADA UMA NA FOLHA DE RESPOSTAS. INSTRU ES: Responda s quest es, com caneta de tinta AZUL ou PRETA, de forma clara e leg vel. Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais mai sculas. O rascunho deve ser feito no espa o reservado junto das quest es. Na Folha de Respostas, identifique o n mero das quest es e utilize APENAS o espa o destinado a cada uma, indicando, DE MODO COMPLETO, AS ETAPAS E OS C LCULOS envolvidos na resolu o da quest o. Ser atribu da pontua o ZERO quest o cuja resposta n o se atenha situa o apresentada ou ao tema proposto; esteja escrita a l pis, ainda que parcialmente; apresente texto incompreens vel ou letra ileg vel. Ser ANULADA a prova que N O SEJA RESPONDIDA NA RESPECTIVA FOLHA DE RESPOSTAS; ESTEJA ASSINADA FORA DO LOCAL APROPRIADO; POSSIBILITE A IDENTIFICA O DO CANDIDATO. Quest o 01 (Valor: 15 pontos) Um quadrado m gico uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, cujas somas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal secund ria t m o mesmo valor, que chamado de constante m gica. Estabele a um sistema de equa es que permita determinar os valores de x, y e z que z + 9 x + 2y + 1 2x + 3 x + 8 um quadrado m gico e calcule esses tornam a matriz A = x + y + 2 y + 8 4z + 5 y z + 1 x + z + 4 valores. RASCUNHO UFBA 2010 2a fase Matem tica 5 Quest o 02 (Valor: 15 pontos) Sabendo-se que o v rtice da par bola de equa o y = a1x2 + a2x + a3 o ponto de interse o das curvas de equa es y = log 1 (2 x 4) e y = 2, e que a1, a2 e a3 s o elementos da 2 progress o geom trica a1, a2, a3, ..., calcule a6. RASCUNHO UFBA 2010 2a fase Matem tica 6 Quest o 03 (Valor: 15 pontos) Sendo z1 e z2 n meros complexos tais que z1 a raiz c bica de 8i que tem afixo no segundo quadrante, z2 satisfaz a equa o x4 + x2 12 = 0 e Im(z2) > 0, calcule 3 z1 +z2 . z2 RASCUNHO UFBA 2010 2a fase Matem tica 7 Quest o 04 (Valor: 15 pontos) senx, 0 x < 2 f(x) = e Dadas as fun es reais 1 + cosx, x 2 determine x, pertencente ao intervalo 0, 2 f x + 2 g(x) = x + 1 + f , x < 0 2 , 0 x 2 2 , tal que [f(x)]2 + g(x) 7 = 0. 4 RASCUNHO UFBA 2010 2a fase Matem tica 8 , Quest o 05 (Valor: 20 pontos) Considerem-se, no plano cartesiano, os subconjuntos A={(x, y) R2 ; x2 + y2 4}, B={(x, y) R2 ; y 3 |x|} e C={(x, y) R2 ; y 2 }. Calcule a rea da regi o definida por A B C. RASCUNHO UFBA 2010 2a fase Matem tica 9 Quest o 06 (Valor: 20 pontos) Sobre um cilindro circular reto C e uma pir mide triangular regular P sabe-se que C tem volume igual a 24 cm3 e rea de cada base igual a 4 cm2, P tem a mesma altura que C e base inscrita em uma base de C. Calcule o volume do tronco dessa pir mide determinado pelo plano paralelo base que dista 2cm do v rtice. RASCUNHO UFBA 2010 2a fase Matem tica 10 Vestibular 2010 2a fase Gabarito Matem tica Quest o 01 (Valor: 15 pontos) Considerando-se Li a soma dos termos da linha i , Cj a soma dos termos da coluna j, Dp a soma dos termos da diagonal principal e Ds a soma dos termos da diagonal secund ria, tem-se L1 = ( 2 x + 3) + ( z + 9 ) + ( x + 2y + 1) = x + 2y + z + 13 L2 = ( x + y + 2 ) + ( y + 8) + ( x + 8 ) = 18 L3 = ( 4z + 5 ) + ( y z + 1 )+ ( x + z + 4) = x + y 4z + 10 C1 = ( 2 x + 3) + ( x + y + 2) + ( 4z + 5 ) = x + y 4z + 10 C2 = ( z + 9 ) + ( y + 8) + ( y z + 1) = 18 C3 = ( x + 2y + 1) + ( x + 8 ) + ( x + z + 4) = x + 2y + z + 13 Dp = ( 2 x + 3) + ( y + 8) + ( x + z + 4) = 3 x y + z + 15 DS = ( 4z + 5 ) + ( y + 8) + ( x + 2y + 1) = x + y 4z + 14 Levando-se em conta que as express es obtidas para L1 e C3, assim como as express es obtidas para L3 e C1, s o iguais, o sistema pedido pode ser reduzido a um m ximo de quatro equa es. Al m disso, todas as somas devem ser iguais e, como, L2 = C2 = 18, tem-se x 2y z 13 18 x y 4z 10 18 3x y z 15 18 x y 4z 14 18 x 2y z x y 4z 3x y z x y 4z 5 8 3 4 Resolvendo o sistema por escalonamento, tem-se 1 2 1 5 12 15 0 1 5 3 11 48 0 7 2 12 3 1 13 0 3 3 9 11 44 1 0 0 0 0 1 0 0 9 5 33 18 2x 23 x 11 3 33 18 1 0 0 0 0 1 0 0 9 5 1 0 11 3 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 2 1 0 Assim, x = 2, y = 2 , z = 1. Quest o 02 (Valor: 15 pontos) C lculo do v rtice da par bola A abscissa do v rtice a solu o da equa o log 1 2 x 4 2x 2 4 2 1 2 2 2x 4 4 3. Assim, a par bola tem v rtice no ponto V = ( 3, 2 ). C lculo dos coeficientes a1 , a2 e a3 Sendo r a raz o da P.G., tem-se f(x) = a1 x2 + (a1 r)x + (a1 r2) e, como as coordenadas do v rtice em fun o dos coeficientes s o dadas por xV a1r 2a1 conclui-se que r Logo a6 = a1r5 = r 2 3 e 6 e a1 2 .( 6)5 27 yV a12 r 2 4a12 r 2 4a1 2 . 27 576 . 4a1 3a1r 2 4 2, Quest o 03 (Valor: 15 pontos) C lculo de z1 8i 8(cos k 0 k 1 k 2 isen ) 2 2 z 2 cos 3 8i isen 6 5 z 2 cos 6 z 2 cos 3 2 Assim, z1 3 z 2k 8 cos 3 6 5 isen 6 isen 3 2 2 3 2k isen 2 3 , para k = 0, 1 e 2 i 3i 2i 3 i. C lculo de z2 z2 uma solu o da equa o biquadrada x4 + x2 12 = 0. Usando-se a mudan a de vari vel x2 = y, obt m-se a equa o y2 + y 12 = 0 que tem ra zes y = 4 e y = 3. Para y = 4 conclui-se que x 2i e para y = 3 conclui-se que x 3. Uma vez que z2 uma solu o complexa, com parte imagin ria positiva, z 2 2i 3 z1 z2 Logo, z2 3 2 3i 2i 3 3 4 i 2 1 4 3 2 3 2i 2i 3i 2 2i 3 2 2i 1. Quest o 04 (Valor: 15 pontos) C lculo de g(x) 0x 2 Logo, g(x) x 2 2 senx, 0 fx 2 x 1 cos x 2 2 1 cos x.cos 2 senx.sen 2 1 senx 2 No intervalo dado, f(x) = sen x e g(x) = 2 sen x, logo a equa o a ser resolvida sen 2 x (2 senx) 7 4 2 1 0. isto , sen x senx) 4 Assim, senx 1 2 2 0 senx 1, x 2 0, 2 ,ex 6 . 0, Quest o 05 (Valor: 20 pontos) A B C corresponde regi o hachurada ao lado e para o c lculo da rea pode ser dividida em tr s regi es. Dois setores circulares do c rculo de raio igual a 2, de mesma rea, limitados pelas retas y 3x , y 3x e pelo eixo Ox. A reta y 3x tem coeficiente angular igual a o ngulo que a reta faz com o eixo Ox. Assim, 60 3 3 tg , sendo 1 r2 2 rd e a rea do setor circular A1 14 23 2 u.a. 3 Dois setores circulares do c rculo de raio igual a 2, de mesma rea, limitados pelas retas que passam pela origem e pelos pontos de intersec o da circunfer ncia com a reta y 2. Resolvendo o sistema x2 y y2 4 obt m-se x 2 2 4 e portanto x 2 2 Assim, os pontos de intersec o s o P1 ( 2 , 2 ) e P2 ( 2, 2) e est o sobre as retas y = x e y = x. A rea do setor circular formado pela reta y = x, o c rculo de raio 2 e o eixo Ox , portanto, 14 u.a. A2 1 r2 24 2 2 O tri ngulo com v rtices na origem e nos pontos de intersec o do c rculo com a reta y 2. Esse tri ngulo com v rtices na origem e nos pontos P1 e P2 tem base igual a 2 2 u.c. e altura 2 u.c. Logo rea A3 = 2 u.a. A rea da regi o limitada por A B C , portanto, 2 6 7 u.a. 2A1 2A 2 A 3 4 3 3 Quest o 06 (Valor: 20 pontos) A pir mide est inscrita em um cilindro circular reto de volume igual a 24 cm3 e rea de cada base igual a 4 cm2. Uma vez que o volume de um cilindro circular reto dado por V conclui-se que r = 2cm e h = 6cm. r 2 h , sendo r o raio da base e h a altura, A base da pir mide um tri ngulo inscrito em um c rculo de raio r = 2cm. Sendo H a altura do tri ngulo e L o lado, tem-se 2 2 H e a 1 H 2 1cm. 3 2 3 Assim: L2 L 2 22 22 4 2 2 2 L 12 L 2 3 cm r r 41 O tri ngulo inscrito tem lado L a L 2 2 3 cm, altura H = 3cm e rea igual a 3 3 cm2. Uma vez que a altura da pir mide a mesma do cilindro, h = 6cm, o volume da pir mide V1 1 .3 3 .6 , 3 portanto, V1 6 3 cm 3 . A pir mide menor obtida pela sec o por um plano paralelo base, situado a uma dist ncia de 2cm do v rtice, tem altura igual a 2cm e volume V2. Uma vez que a pir mide maior e a menor s o semelhantes, a raz o entre seus volumes o cubo da raz o entre suas V V1 6 3 2 3 6 3 27 V . alturas, portanto, 1 2 V2 2 27 27 9 Logo, o volume do tronco de pir mide V1 V2 63 23 9 52 3 cm3. 9 Obs.: Outras abordagens poder o ser aceitas, desde que sejam pertinentes. Salvador, 13 de dezembro de 2009 Antonia Elisa Cal de Oliveira Lopes Diretora do SSOA/UFBA

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