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UFBA Vestibular de 2004 - PROVAS 2ª FASE - Matemática

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Matem tica QUEST ES de 01 a 06 LEIA CUIDADOSAMENTE O ENUNCIADO DE CADA QUEST O, FORMULE SUAS RESPOSTAS COM OBJETIVIDADE E CORRE O DE LINGUAGEM E, EM SEGUIDA, TRANSCREVA COMPLETAMENTE CADA UMA NA FOLHA DE RESPOSTAS. INSTRU ES: Responda s quest es, com caneta de tinta AZUL ou PRETA, de forma clara e leg vel. Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais mai sculas. O rascunho deve ser feito no espa o reservado junto das quest es. Na Folha de Respostas, observe a numera o das quest es e utilize APENAS o espa o destinado a cada uma, indicando, de modo completo, as etapas e os c lculos envolvidos na resolu o da quest o. Ser atribu da pontua o ZERO quest o cuja resposta n o se atenha situa o ou ao tema proposto; esteja escrita a l pis, ainda que parcialmente; apresente texto incompreens vel ou letra ileg vel. Ser ANULADA a prova que n o seja respondida na respectiva Folha de Respostas; esteja assinada fora do local apropriado; possibilite a identifica o do candidato. Quest o 01 (Valor: RASCUNHO 15 pontos) Dada a seq ncia an = cosx.(senx)n 1, em que e n 1, determine a soma infinita dos 3 termos mpares, S = a1 + a3 + a5 + ... x= Quest o 02 (Valor: 15 pontos) Determine todos os valores de x para os quais y= x 2 + log 2 ( x + 3) um x 1 n mero real. UFBA 2004 - 2 fase - Matem tica - 5 Quest o 03 RASCUNHO (Valor: 20 pontos) Considerando o polin mio p(x) = x4 2x3 + 4x2 2x + 3, mostre que z1= i uma raiz de p(x), que, juntamente com as demais ra zes z2, z3 e z4, satisfaz equa o 2 z1 + z 2 z 2 z 2 = 10 . 2 3 4 Quest o 04 (Valor: 15 pontos) Determine a rea do quadril tero ABCD, no qual A e C s o os v rtices da c nica 9x2 4y2 = 36, e B e D s o os pontos de interse o dessa c nica com a reta que cont m a bissetriz do primeiro quadrante. UFBA 2004 - 2 fase - Matem tica - 6 Quest o 05 RASCUNHO (Valor: 15 pontos) Considere, no plano cartesiano xy, a transforma o T, que consiste em aplicar uma homotetia de centro na origem e raz o 3, seguida de uma reflex o em torno do eixo Ox e, por ltimo, uma rota o de 15o, no sentido hor rio, em torno da origem. A partir dessas informa es, determine as coordenadas do ponto Q, obtido pela aplica o da transforma o T ao ponto P = ( 3 , 1) . Quest o 06 (Valor: 20 pontos) Considere um recipiente de vidro com a forma de dois cones congruentes de altura H, raio da base R e v rtice comum. Sabe-se que, inicialmente, um dos cones est completamente cheio de areia, e o outro, totalmente vazio. A areia ent o redistribu da, de modo a formar, na parte superior do recipiente, H e, na parte inferior, outro 2 cone, de altura h e raio da base R, conforme a figura. um cone de altura Com base nessas informa es, determine a raz o h . H UFBA 2004 - 2 fase - Matem tica - 7 SERVI O P BLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA SERVI O DE SELE O, ORIENTA O E AVALIA O VESTIBULAR 2004 2 FASE GABARITO DE PUBLICA O MATEM TICA Quest o 01 (Valor: 15 pontos) an 1 2 3 2 S 1 2 1 2 1 2 S n1 2 3 2 13 . 24 1 2 13 24 1 2 1 2 1 4 3 1 4 3 2 4 ... 2 ... 2 S2 Quest o 02 (Valor: 15 pontos) y= x 2 x 1 + log2( x 3) x10 x1 x 2 x x2 x [ 1, 1 [ U [2, 3[ 1 0e x2 x1 x 30 1 -1 2 3 _ _ + _ 0ex + _ + + + + Quest o 03 (Valor: 20 pontos) P(i) i4 2i3 4i2 2i 3 1 2i 4 2i Logo z1 i uma raiz de p(x). 3 0 Se Z1 i uma raiz ent o z2 z1 i tamb m uma raiz de p(x). Logo (x i)(x p(x). x 4 2 x 3 + 4x 2 2x 3 x2 1 x 4 x 2 x 2 2x 3 2x3 i) = x2 1 divide 3 x 2 2x 3 2x 3 2x 2 3x 3x2 3 3 0 x2 2x 3 0 2 8 2 2 2i x 1 2 2 z3 1 2 i , z4 1 2 i 2 z1 z 2 z 2 z 2 234 11 2 2i 1 2i 2i 2 1 (1 2) 2 1 9 10 Quest o 04 (Valor: 15 pontos) Y D A -2 C 2 H X 9x2 4y2 36 2 2 y x 1 4 9 yx 9x 2 4x 2 36 5x 2 36 6 x 5 6 5 Altura: DH Base: AC 4 B rea: 4 6 5 24 5 Quest o 05 (Valor: 15 pontos) III 24 5 u. a. 5 I II -3 1 3 3 3 3 3 r= 6 -3 r 2 32 r6 cos x y Q 33 2 33 6 = 36 3 2 30 62 32 2 62 32 2 3 2, 3 2 45 r= 6 Q Quest o 06 (Valor: 20 pontos) Vo Volume de um dos cones do recipiente V1 Volume da areia na parte superior V2 Volume da areia na parte inferior Vo V1 Vo R2.H 3 3 H/2 1 H 8 7 h 2 R .h = R 2 .H 8 H V1 Vo e V2 8 7 Vo , pois V1 V2 8 Vo 7 8 Obs: Em toda a prova, outras formas de solu o poder o ser aceitas , desde que sejam pertinentes. Em 04 de janeiro de 2004

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