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UFBA Vestibular de 2009 - PROVAS 2ª FASE - Matemática

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INSTRU ES Para a realiza o destas provas, voc recebeu este Caderno de Quest es, uma Folha de Resposta destinada Reda o e uma Folha de Respostas para as quest es discursivas. N O AMASSE, N O DOBRE, N O SUJE, N O RASURE ESTE MATERIAL. 1. Caderno de Quest es Verifique se este Caderno de Quest es cont m as seguintes provas: REDA O 01 quest o subjetiva; MATEM TICA 06 quest es discursivas. Registre seu n mero de inscri o no espa o reservado para esse fim, na capa deste Caderno. Qualquer irregularidade constatada neste Caderno deve ser imediatamente comunicada ao fiscal de sala. Neste Caderno, voc encontra dois tipos de quest o: De Reda o quest o subjetiva, que visa avaliar a capacidade de express o escrita do candidato, com base em tema proposto. Discursiva quest o que permite ao candidato demonstrar sua capacidade de produzir, integrar e expressar id ias a partir de uma situa o ou de um tema proposto e de analisar a interdepend ncia de fatos, fen menos e elementos de um conjunto, explicitando a natureza dessas rela es. Leia cuidadosamente o enunciado de cada quest o, formule suas respostas com objetividade e corre o de linguagem, atendendo ao tema proposto. Em seguida, transcreva cada uma na respectiva Folha de Respostas. O rascunho deve ser feito nos espa os reservados junto das quest es, neste Caderno. 2. Folhas de Respostas As Folhas de Respostas s o pr -identificadas, isto , destinadas exclusivamente a um determinado candidato. Por isso, n o podem ser substitu das, a n o ser em situa o excepcional, com autoriza o expressa da Coordena o dos trabalhos. Confira os dados registrados nos cabe alhos e assine-os com caneta esferogr fica de TINTA PRETA ou AZUL-ESCURA, sem ultrapassar o espa o reservado para esse fim. 2.1 Folha de Resposta destinada Reda o Nessa Folha de Resposta, voc s deve utilizar o espa o destinado Reda o, o suficiente para desenvolver o tema. 2.2 Folha de Respostas destinada s quest es discursivas Nessa Folha de Respostas, voc deve observar a numera o das quest es e UTILIZAR APENAS O ESPA O-LIMITE reservado resposta de cada quest o, indicando, de modo completo, as etapas e os c lculos envolvidos em sua resolu o. 3. ATEN O! Ser ANULADA a prova que n o seja respondida na Folha de Respostas correspondente ou que possibilite a identifica o do candidato. Nas Folhas de Respostas, N O ESCREVA na Folha de Corre o, reservada ao registro das notas das quest es. Registre, em APENAS UMA delas, o hor rio da conclus o de suas provas no espa o indicado no final da Folha. ESTAS PROVAS DEVEM SER RESPONDIDAS PELOS CANDIDATOS AOS CURSOS DOS GRUPOS A.1 e A.2. GRUPO A.1 Arquitetura e Urbanismo Engenharia Civil Engenharia da Computa o Engenharia de Controle e Automa o de Processo Engenharia de Minas Engenharia de Produ o Engenharia El trica Engenharia Mec nica Engenharia Qu mica Engenharia Sanit ria e Ambiental F sica Geof sica Geologia Qu mica GRUPO A.2 Ci ncia da Computa o Estat stica Matem tica Reda o Escreva sua Reda o, com caneta de tinta AZUL ou PRETA, de forma clara e leg vel. Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais mai sculas. O rascunho deve ser feito no local apropriado do Caderno de Quest es. Na Folha de Resposta, utilize apenas o espa o a ela destinado. Assine a prova APENAS NO CABE ALHO. A assinatura no campo da resposta ANULAR a sua Reda o! Ser atribu da pontua o ZERO Reda o que n o se atenha ao tema proposto; esteja escrita a l pis, ainda que parcialmente; apresente texto incompreens vel ou letra ileg vel; esteja escrita em verso; apresente texto padronizado, comum a v rios candidatos; N O SEJA RESPONDIDA NA RESPECTIVA FOLHA DE RESPOSTA; ESTEJA ASSINADA FORA DO LOCAL APROPRIADO; POSSIBILITE, DE ALGUMA FORMA, A IDENTIFICA O DO CANDIDATO. Os textos apresentados a seguir dever o servir de base para uma reflex o sobre a fam lia brasileira. I. Para percorrer a trajet ria da fam lia brasileira, o ponto de partida , inevitavelmente, a fam lia patriarcal. No entanto, esta n o pode ser considerada o nico modelo. [...] Sem d vida alguma, a fam lia patriarcal teve um papel fundamental nas formas de organiza o pol tica, nas rela es de trabalho e de poder e nas rela es interpessoais, deixando como heran a o coronelismo, o populismo e, at mesmo, os tra os de cordialidade t picos do brasileiro. [...] Nos ltimos 50 anos, a fam lia brasileira sofreu profundas modifica es. Os processos sociais, culturais e econ micos afetaram significativamente as rela es entre pais e filhos, as do casal, a educa o da crian a, a disciplina no lar, as identifica es estabelecidas pelos jovens. NASCIMENTO, A. B. Quem tem medo da gera o shopping?: uma abordagem psicossocial. Salvador: Secretaria de Cultura e Turismo. EDUFBA, 1999. p. 57-59. UFBA 2009 2a fase Reda o 2 II . No dia em que eu vim-me embora Minha m e chorava em ai Minha irm chorava em ui E eu nem olhava pra tr s No dia em que eu vim-me embora N o teve nada de mais Mala de couro forrada com pano forte brim c qui Minha v j quase morta Minha m e at a porta Minha irm at a rua E at o porto meu pai O qual n o disse palavra durante todo o caminho E quando eu me vi sozinho Vi que n o entendia nada Nem de pro que eu ia indo Nem dos sonhos que eu sonhava Senti apenas que a mala de couro que eu [carregava Embora estando forrada Fedia, cheirava mal Afora isto ia indo, atravessando, seguindo Nem chorando nem sorrindo Sozinho pra Capital Nem chorando nem sorrindo Sozinho pra Capital Sozinho pra Capital. VELOSO, C. No dia em que eu vim-me embora. Dispon vel em: <http://letras.terra.com.br/caetano-veloso/ I44569>. Acesso em: 2 ago. 2008. III . Eu passei muito tempo aprendendo a beijar Outros homens como beijo o meu pai Eu passei muito tempo pra saber que a mulher Que eu amei, que amo, que amarei Quando me vir beijar outro homem qualquer Diga a ele que eu quando beijo um amigo Estou certo de ser algu m como ele Algu m com sua for a pra me proteger Ser sempre a mulher como minha m e Como , minha m e? Como v o seus temores? Meu pai, como vai? Diga a ele que n o se aborre a comigo Algu m com seu carinho pra me confortar Algu m com olhos e cora o bem abertos Para me compreender GIL, G. Pai e m e. Dispon vel em: <http://letras.terra.com.br/gilberto-gil/46231>. Acesso em: 2 ago. 2008. IV. A casa de meu pai, abrigo certo, minha dimens o de mundo. Ali, minha m e se inscrevia, em sil ncios e sussurros. s vezes, quando meu pai n o estava em casa, eu a ouvia cantar, em voz baixa, suspiros e olhar perdido. N o eram as m sicas do r dio, mas cantigas que s ela sabia e falavam de amor ou de dan a, num sal o todo cheio de flores. Minha m e repetia certas frases. Normas de vida. Em primeiro lugar, o marido, em segundo, o marido, em terceiro, o marido. Depois, os filhos. Sim, ela era muito feliz. Toda cheirosa, espera de que meu pai voltasse do trabalho. Ela o esperava. Perfumes, sil ncios, sussurros. Seu sorriso pequeno. Eu olhava. De longe. CUNHA, H. P. Mulher no espelho. S o Paulo: Art Ed. 1985. As escritoras, v. 4. p. 21. UFBA 2009 2a fase Reda o 3 V. GLAUCO. Casal Neuras. Folha de S. Paulo: Revista Fam lia Brasileira. S o Paulo, 7 out. 2007. p. 65. VI. A cena do filme Esqueceram de mim (1992), em que a fam lia enorme lota um nico carro para viajar e logo come a o check-in, se repete final de semana sim, final de semana n o, na casa de um casal e de seus seis filhos. Epa! Seis? Numa poca em que a maioria dos casais tem dois filhos, de onde surgiu tanta crian a? Nada errado com o script dos dois filhos. O fen meno aqui de outra natureza, conectada n o ao passado de proles enormes, e sim , digamos, miscigera o para cunhar um neologismo que tende a dar conta das novas fam lias com filhos de casamentos desfeitos e refeitos. BERGAMASCO, D.; BARBIERI, C. Bem-vindo miscigera o . Folha de S. Paulo: Revista Fam lia Brasileira. S o Paulo, 7 out. 2007. p. 58. A partir da leitura dos textos apresentados e incorporando sua experi ncia de vida, elabore um texto argumentativo em que voc discuta a s diferentes realidades da fam lia brasileira. Aten o! Use a forma de prosa que julgar conveniente, entretanto, se escolher o g nero epistolar, lembre-se de que n o dever utilizar nenhuma identifica o. Para respeitar a estrutura do texto, utilize um Y em lugar da assinatura. UFBA 2009 2a fase Reda o 4 RASCUNHO UFBA 2009 2a fase Reda o 5 Matem tica QUEST ES de 01 a 06 LEIA CUIDADOSAMENTE O ENUNCIADO DE CADA QUEST O, FORMULE SUAS RESPOSTAS COM OBJETIVIDADE E CORRE O DE LINGUAGEM E, EM SEGUIDA, TRANSCREVA COMPLETAMENTE CADA UMA NA FOLHA DE RESPOSTAS. INSTRU ES: Responda s quest es, com caneta de tinta AZUL ou PRETA, de forma clara e leg vel. Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais mai sculas. O rascunho deve ser feito no espa o reservado junto das quest es. Na Folha de Respostas, identifique o n mero das quest es e utilize APENAS o espa o destinado a cada uma, indicando, DE MODO COMPLETO, AS ETAPAS E OS C LCULOS envolvidos na resolu o da quest o. Ser atribu da pontua o ZERO quest o cuja resposta n o se atenha situa o apresentada ou ao tema proposto; esteja escrita a l pis, ainda que parcialmente; apresente texto incompreens vel ou letra ileg vel. Ser ANULADA a prova que N O SEJA RESPONDIDA NA RESPECTIVA FOLHA DE RESPOSTAS; ESTEJA ASSINADA FORA DO LOCAL APROPRIADO; POSSIBILITE A IDENTIFICA O DO CANDIDATO. Quest o 01 (Valor: 15 pontos) Na impress o de 480 c pias de uma mesma prova, foram usadas duas impressoras, A e B, sendo que B trabalhou dez minutos a menos que A. Se os tempos em que cada impressora trabalhou fossem trocados, A e B imprimiriam 180 e 320 c pias, respectivamente. Com base nessa informa o, determine o tempo gasto por cada impressora e o n mero de c pias que cada uma imprimiu. RASCUNHO UFBA 2009 2a fase Matem tica 6 Quest o 02 (Valor: 15 pontos) Considere f(x) = log2x, g(x) e h(x) fun es reais tais que, no sistema de coordenadas cartesianas, o gr fico de g obtido do gr fico de f atrav s de uma transla o de uma unidade, na dire o do eixo Ox, para a esquerda, seguida de uma transla o de duas unidades, na dire o do eixo Oy, para cima; o gr fico de h sim trico ao gr fico de g em rela o ao eixo Oy. Com base nessas informa es, determine os valores de x que satisfazem a inequa o h 1 (x) > 1 . 2 RASCUNHO UFBA 2009 2a fase Matem tica 7 Quest o 03 (Valor: 15 pontos) Considere a fun o real f(x) = A + Bcos(mx + ), com 0, e com A e B 2 constantes. Sabendo-se que o per odo de f igual a , f(0) = 2, f = 1 e tg = 2 , calcule f . 4 2 RASCUNHO UFBA 2009 2a fase Matem tica 8 Quest o 04 (Valor: 15 pontos) 2x + 2y 2z = 2 Determine os valores de k para que o sistema de equa es 3x + 4y + (k 1)z = 4 x + ky + 3z = 2 seja poss vel e determinado. poss vel e indeterminado. imposs vel. RASCUNHO UFBA 2009 2a fase Matem tica 9 Quest o 05 (Valor: 20 pontos) Considere um trap zio ABCD em que a altura e a base menor CD medem b e seja P o ponto de intersec o dos prolongamentos dos lados n o paralelos AD e BC. Sendo h a medida da altura do tri ngulo DCP, relativa base CD, e raz o entre as reas do tri ngulo ABP e do trap zio ABCD. RASCUNHO UFBA 2009 2a fase Matem tica 10 b=2 , determine a h3 Quest o 06 (Valor: 20 pontos) No sistema de coordenadas cartesianas, as curvas E e C satisfazem as seguintes propriedades: Para qualquer ponto Q(x, y) de E, a soma das dist ncias de Q(x, y) a F1 ( 3 , 0) e de Q(x, y) a F2 ( 3 , 0) constante e igual a 4u.c. C uma par bola com v rtice na interse o de E com o semi-eixo positivo Oy e passa por F2. Com base nessas informa es, determine os pontos de interse o de E e C. RASCUNHO UFBA 2009 2a fase Matem tica 11 Vestibular 2009 2a fase Gabarito Matem tica Quest o 01 (Valor: 15 pontos) Se x minutos o tempo que a impressora A trabalhou, ent o B trabalhou x 10 minutos. Se A tivesse trabalhado x 10 minutos imprimiria 180 c pias, logo, A imprime 180 x 10 c pias/minuto. Se B tivesse trabalhado x minutos imprimiria 320 c pias, logo, B imprime 320 c pias/minuto. x Assim, 180 x 320 (x 10) x x 10 480 . Resolvendo essa equa o, tem-se 180x 2 320(x 10)2 180 x 320 (x 10) 480 x x 10 x(x 10) Consequentemente x = 40. x 2 80x 1600 480 0 180 x 180 40 x 10 30 impressora B trabalhou 30 minutos e imprimiu 480 240 = 240 c pias. Logo, a impressora A trabalhou 40 minutos e imprimiu (x 40)2 0. 240 c pias e a Quest o 02 (Valor: 15 pontos) Se o gr fico de g obtido do gr fico de f atrav s de uma transla o de uma unidade, na dire o do eixo Ox, para a esquerda, seguida de uma transla o de duas unidades, na dire o do eixo Oy, para cima, ent o g(x) = 2 + f(x+1) = 2 log2 (x 1) . Se o gr fico de h sim trico ao gr fico de g em rela o ao eixo Oy, ent o h(x) 2 log2 (1 x) C lculo da inversa de h: y 2 log2 (1 x) y2 Assim, h 1(x) 1 2 x log2 (1 x) 1x 2y 2 x 1 2y 2 2 1 1 2x 2 1 2x 2 2 1 x2 2 2 A solu o , portanto, o intervalo ] ,1[ h 1(x) 1 x1 Quest o 03 (Valor: 15 pontos) Se o per odo de f igual a , ent o 2 m Usando-se a rela o 1 tg2 sen 25 5 e, portanto m = 2. sec 2 , obt m-se que sec 2 5 o que acarreta cos 5 5 e Usando-se as condi es f(0) 2 e A B5 5 A 2B 5 5 f( 4 A B cos A B sen 1 obt m-se ) 2 1 que equivalente a 2 . 1 Resolvendo-se o sistema encontra-se A = 1 e B = Dessa forma, tem-se f(x) 1 Assim, f( ) 1 5cos(2 2 5cos(2x 5 (cos 2 1 5 ). sen2 ) 1 5( 1 5 4) 5 135 5 Quest o 04 (Valor: 15 pontos) Escalonando a matriz ampliada do sistema: A 22 22 34k14 1k 3 2 Dividindo a 1 linha por 2 Subtraindo a 3 linha da 2 multiplica da por k - 1 11 A matriz final B = 0 1 00 11 11 34k14 1k 3 2 11 1 01 k2 0 0 4 (k 1)(k subtraindo a 2 linha da 1 multiplicada por 3 Subtraindo a 3 linha da 1a 1 1 2) 1 (k 1) 1 1 k2 1 2k62k k 11 01 00 1 1 11 0 1 k21 0k1 4 1 1 1 k2 1 k2 k 6 2 k a matriz ampliada de um sistema equivalente ao sistema original. Analisando-se a ltima linha da matriz B tem-se se k 2 k6 0 , ou seja, k Se k 2 k6 0 , ou seja, k = 2 ou k = 3, tem-se duas possibilidades 2ek 3, o sistema poss vel e determinado. i) Para k = 2 o sistema poss vel e indeterminado, uma vez que a ltima linha de B ser toda igual a 0. ii) Para k = 3 o sistema ser imposs vel, uma vez que a ltima linha de B corresponde equa o 0 = 5. Quest o 05 (Valor: 20 pontos) P h C D b b A B Na figura, considere c a medida do lado AB Sendo A1 a rea do tri ngulo ABP, tem-se que A 1 Sendo A2 a rea do trap zio ABCD, tem-se que A 2 c(h b) 2 (c b)b 2 c(h b) . (c b)b Logo, A1 A2 Usando a semelhan a entre os tri ngulos DCP e ABP obt m-se h hb b c e, portanto, c Da raz o b 2 3 Portanto, c b(h b) h h b(h b) . h obt m-se b h b 5 (1) e b h 2 h 5 (2). 3 5 b (3) 3 Substituindo-se (1), (2) e (3) na express o de A1 obt m-se A2 A1 A2 c(h b) (c b)b c hb cbb 5b 3 5 5b b 2 3 55 82 25 16 Quest o 06 (Valor: 20 pontos) A curva E, satisfaz propriedade de uma elipse com centro na origem; eixo maior sobre o eixo Ox; focos nos pontos F1( 3 , 0) e F2 ( 3 , 0) e dist ncia entre os v rtices igual a 4. y2 b2 2 Uma equa o dessa elipse x 2 a 1 sendo a = 2 (dist ncia dos v rtices origem) e c 3 (dist ncia dos focos origem). Sabendo-se que a, b e c satisfazem a rela o a 2 x2 4 y2 1 b2 c 2 , obt m-se b = 1 e a equa o 1 Uma par bola C com v rtice na interse o de E com o eixo OY positivo, que o ponto (0, 1), e que passa por F2 ( 3 , 0) tem para equa o y 1 = ax2 (I) Substituindo-se F2 em (I) obt m-se a = x2 3 Logo, uma equa o de C y 1 1 3 x2 3 3y Para encontrar as intersec es de E e C, substitui-se x 2 3 3y 4y 2 4 3 3y na equa o de E e obt m-se 4y 2 3y 1 0 y 1 ou y 1 4 Para y = 1, tem-se x = 0 o que corresponde ao ponto (0, 1) que o v rtice da par bola. Para y 1 , obt m-se x 4 15 que corresponde aos pontos ( 15 , 2 2 1) e ( 4 15 , 2 1). 4 Obs.: Outras abordagens poder o ser aceitas, desde que sejam pertinentes. Salvador, 14 de dezembro de 2008 Nelson Almeida e Silva Filho Diretor do SSOA/UFBA

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