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UFBA Vestibular de 2006 - PROVAS 2ª FASE - Matemática

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Matem tica QUEST ES de 01 a 06 LEIA CUIDADOSAMENTE O ENUNCIADO DE CADA QUEST O, FORMULE SUAS RESPOSTAS COM OBJETIVIDADE E CORRE O DE LINGUAGEM E, EM SEGUIDA, TRANSCREVA COMPLETAMENTE CADA UMA NA FOLHA DE RESPOSTAS. INSTRU ES: Responda s quest es, com caneta de tinta AZUL ou PRETA, de forma clara e leg vel. Caso utilize letra de imprensa, destaque as iniciais mai sculas. O rascunho deve ser feito no espa o reservado junto das quest es. Na Folha de Respostas, identifique a numera o das quest es e utilize APENAS o espa o destinado a cada uma, indicando, de modo completo, as etapas e os c lculos envolvidos na resolu o da quest o. Ser atribu da pontua o ZERO quest o cuja resposta n o se atenha situa o ou ao tema proposto; esteja escrita a l pis, ainda que parcialmente; apresente texto incompreens vel ou letra ileg vel. Ser ANULADA a prova que n o seja respondida na respectiva Folha de Respostas; esteja assinada fora do local apropriado; possibilite a identifica o do candidato. Quest o 01 (Valor: 15 pontos) 2 2 Considere a equa o, na vari vel x, ax + bx + c = 0 e a fun o quadr tica f(x) = ax + bx + c, com a, b, e c n meros reais. 2 Sabendo que uma raiz da equa o ax + bx + c = 0 o n mero complexo de m dulo argumento 2 4 e que a imagem da fun o f(x) = ax + bx + c o intervalo f(2). RASCUNHO UFBA 2006 - 2 fase - Matem tica - 5 2e , calcule Quest o 02 (Valor: 15 pontos) Quest o 03 (Valor: 15 pontos) Considerando, no plano cartesiano, os pontos A(x, 0), B(1, 0) e C(4, 0), determine todos os valores de x para os quais a soma da dist ncia de A a B e da dist ncia de A a C seja menor ou igual a 7. RASCUNHO UFBA 2006 - 2 fase - Matem tica - 6 Quest o 04 (Valor: 15 pontos) Em uma certa poca, uma epidemia atingiu determinada regi o. A fim de combater a doen a, a popula o local foi dividida em tr s grupos, por faixa et ria, e todas as pessoas foram vacinadas, cada uma recebendo a dose da vacina de acordo com o especificado no quadro a seguir. Grupo I II III Faixa et ria at 15 anos de 16 a 59 anos a partir dos 60 anos a a a 1 aplica o 2 aplica o 3 aplica o 1ml 3ml 5ml 2ml 2ml 2ml 3ml 1ml 1ml Considerando que, na primeira aplica o, foram gastos 800 000ml da vacina, na segunda, 600 000ml e, na terceira, 500 000ml, calcule o n mero de pessoas de cada grupo. RASCUNHO UFBA 2006 - 2 fase - Matem tica - 7 Quest o 05 (Valor: 20 pontos) As medidas dos lados de um tri ngulo ABC formam uma progress o aritm tica de raz o igual a 1. Determine a altura do tri ngulo ABC, relativa ao lado AB, sabendo que Quest o 06 (Valor: 20 pontos) Considere a reta r, que tem como equa o y = 1, e a reta s, que passa pelos pontos A(4, 3) e B(2, 0). Sendo M a regi o do plano limitada pelos eixos coordenados cartesianos Ox e Oy e pelas retas r e s, calcule o volume do s lido obtido pela rota o da regi o M em torno do eixo Oy. RASCUNHO UFBA 2006 - 2 fase - Matem tica - 8 VESTIBULAR 2006 2 FASE GABARITO MATEM TICA Quest o 01 (Valor: 15 pontos) Tem-se que se x1 raiz complexa de ax raiz da equa o. 2 cos Logo, x1 i sen 4 2 2 4 2 bx i 2 c 2 0 , ent o o seu conjugado tamb m 1ie 2 x2 1i s o as ra zes da equa o. Usando-se as rela es entre coeficientes e ra zes da equa o, x1 x1 b x2 x2 x1.x2 a 1 (1 c e x1.x2 i 1i , tem-se que b 2 i) a 1 i) (1 a 1 Sendo a imagem de f(x) da fun o e portanto, 2 ax 1 2 c a bx 2 b 2a c 2a c o intervalo ] , 1], segue que 1 o valor m ximo 4a Logo b2 4ac 4a 4a 2 8a 2 4a ( 2a)2 4a 4a 2 4a2a 4a 4a a0 a 0 ou a 1. a2 Como a fun o quadr tica a 0, conseq entemente a Assim sendo f(x) x 2 2x 2, portanto f(2) 4 42 1, b 2 2e c 2 Quest o 02 (Valor: 15 pontos) kx Com base no gr fico de f(x) a b.2 , conclui-se que a fun o g(x) transla o de 1 unidade, logo a 1 Al m disso, pelo gr fico tem-se que f(0) 3 e f( 1) 5. f(0) 3 31b b2 k k 2 1k 4 2.2 2 2 21k f( 1) 5 5 1 2.2 1x x 12 Logo, f(x) 1 2.2 b.2 k kx sofreu uma 1 1 C lculo da fun o inversa f (x): log2(y 1) y 1 21-x y 1 21-x 1 portanto, f (x) 1 log2(x 1x x 1 log2(y 1) 1) Quest o 03 (Valor: 15 pontos) d(A, B) d(A, C) (x 1)2 7 (x 4)2 7 x1 x 1, se x x 4 7 1 Usando a defini o de m dulo, tem-se x 1 x 1, se x x ex 4, se x 4 4 e estabelecendo-se o quadro resumo correspondente, x 4, se x 4 tem-se 1 x x 1 4 x x 1 4 4 x1 x1 x4x4 Portanto, para a inequa o x 1 i. ii. iii. x x 4 7 tem-se x1x47 2x 2 x 1 S1 [ 1, 1[ 1x4 x1x47 37 S2 [1, 4[ x4 x1x47 2x 12 x6 S3 [4, 6] 1: Conseq entemente, S S1 1 S2 S3 [ 1, 1[ [1, 4[ [4, 6] [ 1, 6] Quest o 04 (Valor: 15 pontos) Considere x n mero de pessoas do Grupo I y n mero de pessoas do Grupo II z n mero de pessoas do Grupo III De acordo com os dados apresentados, tem-se o sistema x 3y 5z 800000 2x 2y 2z 600000 3x y z 500000 Resolvendo o sistema pelo m todo de Cramer: 135 222 (2 10 18) (30 2 6) 8 311 835 x 622 (16 30 30) (50 16 18) 8 511 y 185 262 (6 50 48) (90 10 16) 12 351 z 138 226 (10 16 54) (48 6 30) 315 x x y y z z .100000 .100000 .100000 8 8 12 8 4 8 .100000 .100000 .100000 100000 150000 50000 4 Outra solu o O mesmo sistema pode ser resolvido, por escalonamento: 1358 1 L2 L2 L3 1 L2 4 3 5 8 0 1 2 5 2 14 19 3 L1 8L 2 1 4 8 10 0 10 L3 8 0 3115 L3 5 L2 2L 1 L3 2226 3 8 14 19 0 8 1 2 01 2 5 2 00 2 1 Portanto, 2z 100000 , y 2z 250000 , x z 50000 , z y x 50000 150000 100000 Quest o 05 (Valor: 20 pontos) Considerando-se n, n 1 e n 2 as medidas dos lados AC, AB e BC , respectivamente, do tri ngulo ABC e usando-se a lei dos cossenos nesse tri ngulo, tem-se 2 n2 (n 1) n2 n2 (n 2n 2)2 1 n2 2(n 4n 2). 1)(n 4 6 (n2 3 5 3n 2) 6 (n2 5 5 n2 12n 13 30n 5n2 25 6n2 18n 12 0 Sendo n a medida do lado AC do tri ngulo ABC, Portanto, aplicando o teorema de Pit goras nos considerando-se a medida de DC igual a h, tem-se o 3n 2) n2 6n 5 0 n 13 ou n 1 o valor a ser considerado 13. tri ngulos DAC e BDC, e sistema h2 x2 13 2 mmmmm h2 (14 x)2 15 2 Subtraindo as duas equa es tem-se x2 (14 x)2=169 225, resultando x = 5. 2 2 2 Substituindo-se o valor de x na equa o h x = 13 , 2 obt m-se h = 169 25 = 144. Logo, h = 12u.c. Quest o 06 (Valor: 20 pontos) Para estabelecer a regi o M, deve-se inicialmente determinar a equa o da reta s que passa pelos pontos A (4, 3) e B (2, 0). Sendo assim, substituindo-se os pontos A e B na equa o y ax b , obt m-se o sistema 3 4a b 0 2a b 3 cuja solu o a 2 eb 3 3 x 3 , e a reta r: y 1. 2 Quando a regi o M gira em torno de Oy forma um tronco de cone sendo o seu volume obtido pela diferen a entre o volume V1 do cone maior de altura h1 3 e raio r1 2 e 4 . o volume V2 do cone menor de altura h2 2u.c. e raio r2 3 Tem-se que r1 2 e h1 3 correspondem s intersec o da reta s com os eixos Ox e Oy, respectivamente e r2 a abscissa do ponto de intersec o das retas r e s 3 3 r s: x31 e x 2 2 2 4 4 x , 1 logo h2 h1 1 3 1 2. , portanto r s 3 3 Assim sendo, logo s: y V1 V2 V 3 .22.3 . 3 4 4 3 4 2 .2 32 27 32 27 108 32 27 76 u.v. 27

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