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UFBA Vestibular de 2007 - PROVAS 2ª FASE - Matemática

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Matem tica QUEST ES de 01 a 06 LEIA CUIDADOSAMENTE O ENUNCIADO DE CADA QUEST O, FORMULE SUAS RESPOSTAS COM OBJETIVIDADE E CORRE O DE LINGUAGEM E, EM SEGUIDA, TRANSCREVA COMPLETAMENTE CADA UMA NA FOLHA DE RESPOSTAS. INSTRU ES: Responda s quest es, com caneta de tinta AZUL ou PRETA, de forma clara e leg vel. Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais mai sculas. O rascunho deve ser feito no espa o reservado junto das quest es. Na Folha de Respostas, identifique o n mero das quest es e utilize APENAS o espa o destinado a cada uma, indicando, DE MODO COMPLETO, AS ETAPAS E OS C LCULOS envolvidos na resolu o da quest o. Ser atribu da pontua o ZERO quest o cuja resposta n o se atenha situa o ou ao tema proposto; esteja escrita a l pis, ainda que parcialmente; apresente texto incompreens vel ou letra ileg vel. Ser ANULADA a prova que n o seja respondida na respectiva Folha de Respostas; esteja assinada fora do local apropriado; possibilite a identifica o do candidato. Quest o 01 (Valor: 10 pontos) Dois tanques, com a mesma capacidade, apresentam dispositivos para esvazi -los, tendo cada um deles uma vaz o constante. Estando completamente cheios de gua, o primeiro tanque esvaziado em 4 horas e o segundo, em 5. Nessas condi es, abrindo-se simultaneamente os dispositivos desses tanques, calcule o tempo necess rio, desde o momento da abertura, para que o volume de gua do primeiro tanque seja igual a 75% do volume do segundo. UFBA / UFRB 2007 2a fase Matem tica 6 Quest o 02 (Valor: 20 pontos) Na figura, tem-se uma circunfer ncia de centro na origem dos eixos coordenados e raio igual a 2 u.c. O comprimento do menor arco de origem u.c. 3 Considere os pontos P1 , P2 e P3 v rtices de um tri ngulo eq il tero inscrito na circunfer ncia e representados, nessa ordem, no sentido antihor rio. em A e extremidade em P1 igual a Sendo P 1 , P2 e P 3 , respectivamente, afixos dos n meros complexos z 1 , z 2 e z 3 , calcule z1 + z 5 + z 3 . 2 UFBA / UFRB 2007 2a fase Matem tica 7 Quest o 03 (Valor: 15 pontos) A temperatura Y(t) de um corpo em fun o do tempo t 0 , dado em minutos varia de acordo com a express o Y(t) = Ya + Bekt, sendo Ya a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e k constantes. Suponha que no instante t = 0, um corpo, com uma temperatura de 75 C, imerso em gua, que mantida a uma temperatura de 25 C . Sabendo que, depois de 1 minuto, a temperatura do corpo de 50 C, calcule o tempo para que, depois de imerso na gua, a temperatura do corpo seja igual a 37,5 C. UFBA / UFRB 2007 2a fase Matem tica 8 Quest o 04 (Valor: 15 pontos) Dadas as fun es f(x) = sen(2x) e g(x) = sen(x), determine para quais valores de x, x [0, 2 ], f(x) g(x). UFBA / UFRB 2007 2a fase Matem tica 9 Quest o 05 (Valor: 20 pontos) Considere a matriz sim trica A = (aij), 1 i 3 , 1 j 3, que satisfaz as seguintes condi es: I - Se j = i + 1 ou i = j + 1, ent o aij a dist ncia do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q interse es da par bola y = x2 2x + 1 com a reta y = x + 1. II - Se j = i + 2 ou i = j + 2, ent o aij a rea do tri ngulo PQR, sendo o ponto R o sim trico de Q em rela o origem do sistema de coordenadas xOy. III- Se i = j, ent o aij o valor m ximo da fun o quadr tica f(x) = 2x2 + 4x. Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu determinante. UFBA / UFRB 2007 2a fase Matem tica 10 Quest o 06 (Valor: 20 pontos) Considere um prisma reto triangular regular de altura igual a 10cm e um cilindro circular reto de raio da base igual a r, medido em cm, inscrito nesse prisma. Em fun o de r, deduza a express o do lado do tri ngulo, base do prisma; determine o volume da regi o exterior ao cilindro e interior do prisma. *** UFBA / UFRB 2007 2a fase Matem tica 11 VESTIBULAR 2007 2a FASE GABARITO MATEM TICA Quest o 01 (Valor: 10 pontos) Seja t o tempo transcorrido, a partir da abertura dos dois tanques e V o volume dos mesmos. Ap s t horas o volume dos dois tanques ser : 1 tanque: V1 V 2 tanque: V2 V t V 4 t V 5 4V tV (1) 4 5V tV (2) 5 Procura-se o valor de t para que V1 0,75 V2 , ou seja, V1 Usando-se (1), (2) e ( 3) acima obt m-se: 4 V tV 3 5 V tV 20 V 5tV 15 V 3tV 4 4 5 5V 3 V2 ( 3 ) 4 2tV 5 2 t Logo, o tempo necess rio igual a 2 horas e 30 minutos Quest o 02 (Valor: 20 pontos) Se o comprimento do arco AP1 3 e a circunfer ncia tem raio 2, ent o a medida em radianos do ngulo /3 . AOP1 2 6 Os pontos P1, P2, P3 dividem a circunfer ncia em tr s arcos iguais, subtendendo ngulos 2 de . Logo, os afixos correspondem a 3 z1 2 cos( z2 2 cos( z3 2 cos( z1 z5 2 6 6 2 z3 ) isen( 6 ) 2 2 ) isen( 6 3 2 ) isen( 2 3 3 i 2 5 i5 3 2 2 ) 3 2 ) 3 3i i 2 3 i 2 cos( ) isen( ) 2 2 2i 7 7 ) isen( ) 6 6 2 2 cos( 25 i 25 32 3 2 i 2 3 i Quest o 03 (Valor: 15 pontos) Sendo Ya a temperatura ambiente, Ya = 25 C. Logo, Y(t) Y(0) = 75 C e Y(1) = 50 C obt m-se o seguinte sistema 25 Be kt . Usando 75 25 B ( 1) 50 25 Be k (2) Da equa o ( 1 ) tem-se B = 50. Substituindo-se o valor de B em ( 2 ), obt m-se 1 k ln 2 50 25 50e k ek 2 Assim, Y(t) 25 50e ln2 t . Para se obter o valor de t tal que Y = 37,5 C resolve-se a equa o 37,5 25 50e ln2 t e 12,5 50 ln2 t e 1 4 ln2 t ln2 t ln4 t ln4 ln2 ln2 2 ln2 2ln2 ln2 2 Logo, a temperatura do corpo ser de 37,5 C depois de 2 minutos. Quest o 04 (Valor: 15 pontos) f (x) g( x ) sen2x senx 2senx cos x senx 2senx cos x senx 0 senx(2 cos x 1) Tem-se duas condi es a considerar para resolver a ltima desigualdade acima: ( i ) senx 0 e 2 cos x 1 0 ou ( ii ) senx 0 e 2 cos x 1 0 Analisando as duas condi es no intervalo 0,2 senx 0 (i) e 0x 2cosx 1 0 senx 0 ou 0x ou 2 2 x [0, ] 3 1 2 cosx x x : 3 ou A solu o ( I ) 1 2 cosx (I) 2 x0 x [ ,5 ] 3 ( ii ) e 2cosx 1 0 x 2 x 3 ( II ), ou seja, 0, 3 5 3 , 5 3 0 ( II ) 2 Quest o 05 (Valor: 20 pontos) Sendo A = (aij) uma matriz sim trica tem-se que aij a ji . Da condi o I, obt m-se os elementos a12, a21, a23, e a32 cujos valores correspondem dist ncia dos pontos P e Q, intersec es da par bola y = x2 2x + 1 com a reta y = x + 1. Resolvendo-se o sistema x2 y y 2x 1 x1 , obt m-se x = 0 ou x = 1 Para x = 0 encontra-se y = 1 e para x = 1 encontra-se y = 0, assim P(0,1) e Q(1,0) ou P(1, 0) e Q(0, 1) e a dist ncia entre P e Q 2 Logo, a12 = a21= a23 = a32 = 2 0 Da condi o II. obt m-se os elementos a13 e a31 cujos valores correspondem rea do tri ngulo PQR, sendo R o sim trico de Q em rela o origem e portanto R( 1, 0) se Q (1, 0) ou R (0, 1) se Q (0,1) A rea do tri ngulo PQR em qualquer caso igual a 1. Logo, a13 = a31 = 1. Da condi o III, obt m-se os elementos da diagonal a11, a22 e a33. cujos valores correspondem ao valor m ximo da fun o quadr tica f(x) = 2x2 + 4x . 4 A fun o quadr tica tem valor m ximo que ocorre para x = 1 . Logo, o valor m ximo 2( 2) f(1) = 2 e a11 = a22 = a33 = 2. A matriz 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 e o determinante 2 1 2 2 2 1 2 2 8 Quest o 06 (Valor: 20 pontos) O volume solicitado igual ao volume do prisma, Vp, menos o volume do cilindro, Vc. Consideremos a base do prisma o tri ngulo ABC de lado , O o centro da circunfer ncia inscrita e P um ponto de tang ncia do tri ngulo com a circunfer ncia. Logo OP perpendicular a BC, e os tri ngulos ret ngulos BMC e OPC s o semelhantes. Assim MB /2 h OP MC CP 2 2r 4 3 2 4 2 rh r 4 3 2 2r 3 0 2 Vp = 10Sb e Sb = r /2 3 4 = 12r 2 3 =3r2 3 . Logo, Vp = 30r2 3 4 Vc = 10 r2 Vsolicitado = (30r2 3 - 10 r2) = 10r2(3 3 - ) cm3 Em 17 de dezembro de 2006 Nelson Almeida e Silva Filho Diretor do SSOA/UFBA 2 22 4 4 2

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